80.双曲线渐近线的十二大常考结论
一．基本原理
1.焦点到渐近线的距离:
到直线
的距离为
.
)
0,
(c
0
ay
bx
b
2.已知渐近线方程设双曲线方程，
.
2
2
0
(
)
(
)
ax
by
ax
by
3.双曲线
中，右焦点为
，作
垂直于渐近线
，垂足为
，则点
1
2
2
2
2
b
y
a
x
2
F
P
F2
x
a
b
y
P
在双曲线的右准线上，且
的坐标为
，且
P
P
)
,
(
2
c
ab
c
a
c
O
F
b
P
F
a
OP
2
2
,
,
5.双曲线
上的点
到两渐近线的距离之积为定值
.
1
2
2
2
2
b
y
a
x
P
2
2
2
c
b
a
6.已知双曲线方程为
)
0
,0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
的右焦点为
，过点
且与渐近线
F
F
垂直的直线分别交两条渐近线于
两点.
x
a
b
y
Q
P,
情形1.如下图.若
)1
,0
(
FQ
FP
.
设
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
Q
y
x
P
，则
坐标均满足
0
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
①，
0
2
2
2
2
2
2
b
y
a
x
②.
Q
P,
又
.
)
)(
,
(
),
,
(
2
2
1
1
凌晨讲数学
y
c
x
FQ
y
c
x
FP
则由
FQ
FP
，可得：
2
1
2
1
2
1
2
1
)
1(
)
(
y
y
c
x
x
y
y
c
x
c
x
. 给②式乘
2
再相减
得：
)
(
0
)
)(
(
)
)(
(
0
)
(
)
(
0
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
凌晨讲数学
b
y
y
y
y
a
x
x
x
x
b
y
a
x
b
y
a
x
故
2
)1
(
2
)
1(
0
)
1(
2
1
2
1
2
1
c
x
c
x
x
x
c
x
x
.由
(*)
1
2
2
)1
(
2
2
e
c
a
c
情形2.如下图.若
.
)1
0
(
FP
QF
设
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
y
x
Q
y
x
P
，则
)
,
(
),
,
(
1
1
2
2
y
c
x
FP
y
x
c
QF
故得：
0
)1
(
)
(
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
c
x
x
y
y
c
x
x
c
由于
0
)
)(
(
0
)
(
)
(
0
0
0
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
a
x
x
x
x
b
y
a
x
b
y
a
x
b
y
a
x
b
y
a
x
,
2
)1
(
2
)1
(
)1
(
0
2
1
1
2
1
2
c
x
c
x
c
x
x
x
x
由
1
2
2
)1
(
2
2
e
c
a
c
进一步，过双曲线
的右焦点
且与渐近线
垂直的直
)
0
,0
(1
:
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
C
F
x
a
b
y
线分别交
的两条渐近线于
两点，则
.
C
Q
P、
a
OQ
b
FQ
c
OF
,
,
（1）当
时，设
，则
，
2
1
e
FOQ
a
b
tan
，
2
2
2
2
2
)
(
1
2
tan
1
tan
2
2
tan
b
a
ab
a
b
a
b
，
，
2
2
2
2
2
tan
b
a
b
a
a
PQ
2
2
2
2
2
2
2
b
a
bc
b
b
a
b
a
FQ
PQ
PF
.
2
2
2
2
2
2
2
2
)
2
(
b
a
ac
b
a
b
a
a
OP
（2）当
时，设
是直线
与
轴的交点，
，则
，
2
e
M
PQ
y
MOQ
b
a
tan
，
2
2
2
2
2
)
(
1
2
tan
1
tan
2
2
tan
a
b
ab
b
a
b
a
，
，
2
2
2
2
2
tan
a
b
b
a
a
PQ
2
2
2
2
2
2
2
2
)
2
(
a
b
ac
a
b
b
a
a
OP
b
a
a
MQ
2
tan
，
，
，
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
b
b
c
a
b
a
a
b
b
a
MQ
PQ
PM
b
ac
a
b
a
OM
2
2
2
)
(
.
b
c
c
b
ac
MF
2
2
2)
(
7.焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率.
8.圆
，渐近线
，准线
及圆
四者交于点
2
2
2
a
y
x
x
a
b
y
c
a
x
2
4
)
2
(
2
2
2
c
y
c
x
.关于点
，有如下的性质：
)
,
(
2
c
ab
c
a
P
P
（1）直线
垂直于渐近线
且
，又
，故
是
P
F2
x
a
b
y
b
P
F
|
|
2
c
OF
a
OP
|
|,
|
|
2
PO
F2
双曲线的特征三角形；
（2）直线
与圆
切于点
.
P
F2
2
2
2
a
y
x
)
,
(
2
c
ab
c
a
P
9.过双曲线
（a＞0，b＞0）的左焦点
，作圆x2+y2＝a2 的切线，
1
2
2
2
2
b
y
a
x
)
0,
( c
F
切点为T，延长FT 交双曲线右支于点P．若线段PF 的中点为M，M 在线段PT 上，O 为
坐标原点，则|OM|﹣|MT|＝b﹣a
10.圆
，渐近线
，准线
及圆
四者交于点点
2
2
2
a
y
x
x
a
b
y
c
a
x
2
4
)
2
(
2
2
2
c
y
c
x
.
)
,
(
2
c
ab
c
a
P
结论11：已知双曲线
，若直线与双曲线交于
两点，直
)
0
,0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
：
l
B
A,
线与两渐近线分别交于
两点，则
与
中点重合.
l
D
C,
AB
CD
证明：设
的坐标分别为
，直线
D
C
B
A
,
,
,
)
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
4
4
3
3
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
1
:
ny
mx
l
，
联立：
，同理可得：
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
n
b
m
a
m
a
x
x
b
a
y
a
x
b
ny
mx
，故
，则
与
中点重
2
2
2
2
2
4
3
2
2
2
2
2
0
1
n
b
m
a
m
a
x
x
y
a
x
b
ny
mx
4
3
2
1
x
x
x
x
AB
CD
合.
结论12：已知双曲线
，若直线与双曲线交于
两点，直
)
0
,0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
：
l
B
A,
线与两渐近线分别交于
两点，则（公众号：凌晨讲数学）
l
D
C,
（1）
为线段
的三等分点的充要条件是
两点的横坐标之积为
；
D
C,
AB
D
C,
8
2
a
（2）
为线段
的三等分点的充要条件是
两点的横坐标之积为
.
B
A,
CD
D
C,
8
9
2
a
证明 （1）由结论1 知线段
与线段
的中点重合，则
为线段
的三等分点等
AB
CD
D
C,
AB
价于
，
CD
AB
3
又
，
，则等价
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)1
(
4
n
b
m
a
m
a
n
b
b
a
n
m
AB
2
2
2
2
2
2
2
2
4
n
b
m
a
b
a
n
m
CD
于
，即
，又
，
3
1
2
2
2
2
m
a
n
b
8
2
2
2
2
m
a
n
b
2
2
2
2
2
4
3
n
b
m
a
a
x
x
所以等价于
，故
为线段
的三等分点的充要条件是
两点的横坐标
8
2
4
3
a
x
x
D
C,
AB
D
C,
之积为
；
8
2
a
（2）同理（1）得
为线段
的三等分点等价于
，即
B
A,
CD
AB
CD
3
，即
，即
，所以
3
1
1
2
2
2
2
m
a
n
b
9
8
2
2
2
2
m
a
n
b
8
9
2
2
2
2
2
2
4
3
a
n
b
m
a
a
x
x
为线段
的三等分点的充要条件是
两点的横坐标之积为
B
A,
CD
D
C,
8
9
2
a
二．典例分析
例1.已知双曲线
:
，以
的右焦点为圆心且与
的渐近线相
C
1
2
2
2
2
b
y
a
x
0,
0
a
b
C
C
切的圆的半径是 ( )
A.
B.
C.
D.
ab
2
2
b
a
a
b
解析：以
的右焦点为圆心且与
的浙近线相切的圆的半径等于右焦点到渐近线的距离
C
C
b
，选D.
例2.双曲线
1
3
6
2
2
y
x
的渐近线与圆
)
0
(
)
3
(
2
2
2
r
r
y
x
相切，则
= ( )
r
A.
3 B.2 C.3 D.6
解析：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b=
，选A.
3
例3.以双曲线
的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程 ( )
2
2
1
9
16
x
y
A.
B.
2
2
10
9
0
x
y
x
2
2
10
16
0
x
y
x
C.
D.
2
2
10
16
0
x
y
x
2
2
10
9
0
x
y
x
解析：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以r=b=
，选A.
4
例4.已知双曲线
的两条渐近线均和圆
:
2
2
6
5
0
x
y
x
相
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
C
切，且双曲线的右焦点为圆
的圆心，则该双曲线的方程为 ( )
C
A.
2
2
1
5
4
x
y
B.
2
2
1
4
5
x
y
C.
2
2
1
3
6
x
y
D.
2
2
1
6
3
x
y
例5.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离
心率为 .
解析：由相似成比例可得：
.
3
2
6
a
c
例6．过双曲线
的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为
，与双
)
0
,0
(1
2
2
2
2
b
a
b
y
a
x
A
曲线的另一条渐近线交于点
，若
，则此双曲线的离心率为________
B
FA
FB
2
解析：满足结论6 情形1，即
，故
，则
2
1
2
2
e
2
e
例7．已知双曲线
的两条渐近线分别为直线
，
，经过右焦点
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
1l
2l
F
且垂直于
的直线分别交
，
于
两点，且
，则该双曲线的离心率为
1l
l
1l
2l
,
A B
2
FB
AF
（ ）
A．
B．
C．
D．
2 3
3
3
4
3
4 3
3
解析：满足结论6 情形2，即
，
.
2
3
3
2
1
2
2
e
e
练习1．已知F 是双曲线
的右焦点，过点F 作双曲线一条渐近线的
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B，且满足
，则双曲线的离心率为（ ）
2AF
FB
A．
B．
C．
D．
2 3
3
6
2
3
6
练习2．已知双曲线C:
，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l，垂足为点
2
2
2
2
1
x
y
a
b
A，与C 的另一条渐近线交于点B，若
，则C 的离心率为（ ）
l
3
AB
AF
A．2
B．
C．
D．
6
2
2 3
3
15
3
练习3．已知双曲线
：
的右焦点
，过点
作一条渐近线的垂线
C
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
F
F
，垂足为M，若与另一条渐近线交于点N，且满足
，则该双曲线的离心率为
l
l
4MF
MN
______.
练习4．已知
是双曲线
的右焦点,点A,B 分别在其两条渐近线上,且满
F
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
足
(
为坐标原点),则该双曲线的离心率为 _______．
2
,
0
BF
FA OA AB
O
答案：1．A 2．C 3．
4．
6
2
2 3
3
例8.（2019 全国1 卷）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为F1，
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
F2，过F1 的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点．若
，
，
1F A
AB
1
2
0
F B F B
则C 的离心率为____________．
解析：如图，由
得
又
得OA 是三角形
的中位线，
1
,
F A
AB
1
.
F A
AB
1
2,
OF
OF
1
2
F F B
即
由
，得
则
有
2
2
/ /
,
2
.
BF
OA BF
OA
1
2
0
F B F B
A
1
2
1
,
,
F B
F B OA
F A
1
OB
OF
，又OA 与OB 都是渐近线，得
又
1
AOB
AOF
2
1,
BOF
AOF
，得
．又渐近线OB 的
2
1
BOF
AOB
AOF
0
2
1
60 ,
BOF
AOF
BOA
斜率为
，所以该双曲线的离心率为
0
tan 60
3
b
a
2
2
1 ( )
1 ( 3)
2
c
b
e
a
a
．
例9.（2019 全国3 卷）．双曲线C：
=1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐近线
2
2
4
2
x
y
上，O 为坐标原点，若
，则△PFO 的面积为
=
PO
PF
A．
B．
C．
D．
3 2
4
3 2
2
2 2
3 2
解析：由
．
，又P 在C 的
2
2
2 ,
2 ,
6 ,
a
b
c
a
b
6
,
2
P
PO
PF
x
一条渐近线上，不妨设为在
上，
2
2
y
x
1
1
3
3 2
6
2
2
2
4
PFO
P
S
OF
y
△
，故选A．
例10.（2018 全国1 卷）．已知双曲线C：
，O 为坐标原点，F 为C 的右焦
2
2
1
3
x
y
点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N.若
OMN 为直角三角形，则
A
|MN|=
A．
B．3
C．
D．4
3
2
2 3
解析：根据题意，可知其渐近线的斜率为
，且右焦点为
，从而得到
3
3
(2,0)
F
，所以直线
的倾斜角为
或
，根据双曲线的对称性，设其倾斜角
30
FON
MN
60
120
为
，可以得出直线
的方程为
，分别与两条渐近线
和
60
MN
3(
2)
y
x
3
3
y
x
联立，求得
，所以
3
3
y
x
3
3
(3, 3),
( ,
)
2
2
M
N
，故选B.
2
2
3
3
(3
)
( 3
)
3
2
2
MN
例11．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与C
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
1F
2
F
1F
的两条渐近线分别交于A，B 两点，若A 为线段
的中点，且
，则C 的离心率
1
BF
1
2
BF
BF
为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
3
3
1
解析：由题意可知，过
的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，当两个交点分别
1F
在第二和第三象限时不符合，A 为线段
的中点，当交点在
轴上方或
轴下方时，根据
1
BF
x
x
对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.
根据双曲线可得，
，
，两条渐近线方程
，
，
为
1(
,0)
F
c
2( ,0)
F c
b
y
x
a
1
2
BF
BF
O
1
2
F F
的中点，
，又
A 为线段BF1 的中点，
垂直平分
，
1
2
BO
OF
OF
c
OA
1
BF
可设直线
为
①，直线
为
②，直线
为
③，
1
BF
(
)
a
y
x
c
b
2
BF
(
)
b
y
x
c
a
BO
b
y
x
a
由②③得，交点坐标
，点
还在直线
上，
，可得
，
( ,
)
2 2
c bc
B
a
B
1
BF
(
)
2
2
bc
a c
c
a
b
2
2
3
b
a
，所以双曲线C 的离心率
，故选：B
2
2
2
2
4
c
a
b
a
2
c
e
a
例12．（2022 年乙卷）双曲线C 的两个焦点为
，以C 的实轴为直径的圆记为D，过
1
2
,
F F
作D 的切线与C 交于M，N 两点，且
，则C 的离心率为（ ）
1F
1
2
3
cos
5
F NF
A．
B．
C．
D．
5
2
3
2
13
2
17
2
解析：设双曲线的方程为
，设过
的切线与圆
相切
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
1F
2
2
2
:
D x
y
a
于点
，则
，
，又
，所以
，
P
|
|
OP
a
1
OP
PF
1
|
|
OF
c
2
2
2
2
1
1
PF
OF
OP
c
a
b
过点
作
于点
，所以
，又
为
的中点，
2
F
2
F Q
MN
Q
2
/ /
OP
F Q
O
1
2
F F
所以
，
，因为
，
，所以
1
1
|
| 2 |
| 2
FQ
PF
b
2
|
| 2 |
| 2
QF
OP
a
1
2
3
cos
5
F NF
1
2
2
F NF
，所以
，则
，
1
2
4
sin
5
F NF
2
2
1
2
5
|
|
sin
2
QF
a
NF
F NF
2
1
2
3
|
| |
| cos
2
a
NQ
NF
F NF
所以
，由双曲线的定义可知
，
1
1
3
|
| |
|
|
|
2
2
a
NF
NQ
FQ
b
1
2
|
|
|
| 2
NF
NF
a
所以
，可得
，即
，
3
5
2
2
2
2
a
a
b
a
2
3
b
a
3
2
b
a
所以
的离心率
．当直线与双曲线交于一支时，同理可得
C
2
2
9
13
1
1
4
2
c
b
e
a
a
A
正确；故选：
．
AC
