北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题十二 数系的扩充与复数的引入
基础篇 固本夯基
考点一 复数的概念与几何意义
2i
1.(2022届T8联考,2)已知z= -1+2i,则复数z在复平面内对应的点位于( )
1-i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 B
2.(2022届辽宁六校期初联考,2)复数z满足z(1+i)=2 021-i(i为虚数单位),则复数z的虚部为( )
A.1 011 B.1 011i
C.-1 011 D.-1 011i
答案 C
2
3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,2)已知i是虚数单位,则复数z= 的共轭复数为( )
(1-i) 2
A.2i B.-2i C.i D.-i
答案 D
4.(2022届湘豫名校8月联考,3)已知复数z在复平面内对应的点在直线y=-x上,且|z|=√2,则z(1+i)=( )
A.2 B.-2
C.±2 D.2i
答案 C
5.(2022届山东日照开学校际联考,4)若复数z满足|z-2-3i|=5,则复数z的共轭复数不可能为 ( )
A.5+2i B.-2-6i C.5-7i D.2-8i
答案 A
2
6.(2022届湖南岳阳一中入学考,2)已知复数z= ,z=a+i(a∈R),若z,z 在复平面内对应的向量分别为
1 1+i 2 1 2
, (O为坐标原点),且| + |=2,则a=( )
⃗OZ ⃗OZ ⃗OZ ⃗OZ
1 2 1 2
A.1 B.-3
C.1或-3 D.-1或3
答案 C
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2-i
7.(2022届湖北九师联盟10月质检,2)已知复数z= ,则下列说法正确的是( )
1+i
√10
A.z的模为
2
3
B.z的虚部为- i
2
1 3
C.z的共轭复数为- - i
2 2
D.z的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限
答案 A
8.(2022届江苏如皋中学月考,5)已知复数z满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z对应的点的轨迹为( )
A.直线 B.线段
C.圆 D.等腰三角形
答案 A
9.(多选)(2022届湖北九师联盟10月质检,10)设z,z 是复数,则( )
1 2
A.z -z =z -z
1 2 1 2
B.若zz∈R,则z=z
1 2 1 2
C.若|z-z|=0,则z =z
1 2 1 2
D.若
z2
+
z2
=0,则z
1
=z
2
=0
1 2
答案 AC
1
10.(2020课标Ⅲ理,2,5分)复数 的虚部是( )
1-3i
3 1
A.- B.-
10 10
1 3
C. D.
10 10
答案 D
2+bi
11.(2021北京朝阳一模,2)如果复数 (b∈R)的实部与虚部相等,那么b=( )
i
A.-2 B.1
C.2 D.4
答案 A
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12.(2021石家庄二模,1)已知i为虚数单位,复数z=1-i2 021
,则z的虚部为( )
1-i2 018
1 1 1 1
A. B.- i C.- D. i
2 2 2 2
答案 C
13.(2019课标Ⅱ理,2,5分)设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 C
14.(2020浙江,2,4分)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
答案 C
a-i
15.(2021河北唐山三模,2)已知i是虚数单位,a∈R,若复数 为纯虚数,则a=( )
1-2i
1 1
A.-2 B.2 C.- D.
2 2
答案 A
|4-3i|
16.(2021广东珠海一模,2)设i是虚数单位,复数z=i2 021,复数z= ,则z+z 在复平面上对应的点在(
1 2 4+3i 1 2
)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
17.(2020北京,2,4分)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=( )
A.1+2i B.-2+i
C.1-2i D.-2-i
答案 B
2-i
18.(2021新高考Ⅱ,1,5分)在复平面内,复数 对应的点位于( )
1-3i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
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2
19.(2021湖北九师联盟质检,2)设复数z=1+i(i是虚数单位),则复数 -(iz)2在复平面内对应的点在( )
z
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 A
20.(2019课标Ⅰ理,2,5分)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
答案 C
21.(2020课标Ⅰ文,2,5分)若z=1+2i+i3,则|z|=( )
A.0 B.1 C.√2 D.2
答案 C
22.(2021河北唐山二模,5)设复数z满足|z-2i|=1,在复平面内z对应的点到原点距离的最大值是( )
A.1 B.√3 C.√5 D.3
答案 D
23.(2017课标Ⅰ理,3,5分)设有下面四个命题:
1
p:若复数z满足 ∈R,则z∈R;
1
z
p:若复数z满足z2∈R,则z∈R;
2
p:若复数z,z 满足zz∈R,则z=z ;
3 1 2 1 2 1 2
p:若复数z∈R,则z∈R.
4
其中的真命题为( )
A.p,p B.p,p
1 3 1 4
C.p,p D.p,p
2 3 2 4
答案 B
24.(2021辽宁丹东二模,3)在复平面内,O为坐标原点,复数z,z+1对应的点都在单位圆O上,则z的实部为(
)
√3 1 1 √3
A.- B.- C. D.
2 2 2 2
答案 B
25.(2021湖北黄冈中学三模,3)已知复数z满足z2+4i=0,则|z|=( )
A.4 B.2 C.√2 D.1
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答案 B
26.(多选)(2021广东湛江一模,9)若复数z=√3-i,则( )
A.|z|=2 B.|z|=4 C.z的共轭复数z=√3+i D.z2=4-2√3i
答案 AC
2
27.(多选)(2021山东德州二模,9)已知复数z= (i为虚数单位),下列说法正确的是( )
1 -1+i
A.z 对应的点在第三象限
1
B.z 的虚部为-1
1
C. =4
z4
1
D.满足|z|=|z|的复数z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上
1
答案 AB
28.(多选)(2021江苏无锡二模,9)设复数z=a+bi,a∈R,b∈R(i为虚数单位),则下列说法正确的是( )
2 021
A.若a=0,b=1,则 ∑ zk=i
k=1
1 √3
B.若a=- ,b=- ,则z2=z
2 2
C.“z∈R”的充要条件是“z=|z|”
D.若a=cos θ,b=sin θ(0<θ<π),则复数z在复平面上对应的点在第一或第二象限
答案 AB
29.(2021江苏常州一模,14)已知复数z对应的点在复平面第一象限内,甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述
z z2
如下(i为虚数单位):甲:z+z=2;乙:z-z=2√3i;丙:z·z=4;丁: = .在甲、乙、丙、丁四人的陈述中,有且只有
z 2
两个人的陈述正确,则复数z= .
答案 1+i
30.(2021辽宁抚顺二模,14)已知|z+√5i|+|z-√5i|=6,则复数z在复平面内所对应的点P(x,y)的轨迹方程为
.
y2 x2
答案 + =1
9 4
考点二 复数的运算
2i
1.(2022届长沙长郡中学第一次月考,2)设复数z满足z= ,则|z|=( )
-1+i
A.1 B.√2
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1 √2
C. D.
2 2
答案 B
2.(2021新高考Ⅰ,2,5分)已知z=2-i,则z(z+i)=( )
A.6-2i B.4-2i
C.6+2i D.4+2i
答案 C
2-i
3.(2020新高考Ⅰ,2,5分) =( )
1+2i
A.1 B.-1 C.i D.-i
答案 D
4.(2021全国乙理,1,5分)设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=( )
A.1-2i B.1+2i
C.1+i D.1-i
答案 C
5.(2021全国乙文,2,5分)设iz=4+3i,则z=( )
A.-3-4i B.-3+4i C.3-4i D.3+4i
答案 C
6.(2020课标Ⅱ文,2,5分)(1-i)4=( )
A.-4 B.4 C.-4i D.4i
答案 A
7.(2020课标Ⅲ文,2,5分)若z(1+i)=1-i,则z= ( )
A.1-i B.1+i
C.-i D.i
答案 D
3-i
8.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z= ,则|z|=( )
1+2i
A.2 B.√3 C.√2 D.1
答案 C
9.(2019北京,文2,理1,5分)已知复数z=2+i,则z·z=( )
A.√3 B.√5 C.3 D.5
答案 D
10.(2021上海,1,4分)已知z=1+i,z=2+3i,则z+z= .
1 2 1 2
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答案 3+4i
6+7i
11.(2018天津文(理),9,5分)i是虚数单位,复数 = .
1+2i
答案 4-i
12.(2021福建厦门三模)若复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数:z=
.
答案 1+i(答案不唯一)
综合篇 知能转换
考法 复数代数形式的四则运算的解题方法
1
1.(2022届重庆巴蜀中学月考(一),3)已知i是虚数单位,z为复数,2+ =z(3+i),则在复平面内z对应的点位于(
i
)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
2.(2022届福建泉州科技中学月考,4)若z=1+i,则(z) 2 020 +(z) 2 021 的虚部为( )
z z
A.i B.-i
C.1 D.-1
答案 D
2-i
3.(2022届广东深圳光明第一次调研,2)已知z= ,则 z=( )
2+i
4 3 4 3
A. + i B. - i
5 5 5 5
3 4 3 4
C. + i D. - i
5 5 5 5
答案 C
4.(2022届广东深圳龙岗一中期中,3)已知复数z满足z(2+i)=|3+4i|(其中i为虚数单位),则复数z=( )
A.2-i B.-2+i
C.2+i D.-2-i
答案 C
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5.(多选)(2022届山东烟台莱州一中开学考,12)1487年,瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系,
并写下公式:eiθ=cos θ+isin θ,这个公式在复变函数中有非常重要的地位,即著名的“欧拉公式”,被誉为“数
学中的天桥”,据欧拉公式,则( )
πi πi
A. =i B.| |=1
e2 e4
C.(1-√3i) 3
=1 D.cos
π
=e
π
4
i
+e
- π
4
i
2 4
2
答案 ABD
6.(2021浙江,2,4分)已知a∈R,(1+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a=( )
A.-1 B.1
C.-3 D.3
答案 C
7.(2020课标Ⅰ理,1,5分)若z=1+i,则|z2-2z|= ( )
A.0 B.1
C.√2 D.2
答案 D
5i
8.(2021广东肇庆二模,2)在复平面内,复数z= (i为虚数单位),则z对应的点的坐标为 ( )
3-4i
A.(3,4) B.(-4,3)
C.(4 3) D.( 4 3)
,- - ,-
5 5 5 5
答案 D
a-i
9.(2017天津文(理),9,5分)已知a∈R,i为虚数单位,若 为实数,则a的值为 .
2+i
答案 -2
10.(2020课标Ⅱ理,15,5分)设复数z,z 满足|z|=|z|=2,z+z=√3+i,则|z-z|= .
1 2 1 2 1 2 1 2
答案 2√3
(1+i) 2
11.(2021天津一中5月模拟,13)若复数z= ,则z= .
3+4i
8+6i
答案
25
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