北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
11.3 二项分布与正态分布
基础篇 固本夯基
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式
1.(2022届长沙长郡中学月考,7)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别为
2 3
, ,只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,
3 4
则该选手能进人第三关的概率为( )
1 5 8 15
A. B. C. D.
2 6 9 16
答案 B
2
2.(2022届武汉部分学校质检,5)在一次试验中,随机事件A,B满足P(A)=P(B)= ,则( )
3
A.事件A,B一定互斥
B.事件A,B一定不互斥
C.事件A,B一定互相独立
D.事件A,B一定不互相独立
答案 B
3.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.
甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次
取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
答案 B
4.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为
该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( )
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
答案 B
5.(2021辽宁丹东质检,2)10张奖券中有4张“中奖”奖券,甲乙两人先后参加抽奖活动,每人从中不放回地抽
取一张奖券,甲先抽,乙后抽,在甲中奖的条件下,乙没有中奖的概率为( )北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3 2 3 4
A. B. C. D.
5 3 4 15
答案 B
6.(2021江苏徐州第三次调研,2)清明节前夕,某校团委决定举办“缅怀革命先烈,致敬时代英雄”主题演讲比
赛,经过初赛,共10人进入决赛,其中高一年级2人,高二年级3人,高三年级5人,现采取抽签的方式决定演讲
顺序,则在高二年级3人相邻的前提下,高一年级2人不相邻的概率为( )
1 1 1 3
A. B. C. D.
12 3 2 4
答案 D
7.(多选)(2021福建厦门外国语学校月考,12)甲罐中有4个红球,3个白球和3个黑球;乙罐中有5个红球,3个
白球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A,A 和A 表示由甲罐取出的球是红球,白球和
1 2 3
黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以M表示由乙罐取出的球是红球的事件,下列结论正确的为( )
1
A.P(M)=
2
6
B.P(M|A)=
1
11
C.事件M与事件A 不相互独立
1
D.A,A,A 是两两互斥的事件
1 2 3
答案 BCD
8.(2022届山东济宁一中开学考试,14)已知随机变量ξ~B( 1),则P(ξ=4)= ,D(ξ)= .(用数
6,
3
字作答)
20 4
答案 ;
243 3
9.(2022届山东潍坊10月段考,15)一项过关游戏规则规定:在第n关要抛掷一颗质地均匀的骰子n次,如果这
n次抛掷所出现的点数之和大于2n,则算过关.甲同学参加了该游戏,他连过前两关的概率是 .
5
答案
9
1 1
10.(2020天津,13,5分)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 .假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、
2 3
乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 .
1 2
答案 ;
6 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
11.(2019课标Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛
结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场
取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
答案 0.18
12.(2022届江苏苏州调研,19)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行
作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试
3
题的概率为 ,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.
4
(1)试通过计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;
(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y的分布列及数学期望和方差.
解析 (1)∵在8个试题中甲能答对6个,
C3C1 C4
11
∴甲通过自主招生初试的概率P 1 = 6 2+ 6= ,
C4 C4 14
8 8
3
又∵乙能答对每个试题的概率为 ,
4
∴乙通过自主招生初试的概率P
2
= C3(3) 31+ C4(3) 4 =189,
4 4 4 4 4 256
∵P>P,∴甲通过自主招生初试的可能性更大.
1 2
(2)由题意可知,乙答对题的个数X的可能取值为0,1,2,3,4,X~B( 3),
4,
4
P(X=k)= Ck(3) k (1) 4-k (k=0,1,2,3,4)且Y=5X,
4 4 4
故Y的分布列为
Y 0 5 10 15 20
1 3 27 27 81
P
256 64 128 64 256
3
∴E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×4× =15,
4
D(Y)=D(5X)=52D(X)=25×4×3×( 3)=75.
1-
4 4 4
13. (2022届山东潍坊阶段测,20)智能体温计测温方便、快捷,已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温测量.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
调查发现,使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致,而使用智能体温计测量体温可能会产生误
差.对同一人而言,如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同,我们认为智能体温计“测温准确”;否则,
我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计测量体温,数据如下:
智能体 水银体 智能体 水银体
序号 温计测 温计测 序号 温计测 温计测
温(℃) 温(℃) 温(℃) 温(℃)
01 36.6 36.6 11 36.3 36.2
02 36.6 36.5 12 36.7 36.7
03 36.5 36.7 13 36.2 36.2
04 36.5 36.5 14 35.4 35.4
05 36.5 36.4 15 35.2 35.3
06 36.4 36.4 16 35.6 35.6
07 36.2 36.2 17 37.2 37.0
08 36.3 36.4 18 36.8 36.8
09 36.5 36.5 19 36.6 36.6
10 36.3 36.4 20 36.7 36.7
(1)试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率;
(2)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温,设随机变量X为使用智能体温计“测温准确”的人数,
求X的分布列与数学期望.
解析 (1)题表20人的体温数据中,用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是
01,04,06,07,09,12,13,14,16,18,19,20,共有12个,
12 3
由此估计所求概率为 = .
20 5
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
3
由(1)可知,用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为 .
5
所以P(X=0)= C0(3) 0 (
1-
3) 3 = 8 ,
3 5 5 125
P(X=1)= C1(3) 1 (
1-
3) 2 = 36 ,
3 5 5 125北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
P(X=2)= C2(3) 2 (
1-
3) 1 = 54 ,
3 5 5 125
P(X=3)= C3(3) 3 (
1-
3) 0 = 27 ,
3 5 5 125
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
8 36 54 27
P
125 125 125 125
8 36 54 27 225 9
故X的数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× = = .
125 125 125 125 125 5
14.(2019课标Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先
多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发
球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比
赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解析 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.
因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、
乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
考点二 正态分布
1.(2022届河北邢台9月联考,6)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ>2c+1)=P(ξ<2c-1),则c的值为(
)
3 1
A. B.2 C.1 D.
2 2
答案 A
2.(2021广东深圳一模,5)已知随机变量ξ~N(μ,σ2),有下列四个命题:
甲:P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2).
乙:P(ξ>a)=0.5.
丙:P(ξ≤a)=0.5.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
丁:P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2).
如果只有一个假命题,则该命题为( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案 D
3.(2020广东深圳七中月考,5)某班有60名学生,一次考试后数学成绩符合ξ~N(110,σ2),若
P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
答案 B
4.(2021江苏七市第二次调研,13)已知随机变量X~N(2,σ2),P(X>0)=0.9,则P(2<X≤4)= .
答案 0.4
5.(2021广东韶关一模,20)在一次大范围的随机知识问卷调查中,通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人
的得分统计结果如下表所示:
得分 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 2 13 21 25 24 11 4
(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分ξ~N(μ,196),μ近似为这100人得分的平均值(同一组中
的数据用该组区间的左端点值作代表).
①求μ的值;
②若P(ξ>2a-5)=P(ξ<a+3),求a的值;
(2)在(1)的条件下,为此次参加问卷调查的市民制订如下奖励方案:
①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费;
②每次获赠的随机话费和对应的概率为:
赠送话费的金额(单位:元) 20 50
3 1
概率
4 4
现有市民甲参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X的分布列与数学期望.
解析 (1)①由题意得
30×2+40×13+50×21+60×25+70×24+80×11+90×4
100
=60.5,∴μ=60.5.
②由题意得2a-5+a+3=2×60.5,解得a=41.
1
(2)由题意知P(ξ<μ)=P(ξ≥μ)= ,获赠话费X(单位:元)的可能取值为20,40,50,70,100,
2
1 3 3 1 3 3 9 1 1 1
P(X=20)= × = ,P(X=40)= × × = ,P(X=50)= × = ,
2 4 8 2 4 4 32 2 4 8北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 3 1 1 1 3 3
P(X=70)= × × + × × = ,
2 4 4 2 4 4 16
1 1 1 1
P(X=100)= × × = ,∴X的分布列为
2 4 4 32
X 20 40 50 70 100
3 9 1 3 1
P
8 32 8 16 32
3 9 1 3 1 165
∴E(X)=20× +40× +50× +70× +100× = .
8 32 8 16 32 4
综合篇 知能转换
考法一 条件概率的求法
1.(2021广东二模,3)2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识,弘扬宪
2 1
法精神”的知识竞赛活动.甲同学答对第一道题的概率为 ,连续答对两道题的概率为 .用事件A表示“甲
3 2
同学答对第一道题”,事件B表示“甲同学答对第二道题”,则P(B|A)=( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
答案 D
2.(2022届全国学业质量检测,9)某公司为方便员工停车,租了6个停车位,编号如图所示,
公司规定:每个车位只能停一辆车,每个员工只允许占用一个停车位,记事件A为“员工小王的车停在编号为
奇数的车位上”,事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”,则P(A|B)=( )
1 3 1 3
A. B. C. D.
6 10 2 5
答案 D
3.(多选)(2021江苏海安高级中学月考,7)已知A,B分别为随机事件A,B的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则下列说
法正确的是( )
A.P(B|A)+P(B|A)=P(A)
B.P(B|A)+P(B|A)=1
C.若A,B独立,则P(A|B)=P(A)
D.若A,B互斥,则P(A|B)=P(B|A)北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 BCD
考法二 n重伯努利试验及二项分布问题的求解方法
1
1.(2021广东深圳外国语学校月考,5)某同学进行3分投篮训练,若该同学投中的概率为 ,他连续投篮n次至
2
少得到3分的概率大于0.9,那么n的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 B
2.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)一个袋中有大小、形状相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机
等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ;当无放回依次取出两个小球时,记取出
1
的红球数为ξ,则 ( )
2
A.E(ξ)<E(ξ),D(ξ)<D(ξ)
1 2 1 2
B.E(ξ)=E(ξ),D(ξ)>D(ξ)
1 2 1 2
C.E(ξ)=E(ξ),D(ξ)<D(ξ)
1 2 1 2
D.E(ξ)>E(ξ),D(ξ)>D(ξ)
1 2 1 2
答案 B
3.(多选)(2022届山东济宁一中开学考,11)某单位举行建党100周年党史知识竞赛,在必答题环节共设置了5
道题,每道题答对得20分,答错扣10分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某选手每道题答对的概率均为
2
,其必答题环节的总得分为X,则( )
3
4
A.该选手恰好答对2道题的概率为
9
B.E(X)=50
100
C.D(X)=
3
112
D.P(X>60)=
243
答案 BD
4.(2017课标Ⅱ,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X
表示抽到的二等品件数,则DX= .
答案 1.96
5.(2022届山东济宁一中开学考试,21)由于抵抗力差的人感染新冠肺炎的可能性相对更高,特别是老年人群体,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
因此某社区在疫情控制后,及时给老年人免费体检,通过体检发现“高血糖,高血脂,高血压”,即“三高”老
人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表,还特地建设了一个老年人活动
中心,老年人每天可以到该活动中心去活动,以增强体质.通过统计每周到活动中心运动的老年人的活动时间,
得到了以下频率分布直方图.
(1)从到活动中心参加活动的老年人中任意选取5人.
①若将频率视为概率,求至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率;
②若抽取的5人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为2人,从5人中选出3人进行健康情况调查,记3人
中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为ξ,求ξ的分布列和期望;
(2)将某人的每周活动时间量与所有老年人的每周平均活动时间量比较,当超出所有老年人的每周平均活动
时间量不少于0.74 h时,称该老年人为“活动爱好者”,从参加活动的老年人中随机抽取10人,且抽到k人
为“活动爱好者”的可能性最大,试求k的值.(每组数据以区间的中点值为代表)
解析 (1)由题图可知,从到活动中心参加活动的老年人中任意选取1人,每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率
2
为 .
5
①记“至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)”为事件A,
则P(A)=
C3
·(2) 3 ·(
1-
2) 2 +
C4
·(2) 4 ·(
1-
2)+ C5(2) 5 = 992 .
5 5 5 5 5 5 5 5 3 125
②随机变量ξ所有可能的取值为0,1,2,
C3
1
C2C1
3
C1C2
3
P(ξ=0)= 3= ,P(ξ=1)= 3 2= ,P(ξ=2)= 3 2= ,则ξ的分布列如下:
C3 10 C3 5 C3 10
5 5 5
ξ 0 1 2
1 3 3
P
10 5 10
1 3 3 6
故E(ξ)=0× +1× +2× = .
10 5 10 5
(2)老年人的每周活动时间的平均值为6.5×0.06+7.5×0.35+8.5×0.4+9.5×0.15+10.5×0.04=8.26(h),则老年人中
