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重庆某中学小升初真题,比高考题还要难(20年10月24日)
重庆某中学小升初真题,比高考题还要难(20年10月24日)
家长是孩子最好的老师，
这是奥数君第1323天给出奥数题讲解。 今天的题目是排列组合问题， 来自重庆某中学小升初考试真题， 和高考中的同类题想比， 这道题难度更高。 题目（4星难度）： 从不大于100的所有正整数中，选出4个不同的数a、b、c、d,使a+d=b+c。把只有顺序不同的两组数看作同一组，问不同的a,b,c,d有多少组？ 辅导方法： 将题目写给孩子， 让他自行思考解答， 若20分钟仍然没有思路， 再由家长进行提示性讲解。 讲解思路： 这道题属于排列组合问题， 用到的知识点就是加法与乘法原理， 即分情况讨论用加法， 分步骤讨论用乘法。 对4个不同的数来说， 只要其中的3个确定后， 第4个数就一定能被确定。 由于4个不同的数一定存在大小关系， 为解题方便， 假设a是其中最小的一个数， 然后假设b<c， 则d=c+(b-a)>c, 此时这4个数的大小关系是a<b<c<d。 总的解题思路是： 在满足上述大小关系的情况下， 先计算选取a,b,d这3个数的方法数， 再减去其中使b和c相等的方法数， 最后计算b比c小的方法数。 步骤1： 先考虑第一个问题， 在a<b<d的情况下， 选取a,b,d这3个数有多少种方法？ 这个问题比较简单， 只需从100个数中选3个即可， 因此不同的方法数是 100*99*98/(3*2*1)=161700种。 步骤2： 再考虑第二个问题， 在满足a<b<d和a+d=b+c的情况下， 使b=c的方法数有多少种？ 只要a+d是偶数， 就会对应着一次b=c的情况。 故只需计算a+d是偶数的情况， 只有a+d同奇或同偶两种可能。 当a和d同为奇数时， 从50个奇数中任取2个即可， 有50*49/2=1225种不同的可能； 当a和d同为偶数时， 从50个偶数中任取2个即可， 有50*49/2=1225种不同的可能。 故a+d为偶数有1225+1225=2450种。 因此b=c也是有2450种。 步骤3： 综合上述几个问题， 考虑原题目的答案。 步骤1中得到了a<b<d的方法数， 步骤2中得到了a<b<d且b=c的方法数， 二者之差就是a<b、c<d的方法数， 即有161700-2450=159250种。 此时还不能保证b一定小于c, 注意到b和c是对称的， 因此上述结果除以2就是b<c的情况。 所以原题的答案是159250/2=79625。 思考题（4星难度）： 原题目改个条件。 从不大于100的所有正整数中，选出3个不同的数a、b、c,使a+b=c。把只有顺序不同的两组数看作同一组，问不同的a,b,c有多少组？ 微信回复“20201024”可获得答案， 看答案前请动动手指， 点个“赞”和“在看”，谢谢。 4个月后，关键词回复可能失效。
