北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
9.3 双曲线及其性质
基础篇
考点一 双曲线的定义及标准方程
x2 y2
1.(2021湖北十堰月考,3)方程 − =1表示的曲线是双曲线,则m的取值范围是
2+m 1−m
( )
A.-2<m<1 B.m>1
C.m<-2 D.-1<m<2
答案 A
x2 y2
2.(2021河北衡水中学联考二,6)已知双曲线 − =1(a>0,b>0)的焦点F(c,0)到渐近
a2 b2
√3
线的距离为 c,且点(2,√3)在双曲线上,则双曲线的方程为( )
2
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
9 3 12 3
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
3 12 3 9
答案 D
3.(2020浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函
数y=3√4−x2图象上的点,则|OP|= ( )
√22 4√10
A. B. C.√7D.√10
2 5
答案 D
x2 y2
4.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=
a2 b2
√5 x2 y2
x,且与椭圆 + =1有公共焦点,则C的方程为 ( )
2 12 3
x2 y2 x2 y2
A. − =1B. − =1
8 10 4 5
x2 y2 x2 y2
C. − =1D. − =1
5 4 4 3
答案 B
5.(2023届海南琼海嘉积中学月考,13)双曲线x2-my2=1的渐近线方程为y=±2x,则m=
.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
1
答案
4
考点二 双曲线的几何性质
x2 y2
1.(2021全国甲文,5,5分)点(3,0)到双曲线 − =1的一条渐近线的距离为 (
16 9
)
9 8 6 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 A
x2 y2
2.(2023届长春六中月考,8)若双曲线C: − =1(a>0,b>0)的离心率为√5,则其渐近
a2 b2
线方程为 ( )
1
A.y=±2x B.y=± x
2
C.y=±√3xD.y=±√5x
答案 A
x2 y2
3.(2019课标Ⅲ理,10,5分)双曲线C: − =1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线
4 2
上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为 ( )
3√2 3√2
A. B. C.2√2D.3√2
4 2
答案 A
x2 y2
4.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分)设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C: −
a2 b2
=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△ODE的面积为8,则C的焦距的最小
值为 ( )
A.4 B.8 C.16 D.32
答案 B
x2 y2
5.(多选)(2023届河北邯郸摸底,10)已知双曲线C: − =1(a>0)的左、右焦点分别
a2 3
为F ,F ,离心率为2,P为C上一点,则 ( )
1 2
A.双曲线C的实轴长为2
B.双曲线C的一条渐近线方程为y=√3x北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
C.|PF |-|PF |=2
1 2
D.双曲线C的焦距为4
答案 ABD
6.(多选)(2023届重庆八中入学考,11)定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲
线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是( )
x2 y2 y2 x2
A.与 − =1(a>0,b>0)共轭的双曲线是 − =1(a>0,b>0)
a2 b2 a2 b2
B.互为共轭的双曲线的渐近线不相同
C.互为共轭的双曲线的离心率为e 、e ,则e e ≥2
1 2 1 2
D.互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
答案 CD
7.(多选)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x±2y=0,则以该组直线为渐近线的双
曲线的方程可能是 ( )
A.x2-4y2=1 B.4y2-x2=1
y2 x2
C.x2- =1D. -y2=1
4 4
答案 ABD
x2 y2 5
8.(2022河北邯郸一中开学考,8)已知双曲线 − =1(a>0,b>0)的离心率为 ,O为坐
a2 b2 4
标原点,右焦点为F,过点F作一条渐近线的垂线,垂足为P,若△OPF的周长为12,则双
曲线的实轴长为 ( )
A.8 B.4 C.2√2 D.2
答案 A
9.(多选)(2020新高考Ⅰ,9,5分)已知曲线C:mx2+ny2=1. ( )
A.若m>n>0,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆,其半径为√n
√ m
C.若mn<0,则C是双曲线,其渐近线方程为y=± − x
n
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
答案 ACD
x2 y2
10.(2023届安徽十校联考,14)已知双曲线E: − =1(a>0)的渐近线方程为y=±√3x,
a2 9
则双曲线E的焦距等于 .
答案 4√3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
x2 y2
11.(2021新高考Ⅱ,13,5分)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0),离心率e=2,则双曲线
a2 b2
C的渐近线方程为 .
答案 y=±√3x
x2
12.(2021全国乙理,13,5分)已知双曲线C: -y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0,则
m
C的焦距为 .
答案 4
x2 y2
13.(2020北京,12,5分)已知双曲线C: − =1,则C的右焦点的坐标为 ;C
6 3
的焦点到其渐近线的距离是 .
答案 (3,0) √3
x2 y2
14.(2021全国乙文,14,5分)双曲线 − =1的右焦点到直线x+2y-8=0的距离为 .
4 5
答案 √5
x2 √3
15.(2022北京,12,5分)已知双曲线y2+ =1的渐近线方程为y=± x,则m= .
m 3
答案 -3
考点三 直线与双曲线的位置关系
x2
1.(2022河北沧州一中月考,8)已知F ,F 分别是双曲线C: -y2=1的左,右焦点,点M在
1 2 3
直线x-y+3=0上,则|MF |+|MF |的最小值为 ( )
1 2
A.2√13B.6C.√26 D.5
答案 C
x2 y2
2.(2021湘豫名校4月联考,10)已知双曲线C: − =1的右焦点为F,过原点O的直
16 9
线与双曲线C交于A,B两点,且∠AFB=60°,则△OBF的面积为 ( )
9 9√3 3 3√3
A. B. C. D.
2 2 2 2
答案 D
x2 y2
3.(多选)(2023届湖北摸底联考,12)已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的右焦点为F,
a2 b2
左、右顶点分别为A ,A ,则 ( )
1 2
A.过点A 与C只有一个公共点的直线有2条
2
B.若C的离心率为√5,则点F关于C的渐近线的对称点在C上北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
C.过F的直线与C的右支交于M,N两点,则线段MN的长度有最小值
π
D.若C为等轴双曲线,点P是C上异于顶点的一点,且|A A |=|PA |,则∠PA A =
1 2 2 1 2 6
答案 BCD
x2 y2
4.(2023届浙江嘉兴一中期中,21)已知双曲线 − =1(a>0,b>0),O为坐标原点,离心
a2 b2
率e=2,点M(√5,√3)在双曲线上.
(1)求双曲线的方程;
(2)如图,若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q,P,且⃗OP·⃗OQ=0,求|OP|2+|OQ|2
的最小值.
解析 (1)由离心率e=2,点M(√5,√3)在双曲线上,
c 5 3
可得 =2, − =1,结合a2+b2=c2,
a a2 b2
解得a=2,b=2√3,c=4,
x2 y2
则双曲线的方程为 − =1.
4 12
(2)由⃗OP·⃗OQ=0,可得OP⊥OQ,
1
设OP的方程为y=kx,则OQ的方程为y=- x,
k
{ y=kx, 12 12k2
由 解得x2= ,y2= ,
3x2−y2=12 3−k2 3−k2
12(1+k2
)
则|OP|2= ,
3−k2
1 12(1+k2 ) 1
将k换为- ,可得|OQ|2= , <k2<3,
k 3k2−1 3
24(1+k2
)
2
所以|OP|2+|OQ|2= ,
(3−k2 )(3k2−1)
(4 )
令1+k2=t <t<4 ,则k2=t-1,
3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
24t2 24t2 24 24
= = =
所以|OP|2+|OQ|2=(4−t)(3t−4) −3t2+16t−16
−3+
16
−
16
−16
(1
−
1) 2
+1
,
t t2 t 2
当t=2,即k2=1时,|OP|2+|OQ|2取得最小值24.
5.(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F (-√17,0),F (√17,0),
1 2
点M满足|MF |-|MF |=2.记M的轨迹为C.
1 2
(1)求C的方程;
1
(2)设点T在直线x= 上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|
2
=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解析 (1)由题意知|F F |=2√17,因为|MF |-|MF |=2<|F F |=2√17,所以结合双曲线定义
1 2 1 2 1 2
知,点M的轨迹C是以F 、F 为焦点的双曲线的右支.
1 2
x2 y2
设其方程为 − =1(a>0,b>0,x≥a),
a2 b2
则2a=2,2c=2√17,解得a=1,c=√17,
则b2=c2-a2=(√17)2-12=16,
y2
所以M的轨迹C的方程为x2- =1(x≥1).
16
{ ( 1)
y=k x− +m,
(2)如图,设T (1 ,m ) ,直线AB的方程为y-m=k ( x− 1) ,由 1 2 得(16-k2
2 1 2 y2 1
x2− =1(x≥1),
16
1
)x2+(k2 -2k m)x- k2 +k m-m2-16=0,
1 1 4 1 1
设A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
1
k2−2k m k2+m2−k m+16
则x +x = 1 1 ,x x =4 1 1 ,
1 2 k2−16 1 2
1
k2−16
1
则|TA|=
√1+k2(
x −
1)
,|TB|=
√1+k2(
x −
1)
,
1 1 2 1 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
所以|TA|·|TB|=(1+k2)· ( x − 1)( x − 1) =
(m2+12)(1+k
1
2
) .
1 1 2 2 2 k2−16
1
( 1)
设直线PQ的方程为y-m=k x− ,
2 2
(m2+12)(1+k2
)
同理得|TP|·|TQ|= 2 ,
k2−16
2
因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
(m2+12)(1+k2
)
(m2+12)(1+k2
)
所以 1 = 2 ,
k2−16 k2−16
1 2
1+k2 1+k2
所以 1 = 2 ,即k2=k2,由题意知k ≠k ,所以k +k =0,即直线AB的斜率与直线
k2−16 k2−16 1 2 1 2 1 2
1 2
PQ的斜率之和为0.
x2 y2
6.(2022新高考Ⅰ,21,12分)已知点A(2,1)在双曲线C: − =1(a>1)上,直线l交
a2 a2−1
C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率;
(2)若tan∠PAQ=2√2,求△PAQ的面积.
4 1
解析 (1)∵点A在双曲线上,∴ − =1,
a2 a2−1
x2
解得a2=2.∴C的方程为 -y2=1.①
2
设直线l:y=kx+m.②
联立①②,消去y得(1-2k2)x2-4kmx-2(m2+1)=0.
设P(x ,y ),Q(x ,y ),
1 1 2 2
4km 2m2+2
则x +x = ,x x =- ,
1 2 1−2k2 1 2 1−2k2
y −1 y −1
k = 1 ,k = 2 ,
PA x −2 QA x −2
1 2
y −1 y −1
由k +k =0,得 1 + 2 =0,
PA QA x −2 x −2
1 2
化简得2kx x +(m-2k-1)(x +x )-4(m-1)=0,
1 2 1 2
( 2m2+2) 4km
即2k· − +(m-2k-1)· -4(m-1)=0,
1−2k2 1−2k2
化简得(2k+m-1)(k+1)=0,
∴2k+m-1=0或k+1=0.
