高中数学立体几何中的“鳄鱼嘴模型”推导原理和记忆方法

先看看上文，外接球不是天赋题：9 个模型，吃透选填压轴稳了

有一个图如下：

这个“鳄鱼嘴模型”看着公式很长，其实是个纸老虎。图片上的推导虽然写得密密麻麻（也有一些小错误），但核心逻辑非常清晰。

我们把这张图拆解成四个阶段，用最通俗的话给你讲明白。

一、 条件是什么？（认模型）

什么时候用这个模型？只要一个三棱锥 ，它的两个侧面共用一个底边（比如面  和面  共用边 ），并且这两个面的外接圆圆心好找，就可以用。

你必须认准这 5 个字母（对照图1左上角）：

生活比喻：把三棱锥想象成一条张开的鳄鱼。上颚是面 ，下颚是面 ，铰链是边 。和是上下颚“重心”到铰链的垂直距离， 是嘴巴张开的夹角。

GGB画图更加准：

二、 如何推导？（懂原理，把立体拍扁）

不要死记硬背，推导过程分四步，核心思路是把立体图形拍扁成平面图形。

第①步：找外心，用垂径定理在圆里，垂直于弦的直径平分弦。所以 ，。

第②步：确定外接球球心 球心  到各个顶点距离相等（都是半径 ）。所以  在面  的投影就是 ，在面  的投影就是 。所以 ，。

第③步：证明四点共圆（关键降维）因为 ，所以 ，即 。同理 。两个直角共用斜边 ，所以  四点共圆，且  是这个圆的直径。

第④步：三次勾股定理和正余弦定理求 

在直角三角形  中（球心到弦中点的连线垂直于弦）：。（只要算出 ，任务就完成了）

在圆  中，用正弦定理：。

在  中，用余弦定理求 ：。

把 3 代入 2，再代入 1，就得到了最终的公式：

三、 如何记住？（记忆诀窍）

公式很长，但只要记住三个模块就能秒写出来：

顺口溜记忆法：

“余弦求底边，正弦得斜边，勾股加一半。”

图形记忆法：脑海里画一个三角形 （两边是 ，夹角是 ），算第三边；再画它的外接圆，直径就是 ；最后在直角三角形里勾股定理求半径。

GGB动态演示效果：

如果您对这个GGB课件感兴趣，可以扫码获得：

四、 如何应用？（解题套路）

题型特征：题目给了三棱锥，给出了两个面的边长，或者直接给了二面角。

解题步骤：

特别提醒（偷懒技巧）：如果题目告诉你两个面互相垂直（即 ），那么 ，。公式会变成：。这个极其好记，考试如果遇到直二面角，直接秒杀！大部分高考题如果考这个模型，往往就是考垂直这种特殊情况。如果是不垂直的，代入公式也能很快算出。

给基础薄弱同学的建议：先把图片上的推导过程自己拿笔在纸上画两遍（把立体的四个点画成平面的共圆图），画熟了，自然就印在脑子里了。不要一开始就死背等号右边那一长串，理解了  是直径这一步，这个公式就再也不会忘了。加油！

针对基础薄弱的同学，练习不求多、不求难，核心目的是熟悉公式中的四个变量（），并体会“把立体图形拍扁成平面图形”的过程。

先复习一下核心公式：

下面为你精心设计了两道练习题，由易到难，附带超详细解答。

🟢 练习一：直二面角（打基础，记特例）

【题目】在三棱锥  中，平面  平面 。已知  是边长为  的等边三角形， 也是边长为  的等边三角形。求该三棱锥外接球的半径 。

【思路引导】遇到“面面垂直”，马上想到 ，此时 ，，公式会大大简化！

【详细解答】

💡 小结：直二面角就是“鳄鱼嘴巴闭紧成直角”。记住特例公式 ，考试能省一半时间。

🟡 练习二：斜二面角（进阶，体会  的作用）

【题目】在三棱锥  中，。 是边长为  的等边三角形， 也是边长为  的等边三角形。已知二面角  的大小为 。求该三棱锥外接球的半径 。

【思路引导】条件和练习一几乎一样，只是二面角从  变成了 。不要慌，老老实实套公式，体会  和  的变化。

【详细解答】

💡 小结：算错  是重灾区。如果题目给的是“二面角为 ”，，分子就会变成 ，第一项就变成了 。所以一定要看清楚角度！

📝 给你的做题建议（基础差必看）

去做做这两道题吧！做完这两道，这个“鳄鱼嘴模型”你就算彻底拿下了。加油！