北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
11.5 变量间的相关关系
基础篇 固本夯基
考点一 变量间的相关关系
1.(多选)(2022届山东济宁一中开学考试,10)给出以下四个说法,其中正确的说法是( )
A.如果由一组样本数据(x,y),(x,y),…,(x,y)得到回归直线方程^=^x+^,那么回归直线至少经过点(x,y),
1 1 2 2 n n 1 1
y b a
(x,y),…,(x,y)中的一个
2 2 n n
B.在回归分析中,用决定系数R2来比较两个模型拟合效果,R2越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果
越好
C.在回归直线方程^=-0.5x+0.7中,当解释变量x每增加一个单位时,预报变量^平均增加0.5个单位
y y
D.若变量y和x之间的相关系数为r=-0.987 2,则变量y和x之间的负线性相关很强
答案 BD
2.(多选)(2022届重庆秀山高级中学月考,10)已知变量x,y之间的线性回归方程为^=-0.7x+10.3,且变量x,y之
y
间的一组相关数据如表所示,则下列说法正确的是( )
x 6 8 10 12
y 6 m 3 2
A.变量x,y之间呈负相关关系
B.当x=20时,^=-3.7
y
C.m=4
D.该回归直线必过点(9,4)
答案 ABD
3.(2021重庆巴蜀中学月考一,5)用最小二乘法得到一组数据(x,y)(i=1,2,3,4,5)的线性回归方程为^=^x+3,若
i i
y b
5 5
∑x=25,∑y=65,当x=8时,y的预报值为( )
i i
i=1 i=1
A.18 B.19 C.20 D.21
答案 B
4.(多选)(2022届江苏苏州调研,9)5G技术的运营不仅仅提高了传输速度,更拓宽了网络资源的服务范围,目前,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
我国加速了5G技术的融合与创新,前景美好!某手机商场统计了5个月的5G手机销量,如下表所示:
2020年 2020年2020年2020年 2020年
月份
6月 7月 8月 9月 10月
月份编号
1 2 3 4 5
x
销量y/部 52 95 a 185 227
若y与x线性相关,由表中数据求得线性回归方程为^=44x+10,则下列说法正确的是( )
y
A.5G手机的销量逐月增加,平均每个月增加约10部
B.a=151
C.y与x正相关
D.预计12月份该手机商场的5G手机销量约为318部
答案 BCD
5.(2020课标Ⅰ理,5,5分)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在
20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x,y)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
i i
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型
的是( )
A.y=a+bx B.y=a+bx2
C.y=a+bex D.y=a+bln x
答案 D
6.(多选)(2021济南外国语学校月考,10)下列说法正确的是( )
A.将一组数据中的每个数据都乘同一个非零常数a后,方差变为原来的a倍
B.设有一个回归方程^=3-5x,变量x增加1个单位时,y平均减少5个单位
y
C.线性相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强;反之,线性相关性越弱
D.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),则P(ξ>1)=0.5
答案 BD
7.(2022届山东潍坊10月摸底,14)已知关于x,y的一组数据:
x 1 m 3 4 5
y 0.5 0.6 n 1.4 1.5北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
根据表中数据得到的回归直线方程为^=0.28x+0.16,则n-0.28m的值为 .
y
答案 0.44
考点二 独立性检验
1.(2020山东青岛三模)下面是一个2×2列联表,则表中a、b处的值分别为( )
y y 总计
1 2
x b 21 e
1
x c 25 33
2
总计 a d 106
A.96,94 B.60,52 C.52,54 D.50,52
答案 B
2.(2022届全国学业质量联合检测,17)“直播带货”是指通过一些互联网平台,使用直播技术,进行近距离商
品展示、咨询答复、导购的新型服务方式.某厂家分别选择甲、乙两个直播平台销售同一产品,厂家为了解
产品的销售情况,随机调查了甲、乙两个直播平台20天的日销售额,得到如下列联表:
天数
平台 日销售额不 日销售额大 总计
大于8万元 于8万元
甲 13 7 20
乙 6 14 20
总计 19 21 40
(1)分别估计产品在甲、乙平台日销售额大于8万元的概率;
(2)试判断是否有95%的把握认为该产品的日销售额是否超过8万元与选择的直播平台有关.
附:K2= n(ad-bc) 2 ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
0
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
0
7
解析 (1)由题表知,在甲平台销售,日销售额大于8万元的频率为 =0.35,因此产品在甲平台日销售额大于
20
14
8万元的概率的估计值为0.35;在乙平台销售,日销售额大于8万元的频率为 =0.7,因此产品在乙平台日销
20
售额大于8万元的概率的估计值为0.7.
40×(13×14-6×7) 2
(2)K2= ≈4.912.
20×20×19×21北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
因为4.912>3.841,所以有95%的把握认为该产品的日销售额是否超过8万元与选择的直播平台有关.
3.(2022届南京学情调研,19)科研小组为提高某种水果的果径,设计了一套试验方案,并在两片果园中进行对
比试验,其中实验园采用试验方案,对照园未采用试验方案.周期结束后,分别在两片果园中各随机选取100个
果实,按果径(单位:mm)分成5组进行统计,其中果径的分组区间为[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46].统计
后分别制成如图所示的频率分布直方图,并规定果径达到36 mm及以上的为大果.
(1) 请根据题中信息完成下面的列联表,并判断是否有99.9%的把握认为大果与采用试验方案有关;
采用试验方 未采用试验方
合计
案 案
大果数
非大果数
合计 100 100 200
(2)根据长期种植经验,可以认为对照园中的果径X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x
,σ≈5.5.请估计对照园中果径落在区间(39,50)内的概率.(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代
表)
附:① χ2= n(ad-bc) 2 .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(χ2≥x) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
0北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
0
②若X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.997.
解析 (1)根据频率分布直方图可完成列联表:
采用试验方案 未采用试验方案 合计
大果数 60 30 90
非大果数 40 70 110
合计 100 100 200
200×(60×70-30×40) 2
χ2= ≈18.182>10.828,∴有99.9%的把握认为大果与采用试验方案有关.
90×110×100×100
(2)μ=x=23.5×0.1+28.5×0.2+33.5×0.4+38.5×0.2+43.5×0.1=33.5,P(39<X<50)=P(μ+σ<X<μ+3σ)=
P(μ-3σ<X<μ+3σ)-P(μ-σ<X<μ+σ) 0.997-0.683
≈ =0.157.
2 2
4.(2022届河北唐山摸底,18)数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币,它由指定运营机构参
与运营并向公众兑换,与纸钞和硬币等价.截至2021年6月30日,数字人民币试点场景已超132万个,覆盖生
活缴费、餐饮服务、交通出行、购物消费、政务服务等领域.为了进一步了解大众对数字人民币的感知以
及接受情况,某机构进行了一次问卷调查,部分结果如下:
小学及 大学 大学
初中 高中 硕士研究生及以上
以下 专科 本科
不了解数
35 35 80 55 64 6
字人民币
了解数字
40 60 150 110 140 25
人民币
(1)如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”,大学专科及以上的学历称为“高学历”,根据所给数据,
完成下面的2×2列联表;
学历
低学历 高学历 合计
了解情况
不了解数字人民币
了解数字人民币
合计
(2)若从低学历的被调查者中,按对数字人民币的了解程度用分层随机抽样的方法抽取8人,然后从这8人中
抽取2人进行进一步调查,求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率;
(3)根据列联表,判断是否有95%的把握认为是否了解数字人民币与学历高低有关.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
附:K2= n(ad-bc) 2 .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
0
k 3.841 6.635 10.828
0
解析 (1)2×2列联表如下:
学历
低学历 高学历 合计
了解情况
不了解数字人民币 150 125 275
了解数字人民币 250 275 525
合计 400 400 800
150 250
(2)由题意,抽取的8人中,不了解数字人民币的有8× =3人,了解数字人民币的有8× =5人,从这8
400 400
C2
9
人中抽取2人,这2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率为1- 5= .
C2 14
8
800×(150×275-125×250) 2
(3)根据(1)中的列联表得K2= ≈3.463<3.841,故没有95%的把握认为是
275×525×400×400
否了解数字人民币与学历高低有关.
5.(2022届百师联盟联考,18)电视传媒公司为了解某地区观众对《中国诗词大会》的收视情况,随机抽取了
100名观众进行调查,其中女性有55名,将日均收看该节目时间不低于40分钟的观众称为“诗词迷”,已知
“诗词迷”中有15名男性,“非诗词迷”共有75名.
(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为是不是“诗词迷”与性别有关;
非诗词迷 诗词迷 合计
男
女
合计
(2)采用分层随机抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人进行问卷调查,若再从这5人中任意选取2人奖
励诗词大礼包,用x表示获得大礼包的男性人数,y表示获得大礼包的女性人数,设ξ=|x-y|,求ξ的分布列及期
望.
附:K2= n(ad-bc) 2 ,其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
0北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解析 (1)2×2列联表如下所示.
非诗词迷 诗词迷 合计
男 30 15 45
女 45 10 55
合计 75 25 100
100×(30×10-45×15) 2 100
将2×2列联表中的数据代入公式计算,得K2= = ≈3.030<3.841.
45×55×75×25 33
所以没有95%的把握认为是不是“诗词迷”与性别有关.
(2)由题意采用分层随机抽样的方式从“诗词迷”中任意选取5人,则男性有3名,女性有2名,再抽取2人,当
C1C1
3
x=2时,y=0,当x=1时,y=1,当x=0时,y=2.所以ξ的所有可能取值为0,2,P(ξ=0)= 2 3= ,P(ξ=2)=
C2 5
5
C0C2+C2C0
2
3 2 3 2= .
C2 5
5
则ξ的分布列为
ξ 0 2
3 2
P
5 5
3 2 4
所以E(ξ)=0× +2× = .
5 5 5
综合篇 知能转换
考法一 线性经验回归方程的求解与应用
1.(2022届重庆西南大学附中开学考,4)下列命题正确的是( )
A.若随机变量X~B(100,p),且E(X)=20,则D(1 )=8
X+1
2
B.在一次随机试验中,若彼此互斥的事件A,B,C,D发生的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3,则A与B∪C∪D是互斥
事件,也是对立事件
C.在独立性检验中,若K2的观测值越小,则认为“这两个分类变量有关”的把握越大
D.如果由一组样本数据(x,y),(x,y),…,(x,y)得到回归直线方程^=^x+^,那么回归直线^=^x+^至少经过
1 1 2 2 n n
y b a y b a
