北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
8.3 直线、平面平行的判定和性质
基础篇
考点一 直线与平面平行的判定和性质
1.(2018浙江,6,4分)已知平面α,直线m,n满足m α,n α,则“m∥n”是“m∥α”的(
)
⊄ ⊂
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
2.(2022湖南益阳调研,7)在正方体ABCD-A B C D 中,E,F分别是AB,BC的中点,则下
1 1 1 1
列说法错误的是 ( )
A.AD⊥A E B.EF∥A C
1 1 1
C.A E∥B F D.B F∥平面A AD
1 1 1 1
答案 C
3.(多选)(2022辽宁葫芦岛一模,10)点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则
下列满足MN∥平面ABC的是( )
A B
C D
答案 BC
4.(多选)(2022河北邯郸一模,10)如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的
中点,
G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,则 ( )
A.BD∥平面EGHF北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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B.FH∥平面ABC
C.AC∥平面EGHF
D.直线GE,HF,AC交于一点
答案 AD
5.(2020北京,16,13分)如图,在正方体ABCD-A B C D 中,E为BB 的中点.
1 1 1 1 1
(1)求证:BC ∥平面AD E;
1 1
(2)求直线AA 与平面AD E所成角的正弦值.
1 1
解析 (1)证明:∵ABCD-A B C D 为正方体,∴D C ∥A B ,D C =A B .又
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
AB∥A B ,AB=A B ,∴D C ∥AB,D C =AB,∴四边形ABC D 为平行四边形,
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
∴AD ∥BC ,又AD 平面AD E,BC 平面AD E,∴BC ∥平面AD E.
1 1 1 1 1 1 1 1
(2)不妨设正方体的
⊂
棱长为2,如图,以
⊄
{⃗AD,⃗AB,⃗A A
1
}为正交基底建立空间直角坐标系
A-xyz,
则A(0,0,0),A (0,0,2),D (2,0,2),E(0,2,1),∴⃗A A =(0,0,2),⃗AD =(2,0,2),⃗AE
1 1 1 1
=(0,2,1),设平面AD E的法向量为n=(x,y,z),直线AA 与平面AD E所成的角为θ,
1 1 1
{n·⃗AD =0, {2x+2z=0, {x=2,
则 1 即 令z=-2,则
n·⃗AE=0, 2y+z=0, y=1,
此时n=(2,1,-2),
|n·⃗A A | |−4| 2
∴sin θ=|cos<n,⃗A A >|= 1 = = ,
1 |n||⃗A A | √4+1+4×2 3
1北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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2
∴直线AA 与平面AD E所成角的正弦值为 .
1 1 3
考点二 平面与平面平行的判定和性质
1.(2019课标Ⅱ,文7,理7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是 ( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
答案 B
2.(2021太原一模,19)如图,在三棱锥P-ABC中, PAB是正三角形,G是△PAB的重心,
D,E,H分别是PA,BC,PC的中点,点F在BC上,且BF=3FC.
△
(1)求证:平面DFH∥平面PGE;
(2)若PB⊥AC,AB=AC=2,BC=2√2,求二面角A-PC-B的余弦值.
解析 (1)证明:连接BG,GD,由题意得BG与GD共线,且BG=2GD,
∵E是BC的中点,BF=3FC,∴F是CE的中点,
BG BE
∴ = =2,∴GE∥DF,
GD EF
∵GE 平面PGE,DF 平面PGE,∴DF∥平面PGE,
∵H是PC的中点,∴FH∥PE,
⊂ ⊄
∵HF 平面PGE,PE 平面PGE,∴FH∥平面PGE,
∵DF∩FH=F,∴平面DFH∥平面PGE.
⊄ ⊂
(2)∵AB=AC=2,BC=2√2,
∴AB2+AC2=8=BC2,∴AB⊥AC,又∵PB⊥AC,AB∩PB=B,
∴AC⊥平面PAB,
以A为坐标原点,向量⃗AB,⃗AC的方向为x轴,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐
标系A-xyz,由题意得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(1,0,√3),则⃗AC=(0,2,0),⃗AP
=(1,0,√3),⃗PC=(-1,2,-√3),⃗BC=(-2,2,0),北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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设平面PAC的法向量是m=(x ,y ,z ),
1 1 1
{m·⃗AC=0, { 2y =0,
则 ∴ 1 则y =0,
m·⃗AP=0, x +√3z =0, 1
1 1
令z =-1,则x =√3,∴m=(√3,0,-1),
1 1
设平面PBC的法向量是n=(x ,y ,z ),
2 2 2
{n·⃗PC=0, {−x +2y −√3z =0,
则 ∴ 2 2 2
n·⃗BC=0, −2x +2y =0,
2 2
{x =√3,
令z =1,则 2 ∴n=(√3,√3,1),
2 y =√3,
2
m·n √7
∴cos<m,n>= = ,又知二面角A-PC-B是锐二面角,∴二面角A-PC-B的余弦
|m||n| 7
√7
值为 .
7
综合篇
考法一 判定或证明直线与平面平行的方法
1. (2021江苏扬州大学附中检测,5)已知直三棱柱ABC-A B C 中,M,N分别是A B ,AB
1 1 1 1 1
的中点,P点在线段B C上,则NP与平面AMC 的位置关系是( )
1 1
A.垂直
B.平行
C.相交但不垂直
D.要依P点的位置而定
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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2.(多选)(2022辽宁大连模拟,11)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,则
( )
A.平面PAD内任意一条直线都不与BC平行
B.平面PBC内存在无数条直线与平面PAD平行
C.平面PAB和平面PCD的交线不与底面ABCD平行
D.平面PAD和平面PBC的交线不与底面ABCD平行
答案 ABD
3.(2019北京,文13,理12,5分)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:
①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:
.
答案 若l⊥m,l⊥α,则m∥α(答案不唯一)
4.(2023届南京学情调研,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,
PA⊥平面ABCD,M为PC的中点.
(1)求证:PA∥平面MBD;
(2)若AB=AD=PA=2,∠BAD=120°,求二面角B-AM-D的正弦值.
解析 (1)证明:连接AC交BD于点O,可知O为AC的中点,连接OM,又M为PC的中
点,所以OM∥PA,又OM 平面MBD,PA 平面MBD,所以PA∥平面MBD.
⊂ ⊄
(2)由题意可得平行四边形ABCD为菱形.建立如图所示的空间直角坐标系,
在菱形ABCD中,因为AB=AD=2,∠BAD=120°,所以AC=2,OB=√3,所以B(√3
,0,0),C(0,1,0),D(-√3,0,0),A(0,-1,0),M(0,0,1),所以⃗BA=(-√3,-1,0),⃗BM=(-√3
,0,1),⃗DA=(√3,-1,0),⃗DM=(√3,0,1),
{m·⃗BA=0, {−√3x−y=0,
设平面MBA的法向量为m=(x,y,z),则 即 令x=1,则
m·⃗BM=0, −√3x+z=0,
{y=−√3,
则m=(1,-√3,√3),
z=√3,北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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设平面MDA的法向量为n=(a,b,c),
{n·⃗DM=0, {√3a+c=0,
则 即 令a=1,
n·⃗DA=0, √3a−b=0,
则n=(1,√3,-√3),
m·n 1−3−3 5 2√6
所以cos<m,n>= = =− ,所以sin<m,n>= ,故二面角B-AM-D的
|m|·|n| √7×√7 7 7
2√6
正弦值为 .
7
5.(2022新高考Ⅱ,20,12分)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB
的中点.
(1)证明:OE∥平面PAC;
(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.
解析 (1)证法一:连接OA,
∵PO是三棱锥P-ABC的高,∴PO⊥平面ABC,
∴PO⊥OA,PO⊥OB,∴∠POA=∠POB=90°,
又PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,∴OA=OB,
取AB的中点D,连接OD、DE,则OD⊥AB,
又∵AB⊥AC,∴OD∥AC,
又∵OD 平面PAC,AC 平面PAC,∴OD∥平面PAC,
又D、E分别为AB、PB的中点,∴DE∥PA,
⊄ ⊂
又∵DE 平面PAC,PA 平面PAC,∴DE∥平面PAC,
又OD、DE 平面ODE,OD∩DE=D,
⊄ ⊂
∴平面ODE∥平面PAC,
⊂
又OE 平面ODE,∴OE∥平面PAC.
证法二:连接OA,∵PO是三棱锥P-ABC的高,
⊂
∴PO⊥平面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,
∴∠POA=∠POB=90°,又PA=PB,PO=PO,
∴△POA≌△POB,∴OA=OB,
延长BO交AC于点F,连接PF,北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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易知在Rt ABF中,O为BF的中点,
∵E为PB的中点,∴OE∥PF,
△
又OE 平面PAC,PF 平面PAC,
∴OE∥平面PAC.
⊄ ⊂
(2)取AB的中点M,连接OM,OA,以M为坐标原点,MB,MO所在直线分别为x,y轴,过
点M且与平面ABC垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∵PO=3,PA=5,∴结合(1)可知OA=OB=4,
又∠ABO=∠CBO=30°,∴OM=2,MB=2√3,
( 3)
∴P(0,2,3),B(2√3,0,0),A(-2√3,0,0),E √3,1, ,∵AB⊥AC,∠CBA=60°,AB=4√3
2
,
∴AC=12,C(-2√3,12,0).
设平面AEB的法向量为n =(x ,y ,z ),
1 1 1 1
∵⃗AB=(4√3,0,0),⃗AE= ( 3√3,1, 3) ,
2
{⃗AB·n =0, { x 1 =0,
∴ 1 即 3
⃗AE·n =0, 3√3x + y + z =0,
1 1 1 2 1
令y =3,则z =-2,∴n =(0,3,-2).
1 1 1
设平面AEC的法向量为n =(x ,y ,z ),
2 2 2 2
∵⃗AC=(0,12,0),
{⃗AC·n =0, { y 2 =0,
∴ 2 即 3
⃗AE·n =0, 3√3x + y + z =0,
2 2 2 2 2
令x =√3,则z =-6,∴n =(√3,0,-6),
2 2 2
n ·n 12 4√3
∴cos<n ,n >= 1 2 = = ,
1 2 |n |·|n | √13×√39 13
1 2
11
设二面角C-AE-B的平面角为θ,则sin θ=
√1−cos2θ=
,∴二面角C-AE-B的正弦值为
13
11
.
13
考法二 判定或证明平面与平面平行的方法
