北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8.5 空间角与距离、空间向量及其应用
基础篇 固本夯基
考点一 用向量法证明空间中的平行和垂直
1.(2021广东佛山月考,3)直线l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为( 1 ),则m=( )
1, ,2
2
A.-4 B.-6 C.-8 D.8
答案 C
2. (2021合肥八中月考,6)如图所示,正方体ABCD-ABCD 的棱长为a,M,N分别为AB和AC上的
1 1 1 1 1
√2a
点,AM=AN= ,则MN与平面BBCC的位置关系是( )
1 1 1
3
A.斜交 B.平行 C.垂直 D.不确定
答案 B
3. (多选)(2021重庆巴蜀中学月考,11)如图,在长方体ABCD-ABCD 中,AB=√3AD=√3AA=√3,点P为
1 1 1 1 1
线段AC(包含线段端点)上的动点,则下列结论正确的是( )
1
A.当 =3 时,DP∥平面BDC
⃗A C ⃗A P 1 1
1 1
B.当 =5 时,AC⊥平面DAP
⃗A C ⃗A P 1 1
1 1
C.∠APD 的最大值为90°
1
D.AP+PD 的最小值为√5
1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 AB
4.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分)在正三棱柱ABC-ABC 中,AB=AA=1,点P满足 =λ +μ ,其中
1 1 1 1 ⃗BP ⃗BC ⃗BB
1
λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )
A.当λ=1时,△ABP的周长为定值
1
B.当μ=1时,三棱锥P-ABC的体积为定值
1
1
C.当λ= 时,有且仅有一个点P,使得AP⊥BP
1
2
1
D.当μ= 时,有且仅有一个点P,使得AB⊥平面ABP
1 1
2
答案 BD
4. (多选)(2021山东广饶一中月考)如图所示,在正方体ABCD-ABCD 中,AB=1,点P在侧面BCCB(包括
1 1 1 1 1 1
边界)上运动,并且总是保持AP⊥BD,则以下四个结论正确的是( )
1
1
A.V =
A 1 -PAD 3
B.点P必在线段BC上
1
C.AP⊥BC
1
D.AP∥平面ACD
1 1
答案 BD
6.(2022届河北张家口11月阶段测试)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,
∠BAD=45°,PD=AD=5,点E,F分别在棱AB,PC上,且AE∶AB=PF∶FC=2∶3.
(1)证明:PA∥平面DEF;
(2)求四棱锥F-BCDE的体积.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解析 (1)证明:以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,5),D(0,0,0),A(5√2 5√2 ),∴ =(5√2 5√2 ).∵AB=AD=5,AE=2,∴AE=10.
,- ,0 ⃗PA ,- ,-5
2 2 2 2 AB 3 3
∵PF=2,PC= =5 ,∴PF=2 ,FC=3 ,则E(5√2 10 5√2 ),F(0,2,3),
√PD2+CD2 √2 √2 √2 , - ,0
FC 3 2 3 2
∴ =(5√2 10 5√2 ), =(2,0,3),设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),
⃗DE , - ,0 ⃗DF 1 1 1
2 3 2
{5√2 (10 5√2)
x + - y =0,
∴ 2 1 3 2 1 取y 1 =3 √2 ,则z 1 =-2 √2 ,x 1 =3 √2 -4,∴n=(3 √2 -4,3 √2 ,-2 √2 ),∵n· ⃗PA =
2y +3z =0,
1 1
5√2×(3 -4)+( 5√2)×3 -5×(-2 )=0,又PA⊄平面DEF,∴PA∥平面DEF.
√2 - √2 √2
2 2
(2)设点F到平面BCDE的距离为h,则V
F-BCDE
=1S
四边形BCDE
·h,由(1)知,h=3,又S
四边形BCDE
=1×(5
+5
)×5√2
3 2 3 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
25√2 1 25√2 25√2
= ,∴V = ×3× = .
3 F-BCDE 3 3 3
7.(2021湖北黄石月考,19)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,
∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°角.
(1)求证:CM∥平面PAD;
(2)求证:平面PAB⊥平面PAD.
证明 (1)因为PC⊥平面ABCD,所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,所以∠PBC=30°.因为PC=2,所以
BC=2√3,PB=4.由题意知PC,BC,CD两两垂直.以C为坐标原点,以CB所在直线为x轴,CD所在直线为y
轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,
所以C(0,0,0),D(0,1,0),B(2 ,0,0),A(2 ,4,0),P(0,0,2),M(√3 3),所以 =(0,-1,2), =(2 ,3,0),
√3 √3 ,0, ⃗DP ⃗DA √3
2 2
=(√3 3),设n=(x,y,z)为平面PAD的法向量,则{⃗DP·n=0, 即{- y+2z=0, 令y=2,得
⃗CM ,0,
2 2 ⃗DA·n=0, 2√3x+3 y=0,
√3 3
n=(-√3,2,1).因为n·⃗CM=-√3× +2×0+1× =0,所以n⊥⃗CM,又CM⊄平面PAD,所以CM∥平面PAD.
2 2
(2)取AP的中点E,连接BE,易知E(√3,2,1),则⃗BE=(-√3,2,1).因为PB=AB,所以BE⊥PA.又因为⃗BE·⃗DA=(-
√3,2,1)·(2√3,3,0)=0,所以⃗BE⊥⃗DA,所以BE⊥DA,又PA∩DA=A,所以BE⊥平面PAD,又因为BE⊂平面
PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.
8.(2017天津,17,13分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的
中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(1)求证:MN∥平面BDE;
(2)求二面角C-EM-N的正弦值;北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
√7
(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 ,求线段AH的长.
21
解析 如图,以A为原点,分别以⃗AB,⃗AC,⃗AP的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题
意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).
(1)证明: ⃗DE =(0,2,0), ⃗DB =(2,0,-2).设n=(x 0 ,y 0 ,z 0 )为平面BDE的法向量,则 {n·⃗DE=0, 即 { 2y 0 =0,
n·⃗DB=0, 2x -2z =0.
0 0
不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又⃗MN=(1,2,-1),可得⃗MN·n=0.
0
因为MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE.
{n ·⃗EM=0,
(2)易知n=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n=(x,y,z)为平面EMN的法向量,则 2
1 2
n ·⃗MN=0.
2
因为⃗EM=(0,-2,-1),⃗MN=(1,2,-1),
{-2y-z=0,
所以 不妨设y=1,可得n=(-4,1,-2).
x+2y-z=0. 2
因此有cos<n 1 ,n 2 >= n 1 ·n 2 =- 4 ,于是sin<n 1 ,n 2 >=√105.所以二面角C-EM-N的正弦值为√105.
|n ||n | √21 21 21
1 2
(3)⃗BE=(-2,2,2).依题意,设AH=h(0≤h≤4),
则H(0,0,h),进而可得⃗NH=(-1,-2,h),由已知,得
|cos< , >|=|⃗NH·⃗BE| = |2h-2| =√7,整理得10h2-21h+8=0,解得h=8或h=1.
⃗NH ⃗BE
|⃗NH||⃗BE| √h2+5×2√3 21 5 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8 1
所以线段AH的长为 或 .
5 2
考点二 用向量法求空间角和空间距离
1. (2021福建厦门三模,7)如图,在四棱锥P-ABCD的平面展开图中,四边形ABCD是边长为2的正方形,
△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形,∠HDC=∠FAB=90°,则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC
的距离为( )
√30 √30 √5 √5
A. B. C. D.
5 6 5 6
答案 C
2.(多选)(2022届广州荔湾调研,11)已知直三棱柱ABC-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=BB,O为AC的中点.点P
1 1 1 1 1
满足 =λ ,其中λ∈[0,1],则( )
⃗BP ⃗BC
1
A.∀λ∈[0,1],都有AP⊥OB
1 1
1
B.当λ= 时,直线AP与AB所成的角是30°
1
3
1 √5
C.当λ= 时,直线AP与平面ABC 所成的角的正切值为
2 1 1 1 1 5
1 PQ 1
D.当λ= 时,直线AP与OB 相交于一点Q,则 =
2 1 1 QA 2
1
答案 ACD
3.(2020天津,17,15分)
如图,在三棱柱ABC-ABC 中,CC⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC=3,点D,E分别在棱AA 和棱CC 上,
1 1 1 1 1 1 1
且AD=1,CE=2,M为棱AB 的中点.
1 1
(1)求证:CM⊥BD;
1 1
(2)求二面角B-BE-D的正弦值;
1
(3)求直线AB与平面DBE所成角的正弦值.
1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解析 以C为原点,分别以 , , 的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得
⃗CA ⃗CB⃗CC
1
C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),A(2,0,3),B(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).
1 1 1
(1)证明: =(1,1,0), =(2,-2,-2),从而 · =2-2+0=0,所以CM⊥BD.
⃗C M ⃗B D ⃗C M ⃗B D 1 1
1 1 1 1
(2)依题意知, =(2,0,0)是平面BBE的一个法向量, =(0,2,1), =(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面DBE的
⃗CA 1 ⃗EB ⃗ED 1
1
法向量,则
{n·⃗EB
1
=0, 即{2y+z=0,
不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos< ⃗CA ,n>=
⃗CA·n
=
n·⃗ED=0, 2x-z=0. |⃗CA||n|
√6
,
6
√30
于是sin<⃗CA,n>= .
6
√30
所以二面角B-BE-D的正弦值为 .
1
6
(3) =(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面DBE的一个法向量,于是cos< ,n>= ⃗AB·n =-√3.
⃗AB 1 ⃗AB
|⃗AB||n| 3
√3
所以直线AB与平面DBE所成角的正弦值为 .
1
3
