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高中数学基本不等式常见常见解题方法 !!
高中数学基本不等式常见常见解题方法 !!
（1）中国科学院心理学硕士，兰州大学数学本科，高考数学满分，专注于初高中数学高效学习及提分15年； （2）北京一名教学15载的数学老师，新东方、学而思、高思优秀教师、北京一线金牌名师； （3）时不时的分享初高中、中高考数学学习方法、解题技巧、学生时期心理建设方法等干货内容（往期文章请在此公众号内找）； （4）热爱数学， 喜欢钻研探讨数学问题；和学生一起思考数学问题，解决问题是我最大的快乐。 8、31 基本不等式（均值不等式）是高中数学求最值、证明不等式的重要工具，其核心公式。 解题的核心原则为“一正、二定、三相等”：一正（变量为正数，负数需先变号）；二定（和定或积定）；三相等（必须验证等号能否取到）。
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张欢老师
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基本不等式解题方法
以下是基本不等式的常见解题方法：
一、直接法（公式套用）
- 适用场景：条件与问题直接符合基本不等式结构，无需复杂变形。
- 解题策略：直接套用公式求最值。
- 注意：必须验证等号成立条件。
二、配凑法（凑定值法）
- 适用场景：原式无法直接套用公式，需通过拆项、添项、配系数，凑出“和定”或“积定”的形式。
- 解题策略：
- 1、凑和定：将式子拆分为若干项，使其和为定值，从而求积的最大值。
- 2、凑积定：将式子配系数，使乘积为定值，从而求的最小值。
- 注意：配凑后必须验证等号能否取到。
三、乘“1”法（常数代换法）
- 适用场景：已知变量和为定值，求分式的最小值，或已知变量积为定值，求
- 分式的最小值。
- 解题策略：将“1”代换为已知条件，将原式乘以“1”进行展开，再使用基本不等式。
- 注意：乘“1”后展开的项必须为正，且等号成立条件需与原条件兼容。
四、消元法（消参法）
- 适用场景：题目含有多个变量，且变量间存在等式约束，需消去部分变
- 量，转化为单变量问题后再求最值。
- 解题策略：利用已知等式，将其中一个变量用另一个变量表示，代入目标
- 函数，转化为单变量函数，再结合基本不等式或函数单调性求最值。
五、换元法（含双换元）
- 适用场景：代数式结构复杂，或含有分式、二次项，通过换元简化结构，
- 转化为基本不等式可解的形式。
- 解题策略：引入新变量替换原变量，或通过因式分解进行整体换元，将复
- 杂分式转化为整式，再求最值。
六、连续使用基本不等式法
- 适用场景：多元变量问题，或需要多次放缩求最值。
- 解题策略：对不同的项分别使用基本不等式进行放缩，但必须保证每次放
- 缩的等号成立条件完全一致，否则无法取到最值。
七、权方和不等式法（进阶）
- 适用场景：求分式和的最值，且分子幂比分母幂高一次，
- 解题策略：利用权方和不等式，进行求解，适用于已知分母和或倒数和求最
- 值的场景。
解题通用步骤总结：
1、看正负：确保变量为正，负数需先提取负号转化为正数处理。
2、凑定值：观察式子结构，通过变形（拆项、添项、乘1、换元）凑出“和
定”或“积定”。
3、套公式：应用基本不等式求最值。
4.、验等号：验证等号成立的条件，在题目给定的定义域内能否取到，这是
避免“假最值”的关键。
例题:
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