每一步都算对了,最小值却错了:高中数学最容易漏掉的等号条件

高中数学方法课·03｜配凑与拆项。第①讲检查等号，第②讲追踪范围；这一讲，把题目里的条件变成可用的结构。

小米连用了两次不等式，每一步都对，最后的最小值却错了。问题出在两个等号，根本约不到同一组x、y。

主例：x,y>0，x+y=1，求F=1/x+4/y的最小值。

直接用基本不等式，F≥4/√(xy)；再由xy≤1/4，得到F≥8。推导成立，却不能据此认定最小值是8。

第一步等号要求y=4x，第二步要求x=y。在正数条件下，两者不可能同时成立。8只是一个偏松的下界。

转机藏在x+y=1里。把这个整体乘进原式，值不会改变：F=(1/x+4/y)(x+y)=5+y/x+4x/y。

这就是本题的“1的代换”。不是凭空变一个1，而是把题设中等于1的整体放进式子。

展开后，两项y/x与4x/y均为正数，乘积恒为4。能用基本不等式的结构，出现了。

y/x+4x/y≥4，所以F≥9。等号要求y/x=4x/y；由于x,y>0，可化为y=2x。

再与x+y=1联立，得x=1/3，y=2/3。代回原式，F=3+6=9，真正的最小值才确定为9。

配凑的价值，是让下界和能取到它的条件一起出现。

迁移题只改一个条件：x+y=2，其余不变。此时x+y不再等于1，不能直接照搬上一页的乘法。

先写1=(x+y)/2，再得F=(5+y/x+4x/y)/2≥9/2。

等号仍要求y=2x；结合x+y=2，得到x=2/3，y=4/3。代回F=3/2+3=9/2。

改题设后，先核对恒等变形，再谈套公式。条件不能用着用着就丢了。

再看x>1，求G=x+4/(x−1)的最小值。分母是x−1，便把x拆成(x−1)+1。

G=(x−1)+4/(x−1)+1≥2√4+1=5。等号要求x−1=2，即x=3；代回G=3+2=5。

也可令t=x−1>0，回到第②讲的换元法。同一道题，拆项负责造结构，换元负责把结构看得更清楚。

方法卡：看条件 → 造结构 → 验等号 → 代回去。

两次不等式能连用吗：能。但若要把最后的下界认定为最小值，整条推导中需要取等的步骤，必须由同一组原变量同时实现。

“定积”是所有题的必需条件吗：不是。基本不等式本身不要求乘积恒定；本篇构造定积，是为了得到固定且可达的下界。

下一讲·04：对勾函数与区间。最后一道题若改成x≥4，下界5就取不到了；接着研究范围怎样改变最小值的位置。

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