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【考题】

如下图，已知双曲线的左、右顶点分别为 ，右焦点为，过  的直线交  于  两点，直线  交于点 ，设点 轨迹为 。

1、求 的方程；

2、直线  交于点 ，过点 作  的平行线  交直线  于点 ，证明： 为等腰三角形；

3、 在第 2 小题的基础上，设直线  与直线  交于点 ，设 的面积分别为

(1) 证明：；

(2)求  的最小值。

【解析】

由双曲线方程可知 故左顶点 ，右顶点 ，右焦点

1 、求轨迹  的方程

设过点 的直线 的方程为 （若斜率不存在，由对称性可知结论依然成立，此处讨论一般情况）。 

设

联立直线与双曲线方程： 消去 得： 整理得： 由韦达定理可得： 由此可得一个重要的比例关系： 直线  的方程为： 直线  的方程为： 设交点 ，两式相除消去 ： 将代入右边分子分母： 利用 (*) 式，将 代入： 故： 解得所以，轨迹  的方程为2、 证明为等腰三角形 

设直线 与直线 交于点

由于 ，于是 ，被直线  截得，所以点  平分 ． 

另一方面，有 于是从而 ，进而 ． 

因此，垂直平分

综上所述，是以为定点，、为腰的等腰三角形。

3、 设直线  与直线  交于点 Q，记、 的面积分别为 

 (1) 证明：

由第 2 题解答知  为等腰三角形，且

又  在直线  上，且 ， 

所以直线  是等腰 中底边  上的高。

在等腰三角形中，底边上的高、中线、顶角平分线重合， 

因此，

(2） 设 则由于  平分 ，于是 是等腰三角形，且 ，于是  根据双曲线的焦半径公式，有 因此其中，令 由，可得 的最小值为 ，

 因此，所求最小值为

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