由

即得。

1.4 柯西中值定理

定理1.7（柯西中值定理；原书定理3.4） 若 ，二者在  内可导，且 ，则 ，并存在同一个 ，使

证明 若 ，罗尔定理会推出某点 ，与假设矛盾，所以 。令

则 。由罗尔定理，有  满足

整理得到结论。

证明的关键。 柯西公式要求  与  在同一点  取值。分别对  和  应用拉格朗日中值定理只能得到两个中值点；上述辅助函数一次性确定共同中值点。

1.5 函数的单调性与极值判别

定理1.8（单调性的导数判据） 设  在区间  上连续，在  内可导。

1. 若 ，则  在  上严格递增；若 ，则严格递减；
2. 若 ，则  在  上单调不减；若 ，则单调不增。

证明 任取 $x_1$$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1),\quad x_1<\xi<x_2. $$="" 因为 ，差值符号由  控制。

定理1.9（极值的第一充分条件） 设  在  处连续，并在其左右去心邻域内可导。

1. 若  在左侧为正、右侧为负，则  是局部极大值；
2. 若  在左侧为负、右侧为正，则  是局部极小值；
3. 若两侧符号相同，则  不构成严格极值点。

证明 以第一种情形为例：函数从左侧向  递增，从  向右侧递减，故附近函数值均小于或等于 。其他情形同理。

定理1.10（极值的第二充分条件） 若 ，且  存在，则

证明 根据二阶导数定义，

若 ，则足够靠近  时，

因而左侧 、右侧 。应用第一充分条件即可。负号情形同理。

例题1.3（单调区间及极值） 求

的单调区间及极值。

解

导数在 、 上为正，在  上为负。所以前两段递增，中间递减；

为局部极大值，

为局部极小值。

例题1.4（包含不可导点的极值分析） 设

在  处，

导数在  不存在，在  为零。由导数符号得：、 上递增， 上递减，故

为极大值，

为极小值。

2 未定式的极限：洛必达法则

2.1 两个基本未定式

定义2.1（未定式） 当分子与分母同时趋于零时，称为  型；当二者绝对值都趋于无穷时，称为  型。这两种形式只说明直接代入无法确定商的极限。

定理2.1（洛必达法则 I： 型；原书定理3.8） 设 （单侧极限亦可），满足：

1.  且 ；
2.  在  某去心邻域中存在，；
3. ，其中  可为有限数或无穷大。

则

证明 把 、 均补定义为 ，得到在  处连续的延拓 。对端点  与  应用柯西中值定理，存在  位于二者之间，使

当  时，，故极限为 。（证毕）

定理2.2（洛必达法则 II： 型；原书定理3.10） 若 ，，并满足前一定理的导数条件和导数商极限条件，则

证明要点：有限极限情形。 任取 ，由 ，可在靠近  的区间内选定点 ，并保证该区间内

对  与  应用柯西中值定理，有

（严格地说，由上述  界对差商进行夹逼）。又

第二因子趋于 ，从而极限为 。无穷极限情形可用同一差商估计处理。

适用范围与计算顺序。 洛必达法则可用于 ，。判断原式属于两种未定式之一，随后计算导数商。若所得导数商仍满足相应条件，可以继续使用法则。

2.2 常见未定式的转化

例题2.1（反复使用洛必达法则；原书例1，p.132） 计算

解 分子、分母均趋于 ，连续求导三次：

例题2.2（有理化与未定式的转化） 计算

解 通分得

分子分母均为零，或利用

得到极限 。

例题2.3（幂指型未定式） 计算

解 设 ，则

由  型洛必达法则，

故原极限为 。

极限方法的层次。 等价无穷小、泰勒展开与洛必达法则可以相互补充。面对高阶差值，泰勒公式经常能直接标出首个非零项；面对复杂函数商，中值定理及其推论提供统一工具。

3 泰勒定理及其应用

3 泰勒定理及其应用

3.1 泰勒多项式与拉格朗日余项

定义3.1（泰勒多项式） 设  在  处有至  阶导数，定义  次泰勒多项式

当  时，称其为麦克劳林多项式。

定理3.1（泰勒定理；原书定理3.11） 若  在包含  的闭区间上具有连续到  阶的导数，内部存在  阶导数，则

其中  位于  与  之间。末项称为拉格朗日型余项。

证明一：连续使用柯西中值定理。 令

由于

且  的  至  阶导数在  处也均为零，对区间端点  连续使用柯西中值定理  次，可得某个内部点  使

乘以  即得所证。

证明二：构造有多个零点的辅助函数。 固定 ，令

于是 ，并且

从  开始反复应用罗尔定理，得到某个  使 ；即

代回  的定义，得到泰勒公式。

推论3.2（余项的上界） 若  对  与  之间所有  成立，则

证明结构。 泰勒公式依次匹配 ；余项在  处前  阶导数均消失。这是两种证明共享的关键构造。

3.2 常用麦克劳林公式

以下各式均可由泰勒定理得到。对于给定的阶数，最后的  项为  时的高阶无穷小。

在具体计算中，截断阶数由分母次数与前面各项的抵消情况确定。

3.3 带佩亚诺余项的泰勒公式

定理3.3（泰勒公式的佩亚诺形式） 若  在  的邻域内具有到  阶导数，且  在  可导，则

证明 设

要证明 ，即证明比值趋零。由连续求导和洛必达法则可将分式逐次化为

而

最后一个比值趋于 ，正是  在  的导数定义。

两种余项的作用。 拉格朗日余项显式包含更高阶导数，适合误差估计；佩亚诺余项描述局部渐近阶，适合求极限与比较无穷小。

例题3.1（高阶无穷小的首个非零项） 计算

解 展开到四阶：

相减得

故极限为 。

例题3.2（高阶导数决定驻点附近的符号） 若

则

当  为偶数时， 的符号判定局部极小或极大；当  为奇数时，函数在两侧的增量异号，故该点没有局部极值。这里假定相应阶导数存在。

3.4 近似计算与零点存在性的证明

例题3.3（以泰勒多项式估计 ） 由  在  点的展开，令 ，得

因 ，所以

截断项数与精度的对应关系便由余项上界给出。

例题3.4（高阶罗尔思想） 若 ，在  内有  阶导数，各阶导数在端点具有相应的连续延拓，并满足

则存在  使

解 以 ， 应用  阶泰勒公式及拉格朗日余项：

已知的函数值和导数全部为零，又 ，故 。

4 数学建模：方法框架

本节提炼原书第4节的通用方法及分类。其思想是先把变量关系表述为数学结构，再通过数学推演与结果检验形成闭环。

4.1 模型的基本流程

1. 模型准备：明确研究对象、研究目标、待求量及可用信息。
2. 模型假设：确定变量、参数、适用范围，形成合理的简化条件。
3. 模型建立：利用函数关系、几何公式、守恒关系或经验规律构造方程。
4. 模型求解：采用解析计算、导数求极值或其他计算手段得到结果。
5. 模型分析与检验：考察参数变化、解的合理性和误差来源。
6. 模型应用：把数学结果解释回原始问题，并对模型做修正与完善。

4.2 导数在模型中的位置

设目标函数为 ，允许范围是区间 。若  在内部有极值点  且可导，则 ；通过导数符号、二阶导数及区间端点函数值比较，确定目标函数在  上的最优值。闭区间连续性提供最大值与最小值的存在性。

数学模型可以依据变量是否随时间变化、关系是否线性、参数是否确定等角度分类。对于极值模型，目标函数、约束条件、定义域与边界检查构成统一的分析骨架。

5 函数图形的凹凸性与拐点

5.1 凹凸的定义及二阶导数判据

定义5.1（原书的“凹”“凸”约定） 设  在区间  上可导。若函数图形总位于自身各点切线的上方，原书称曲线在  上是凹的；若总位于切线下方，称为凸的。本讲义沿用这一约定。

定理5.1（凹凸性判定；原书定理3.13） 设  在  内二阶可导。若 ，则曲线在该区间内是凹的；若 ，则曲线是凸的。

证明 任取 ，该点切线为

由一阶泰勒公式及拉格朗日余项，

其中  位于  与  之间。若 ，则 （），图形位于切线上方； 同理。（证毕）

推论5.2（中点不等式） 在  的区间内，对 ，有

当  时不等号反向。

证明 取 。由于函数图形在  处切线上方，

两式相加并用 ，即得。

5.2 拐点

定义5.2（拐点） 连续曲线上凹凸性质发生改变的点称为拐点。拐点为曲线上的点 。

定理5.3（拐点的充分条件） 设  在  附近连续，且在两侧具有二阶导数。如果  在  两侧符号相反，则  为拐点。

证明 根据凹凸性判定定理， 左右两侧分别具有相反的凹凸性质，所以曲线在  改变凹凸方向。（证毕）

若  在  连续且  为拐点，则 。求拐点时通常先筛选  与  不存在的点，再做两侧符号表。

例题5.1（凹凸性与不等式） 利用凹凸性证明：当  且  时，

解 取

则

套用中点不等式：

两边乘以  即得所求。

例题5.2（拐点和驻点可以重合） 对 ，

但  在  两侧变号。因此  是拐点， 不是极值点。

6 函数图形的渐近线与描绘

6.1 三类渐近线

定义6.1（水平渐近线） 若

则直线  为相应方向上的水平渐近线。

定义6.2（铅直渐近线） 若

则  为铅直渐近线。

定理6.1（斜渐近线的求法；原书第6节） 若在  或  的一个方向上，

均为有限数，则  为该方向的斜渐近线；当  时成为水平渐近线。

证明 曲线上点 ((x,f(x))) 到直线  的距离为

若 ，则 。反过来，若距离趋零，则 ；两边除以  得 ，从而两极限式成立。

6.2 画图程序

按原书整理为以下步骤：

1. 求定义域；
2. 判定奇偶性与周期性；
3. 计算导数和二阶导数，列单调性、极值、凹凸及拐点表；
4. 求所有渐近线；
5. 结合轴交点、端点值和无穷远趋势描绘曲线。

例题6.1（高斯型函数的图形） 研究

的图形。

解 定义域为 ，且  为偶函数；

故  在  上递增，在 ((0,+\infty)) 上递减，并在  取得最大值 (1)。当

时二阶导数变号，因此拐点坐标为

此外，

所以  是两侧水平渐近线。

7 导数在经济分析中的概念与公式

本节保留原书第7节的数学定义和推导关系，便于理解边际分析、最优化与弹性分析的一般形式。

7.1 成本、收入、利润与边际函数

设产量为 ，总成本为 ，单位平均成本是

若单位价格是 ，总收入为

总利润为

定义7.1（边际量） 在导数存在时，边际成本、边际收入和边际利润分别为

它们表示产量发生微小变化时相应总量的瞬时变化率。

对利润函数求导，得到

若最优产量位于允许区间内部、利润可导，则

即

继续结合二阶导数与边界收益判断局部或全局最优。

7.2 函数弹性

定义7.2（弹性） 设 。在  处，函数对自变量的点弹性为

其中 。对应有限变化区间的比值称为弧弹性（区间弹性）。

当  很小时，

因此弹性是相对变化率之比，属于无量纲指标。

7.3 需求弹性与供给弹性

若需求量为  且 ，原书将价格需求弹性定义为

若供给量为  且 ，供给弹性为

当把需求价格表示为产量的函数  时，

如果  且需求函数可逆，则

故

这个恒等式直接连接需求弹性、价格与边际收入。

7.4 弹性与总收入变化的关系

在价格变量  下，，有

在  的情形下， 对应 ， 对应 ； 为总收入的驻点条件。这一结论与原书的需求弹性和边际收益分析一致。

8 曲率、曲率半径与曲率圆

8.1 曲率的定义

设光滑平面曲线沿弧长  的切线方向角为 。曲线上两个相邻点之间的切线转角为 ，弧长增量为 。

定义8.1（曲率；原书定义3.9） 曲线在某点的曲率为

曲率刻画切线方向随弧长变化的快慢。

圆半径为  时，，所以圆的曲率为

8.2 曲率公式的推导

设曲线由参数方程

表示，且 。曲线方向角满足

通过方向角求导，得到

因此

对函数图形 ，令参数 ，便有

所以

8.3 曲率半径与曲率圆

定义8.2（曲率圆与曲率半径） 当  时，曲线在该点的曲率半径为

以相应曲率中心为圆心、 为半径的圆称为曲线在该点的曲率圆。

命题8.1（曲率中心与渐屈线；原书第8节） 对函数图形 ，在  处，曲率中心  的坐标满足

当  变化时，曲率中心的轨迹称为原曲线的渐屈线。

证明 设 。曲率中心位于该点的法线上；从  指向  的向量与切向量  垂直，所以

又因曲率圆半径为 ，

联立可得

曲率中心位于曲线向内弯曲一侧，因此

再代回法线方程，得到所列坐标式。

例题8.1（参数曲线的曲率；原书例2，pp.176—177） 设

其中 。求曲率  及其极值位置。

解

代入参数方程曲率公式得

分母在  时取最小值 ，故曲率最大值为

在  时取最大值 ，故曲率最小值为

10 精选习题：保留数学思维价值的题目

下列题目从原书相关各节中筛出，并按证明方法分组。题干保留主要数学条件和目标；附少量思路提示，供独立推导时使用。

10.1 中值定理与函数性态

A1. 验证罗尔定理（原习题3-1第1题，p.128）。 检验

在  上是否满足罗尔定理，并求出相应的中值点。

A2. 两次罗尔定理与二阶导数（原习题3-1第18题，p.130）。 设  在  上具有连续到端点的二阶导数，，且

证明：

1. 在  内，；
2. 在  内至少存在 ，使

提示：取内点  并构造

使其在  三点取零值。

A3. 两个函数零点的关联（原习题3-1第21题，p.130）。 设  在  上连续，在  内可导，且

证明：在  的任意两个不同零点之间， 至少有一个零点。提示：讨论  并应用罗尔定理。

A4. 指数辅助函数（原习题3-1第22题，p.130）。 设 ，在  内可导，且 。对任意给定常数 ，证明存在 ，使

提示：构造 。

A5. 割线斜率的单调性（原习题3-1第20题，p.130）。 设  在  上连续，且  对所有  成立。证明

在  内递增。

A6. 曲线与割线（原习题3-1第19题，p.130）。 设 ，在  内二阶可导。已知连接 ((0,f(0))) 与 ((1,f(1))) 的直线和曲线  在  处相交。证明存在  使

A7. 极值与不可导点（原书例11，p.128）。 完整讨论

的单调区间、极值点及驻点。

10.2 极限与泰勒公式

B1. 洛必达与泰勒双解法（原第2节例题）。 求

分别采用洛必达法则与泰勒展开。

B2. 指数、对数混合极限（原第2节方法）。 求

B3. 佩亚诺余项（原第3节核心）。 在函数具有所需导数的条件下，证明

B4. 首个非零项（原书例1，p.146）。 求

明确各项消去的阶数。

B5. 高阶零点（原书例5，p.148）。 设

且  有足够阶的导数。证明存在  满足

B6. 利用泰勒余项证明不等式（原书例7，p.149）。 设

并且函数在包含零点的区间上具有二阶导数，满足 。证明对定义域内所有 ，有

10.3 凹凸、曲率与函数图形

C1. 中点不等式（原书例3，p.159）。 利用  的二阶导数，证明对  且 ，有

C2. 三个共线的拐点（原习题3-5第2题，p.160）。 证明曲线

有三个位于同一直线上的拐点。

C3. 幂函数的不等式（原习题3-5第3题，p.160）。 设 ，，。证明

C4. 曲率计算（原习题3-8第1题，p.179）。 求曲线  在  处的曲率，以及  在一般点  处的曲率。

C5. 曲率极值（原习题3-8第2题，p.179）。 证明曲线

的曲率在某点取得最大值，并求该点。

C6. 渐屈线（原习题3-8第3题，p.179）。 求曲线  在一般点的曲率中心及其轨迹，讨论  的情形。

C7. 函数综合作图（原书第6节例题）。 对

求单调区间、极值、拐点、渐近线，并画出示意图。

10.4 近似根与误差证明

D1. 牛顿迭代的推导（原书例4，p.185）。 从  推导平方根迭代式

并证明在  时单调收敛。

D2. 二次收敛（原书定理3.18，p.184）。 设 ，且

利用泰勒定理推导牛顿迭代的误差上界。

D3. 残差估计（原书定理3.19，p.185）。 证明若 ，则每个近似值  满足

D4. 方法对照（原书第9节）。 对同一连续且严格单调的函数，给出二分法的区间误差和牛顿法的局部二次误差；解释各自所利用的条件。

重点方法索引