北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题五 万有引力与航天
专题检测题组
(时间:60分钟 满分:110分)
一、单项选择题(每小题4分,共52分)
1.(2022届湖南师大附中月考二)质量为m的卫星围绕质量为M的行星做匀速圆周运动,轨道
1
半径为r,引力常量为G,则经过 周期,行星对卫星万有引力的冲量大小为( )
4
A.√2GMm2 B.√2GM2m
r r
C.1π√GMm2 D.1π√GM2m
2 r 2 r
Mm v2 √GM 1
答案 A 由G =m ,得v= ,经过 个周期,卫星的速度大小不变,方向转过90°,有
r2 r r 4
Δv= v=√2GM,根据动量定理可得I=m·Δv=√2GMm2,故选A。
√2
r r
2.(2022届湖南师大附中月考一)北京时间2021年6月17日9时22分,搭载神舟十二号载人
飞船的长征二号F遥十二运载火箭,在酒泉卫星发射中心点火发射。此后,神舟十二号载人飞
船与火箭成功分离,进入预定轨道,顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空,发
射取得圆满成功。北京时间2021年6月17日15时54分,神舟十二号载人飞船入轨后顺利
完成入轨状态设置,采用自主快速交会对接模式成功对接于天和核心舱前向端口,与此前已对
接的天舟二号货运飞船一起构成三舱(船)组合体,整个交会对接过程历时约6.5小时。这是天
和核心舱发射入轨后,首次与载人飞船进行的交会对接。三名航天员从神舟十二号载人飞船
进入天和核心舱(距地面h=400 km)。我们假设神舟十二号的质量为m,宇航员的总质量为
Δm,三船组合体的总质量为M,地球质量为M,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,无穷
0
远处引力势能为零,则( )
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A.不考虑空气阻力和对接时可能的机械能损失,火箭和飞船发动机对神舟十二号所做的总功
1 (m+Δm)gR2
为 ·
2 R+h
B.对接前,先让神舟十二号在天和核心舱所在轨道的后面与天和核心舱一起绕地球运动,稳定
后加速追上去就可完成对接
C.天和核心舱环绕地球的运行速度一定大于9.8 km/s
D.天和核心舱环绕地球的周期为2π √(R+h)3
R g
GM(m+Δm) (m+Δm)v2
答案 D 对神舟十二号由万有引力提供向心力有 = ,可得其
(R+h)2 R+h
√ GM 1 1 GM GMm'
运行速度为v= ,则增加的动能ΔE= (m+Δm)v2= (m+Δm) ,联立 =m'g,可
R+h k 2 2 R+h R2
1 (m+Δm)gR2
得ΔE= · ,考虑到神舟十二号上升时还要克服引力做功,则W>ΔE,故A错
k 2 R+h k
误;如果在同一轨道上,加速后会离开该轨道进入更高轨道运行,无法对接,故B错误;天和核心
2π(R+h)
舱距地面h=400 km,所以运行速度小于第一宇宙速度7.9 km/s,故C错误;由v= ,
T
可得天和核心舱的周期T=2π √(R+h)3,D正确。
R g
3.(2022届周南中学月考一)如图,拉格朗日点L1位于地球和月球连线上,处在该点的物体在
地球和月球引力的共同作用下,可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此,科学家设想在
拉格朗日点L1建立空间站,使其与月球同周期绕地球运动。以a、a 分别表示该空间站和月
1 2
球向心加速度的大小,a 表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是( )
3
A.a >a>a B.a >a>a
2 3 1 2 1 3
C.a >a>a D.a >a>a
3 1 2 3 2 1
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答案 D 地球同步卫星受月球引力可以忽略不计,表明地球同步卫星距离月球要比空间站
距离月球更远,则地球同步卫星轨道半径r、空间站轨道半径r、月球轨道半径r 之间的关
3 1 2
系为r>r >r ,由GMm=ma知,a= GM ,a= GM ,所以a>a;由题意知空间站与月球周期相等,
2 1 3 3 2 3 2
r2 r2 r2
3 2
由ma=m(2π) 2 r知,a
1
=(2π) 2 r
1
,a
2
=(2π) 2 r
2
,所以a
2
>a
1
。因此a
3
>a
2
>a
1
,D正确。
T T T
4.(2021福建新高考适应卷,3)人造地球卫星的轨道可近似为圆轨道。下列说法正确的是(
)
A.周期是24小时的卫星都是地球同步卫星
B.地球同步卫星的角速度大小比地球自转的角速度小
C.近地卫星的向心加速度大小比地球两极处的重力加速度大
D.近地卫星运行的速率比地球表面赤道上的物体随地球自转的速率大
答案 D 周期为24小时,且轨道在赤道上方的卫星为同步卫星,故A项错误;地球同步卫星
Mm GM
的角速度等于地球自转的角速度,故B项错误;由G =mg可得g= ,近地卫星的向心加
R2 R2
速度大小等于地球两极处的重力加速度,故C项错误;近地卫星运行周期比地球自转周期小,
2π
根据ω= 可知近地卫星的角速度大于地球自转角速度,根据v=ωR可知,近地卫星运行的速
T
率比地球表面赤道上的物体随地球自转的速率大,故D项正确。故选D项。
5.(2021重庆新高考适应卷,6)近地卫星绕地球的运动可视为匀速圆周运动,若其轨道半径近
似等于地球半径R,运行周期为T,地球质量为M,引力常量为G,则( )
A.近地卫星绕地球运动的向心加速度大小近似为2π2R
T2
√ R
B.近地卫星绕地球运动的线速度大小近似为
GM
M
C.地球表面的重力加速度大小近似为
GR2
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3π
D.地球的平均密度近似为
GT2
答案 D 由向心加速度公式,可得近地卫星向心加速度a=R(2π) 2 ,A错误。由GMm=mv2
T R2 R
√GM GMm
,可得近地卫星线速度v= ,B错误。在地球表面,由万有引力近似等于重力有
R R2
=mg,可得地面附近的重力加速度大小g=GM,C错误。由GMm=mR(2π) 2 、M=ρ·4πR3,可
R2 R2 T 3
3π
得ρ= ,D正确。
GT2
6.(2022届顺德一模,5)2021年6月,中国神舟十二号载人飞船成功发射升空,与天和核心舱及
天舟二号组合体成功对接,将中国三名航天员送入“太空家园”,核心舱绕地球飞行的轨道可
1
视为圆轨道,轨道离地面的高度约为地球半径的 。下列说法正确的是( )
16
A.核心舱在轨道上飞行的周期小于24 h
B.宇航员在“太空家园”相对地球表面是静止的
C.核心舱在轨道上飞行的速度大于第一宇宙速度
1
D.核心舱受地球的万有引力大小约为地面时的
4
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1
答案 A 核心舱在轨道上飞行,轨道离地面的高度约为地球半径的 ,小于地球同步卫星
16
的轨道半径,根据GMm=m4π2 r,可得T=√4πr3,因此核心舱在轨道上飞行的周期小于地球
r2 T2 GM
同步卫星的周期,所以运行周期小于24 h,A正确;核心舱在轨道上飞行,轨道离地面的高度约
1
为地球半径的 ,因此核心舱在轨道上飞行的轨道低于地球同步卫星的轨道,宇航员相对地
16
面是运动的,B错误;第一宇宙速度为卫星绕地球表面做匀速圆周运动的最大环绕速度,核心
舱在轨道上飞行的速度小于7.9 km/s,C错误;核心舱在地面时,受地球的万有引力大小F=G
1
Mm
Mm
,核心舱进入轨道后,受地球的万有引力大小F=G 1 ,因此核心舱进入轨道后
R2 2 (R+ R)2
16
16
所受地球的万有引力大小约为它在地面时的( )2,D错误。
17
7.(2022届梅州东山中学期中,5)2021年10月16日,神舟十三号载人飞船成功与天和核心舱
对接,3名航天员顺利进入天和核心舱,他们将在空间站生活六个月。空间站绕地球做圆周运
动的运行周期约为1.5 h,则下列说法正确的是( )
A.神舟十三号的发射速度应大于地球的第二宇宙速度
B.空间站绕地球做圆周运动的运行速度不小于7.9 km/s
C.宇航员静止站在天和核心舱地板上时对地板的压力为零
D.神舟十三号先进入天和核心舱运行轨道,与之在同一轨道运行,再从后面加速以实现与天和
核心舱对接
答案 C 神舟十三号的发射速度应大于地球的第一宇宙速度,小于地球的第二宇宙速度,A
Mm v2
错误;7.9 km/s是地球近地卫星的环绕速度,根据万有引力提供向心力,可得G =m ⇒v=
R2 R
√GM
,由于空间站绕地球做圆周运动的半径大于地球半径,所以运行速度小于7.9 km/s,B错
R
误;宇航员在核心舱中处于完全失重状态,所以静止站在天和核心舱地板上时对地板的压力为
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零,C正确;神舟十三号要与天和核心舱对接,需要在低轨道加速,做离心运动从而实现与高轨
道核心舱的对接,不能在同一轨道上从后面加速与天和核心舱对接,故D错误。
8.(2022届东莞东华高级中学月考,3)宇宙飞船是深太空探测重要运载工具,在返回地球进入
稀薄大气层后的过程中,受到稀薄大气的阻碍作用开始做逐渐靠近地球的圆周运动(每周都
可视为匀速圆周运动,但运动的半径逐渐减小)。若在这个过程中宇宙飞船的质量保持不变,
则宇宙飞船( )
A.周期将逐渐变小
B.角速度将逐渐变小
C.线速度将逐渐变小
D.加速度将逐渐变小
答案 A
每周都可视为匀速圆周运动,由GMm=m4π2
r,可知半径逐渐减小时,周期将逐渐
r2 T2
GMm GMm v2
变小,A正确;由 =mω2r,可知半径逐渐减小时,角速度将逐渐变大,B错误;由 =m ,
r2 r2 r
GMm
可知半径逐渐减小时,线速度将逐渐变大,C错误;由 =ma,当半径逐渐减小时,加速度将
r2
逐渐变大,D错误。
9.(2022届深圳宝安调研,6)2021年6月17日,“神舟十二号”载人飞船与中国太空站“天和核
心舱”完成自主对接。对接前“神舟十二号”在较低轨道运行,“天和核心舱”在较高轨道
运行,它们都绕地球近似做匀速圆周运动,运行轨道如图所示。则( )
A.“神舟十二号”运行的周期比“天和核心舱”的小
B.“神舟十二号”运行的线速度比“天和核心舱”的小
C.“神舟十二号”运行的向心力比“天和核心舱”的大
D.“神舟十二号”和“天和核心舱”都处于超重状态
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Mm
答案 A 由图可知,“神舟十二号”的轨道半径小于“天和核心舱”的轨道半径,由G
r2
=m4π2 r,得T=2π√ r3 ,可得“神舟十二号”运行的周期比“天和核心舱”的小,A正确;根
T2 GM
Mm v2 √GM
据G =m ,得v= ,可得“神舟十二号”运行的线速度比“天和核心舱”的大,B错
r2 r r
误;由于“神舟十二号”的质量和“天和核心舱”的质量大小无法比较,所以无法比较“神舟
十二号”运行的向心力与“天和核心舱”的向心力大小,C错误;对于两者都围绕地球做匀速
圆周运动,万有引力提供向心力,则“神舟十二号”和“天和核心舱”都处于完全失重状态,D
错误。
10.(2022届佛山罗定邦中学月考,4)卫星的“星下点”是指卫星的瞬时位置和地球中心的连
线与地球表面的交点,可用地理经、纬度来表示,对于位于“星下点”处的地面观察者来说,
卫星就在天顶,如图所示,将“星下点”的轨迹画在地图上便是星下点轨迹图。已知某颗卫星
的星下点轨迹图是一个点。地球自转的周期为T,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,
卫星的运动可视为匀速圆周运动,则( )
A.该卫星为近地卫星
2πR
B.该卫星的线速度v=
T
C.该卫星的轨道半径为√
3
gR2T2
4π2
D.该卫星可能位于北京的正上方
答案 C 某颗卫星的星下点轨迹图是一个点,说明该卫星相对地球静止,是地球同步卫星,位
于赤道上空,A、D错误;因为卫星的轨道半径不是地球半径R,所以卫星的线速度不是v=
2πR Mm 2π
,B错误;地球自转的周期为T,该卫星受到的万有引力提供向心力得G =m( )2r,在
T r2 T
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Mm GM
地球表面的万有引力等于重力,即有G =mg,解得加速度为g= ,联立可得该卫星的轨
R2 R2
道半径为r=√ 3 gR2T2 ,C正确。
4π2
11.(2020山东等级考模拟,5)2019年10月28日发生了天王星冲日现象,即太阳、地球、天王
星处于同一直线,此时是观察天王星的最佳时间。已知日地距离为R ,天王星和地球的公转
0
周期分别为T和T,则天王星与太阳的距离为( )
0
A.
√
3
T2
R 0 B.
√T3
R 0
T2 T3
0 0
C.
√
3
T2
0 R 0 D.
√T3
0 R 0
T2 T3
R3 R3 √T2
答案 A 太阳是地球和天王星的中心天体,根据开普勒第三定律有 0= ,解得R=3 R
0
,
T2 T2 T2
0 0
故A正确。
12.(2022届滨州月考,7)假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4 200 km的赤道上空绕地球
做匀速圆周运动,地球半径约为6 400 km,地球同步卫星距地面高度为36 000 km,宇宙飞船和
地球同步卫星绕地球同向运动,每当二者相距最近时,宇宙飞船就向同步卫星发射信号,然后
再由同步卫星将信号发送到地面接收站,某时刻二者相距最远,从此刻开始,在一昼夜的时间
内,接收站共接收到信号的次数为( )
A.4次 B.6次 C.7次 D.8次
答案 C 宇宙飞船轨道半径为r=4 200 km+6 400 km=10 600 km,地球同步卫星轨道半径为
1
r=36 000 km+6 400 km=42 400 km,r =4r ,根据开普勒第三定律,知地球同步卫星的周期为宇
2 2 1
2π 2π
宙飞船周期的8倍。从二者相距最远时刻开始,由 t- t=2nπ(n=1,2,3,…)知当t=T 时,n=7,
T T 2
1 2
即在一昼夜的时间内,接收站共接收到信号的次数为7次,C正确。
13.(2022届潍坊统考)当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时,称之为“木星
冲日”,2016年3月8日出现了一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同
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一方向绕太阳近似做匀速圆周运动,木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下
列说法正确的是( )
A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
C.木星运行的加速度比地球的大
D.木星运行的周期比地球的小
答案 B 地球公转周期T=1年,由GMm=m4π2 r,得T=2π√ r3 ,可知木星公转周期T=
1 2
r2 T2 GM
√125T≈11.18年,故木星运行的周期大,故D错误;设经时间t,再次出现“木星冲日”,则有
1
2π 2π
ωt-ωt=2π,其中ω= ,ω= ,解得t≈1.1年,因此下一次“木星冲日”发生在2017年,故A
1 2 1 T 2 T
1 2
Mm GM
错误,B正确;由G =ma,解得a= ,因此,木星的加速度小,故C错误。
r2 r2
二、多项选择题(每小题6分,共36分)
14.(2021天津耀华中学二模,11)暗物质是二十一世纪物理学之谜,对该问题的研究可能带来
一场物理学的革命。为了探测暗物质,我国在2015年12月17日成功发射了一颗被命名为
“悟空”的暗物质探测卫星。已知“悟空”在低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运
动,经过时间t(t小于其运动周期),运动的弧长为s,与地球中心连线扫过的角度为β(弧度),引
力常量为G,则下列说法中正确的是( )
A.“悟空”的发射速度小于第一宇宙速度
B.“悟空”的向心加速度数值小于地球表面物体的重力加速度数值
2πt
C.“悟空”的环绕周期为
β
D.“悟空”的质量为
s3
Gt2β
答案 BC 航天器的发射速度必须大于或等于第一宇宙速度,第一宇宙速度被称为最小的
发射速度,故选项A错误;对“悟空”有G Mm =ma,得a= GM ,地球表面重力加速度g=GM
r2 r2 R2
1 1
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2π
2πt
,r>R,则a<g,选项B正确;“悟空”的环绕周期为T= β = ,选项C正确;“悟空”绕地球做
1
β
t
匀速圆周运动,G Mm =mω2r,ω=β,r=v =s,联立解得地球的质量为M= s3 ,选项D错误。
1 1
r2 t ω β Gt2β
1
故选B、C项。
思路点拨 第一宇宙速度是卫星的最小发射速度;利用“悟空”在一定时间内扫过的角度可
求得“悟空”运行的周期,根据万有引力提供向心力列式可求解出地球的质量。
4
15.(2020湖南师大附中月考二,9)(多选)在一颗半径为地球半径 的行星表面,将一个物体竖
5
直向上抛出,不计空气阻力。从抛出开始计时,物体运动的位移随时间关系如图(可能用到的
数据:地球的半径R=6 400 km,地球的第一宇宙速度v 取8 km/s,地球表面的重力加速度g取
1
10 m/s2),则( )
A.该行星表面的重力加速度为8 m/s2
B.该行星的质量比地球的质量大
C.该行星的第一宇宙速度为6.4 km/s
D.该物体落到行星表面时的速率为30 m/s
v
答案 AC 由图读出,物体上升的最大高度h=64 m,上升的时间t=4 s,对于上升过程,由h= 0
2
v
t,得初速度v=32 m/s,该行星表面的重力加速度g'= 0=8 m/s2,A正确;物体在行星表面受到的
0
t
GM'm GM m
地
重力等于万有引力, =mg', =mg,解得M'=0.512M ,故行星的质量小于地球的
r2 R2 地
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4
质量,B错误;根据v=√g'r和v=√gR得该行星的第一宇宙速度为:v= v=6.4 km/s,C正确;根
1 1
5
据竖直上抛运动的对称性可知,该物体落到行星表面时的速率为32 m/s,D错。
16.(2020湖南师大附中月考五)(多选)已知地球半径为R,地心与月球中心之间的距离为r,地
球中心和太阳中心之间的距离为s,月球公转周期为T,地球自转周期为T,地球公转周期为
1 2
T,近地卫星的运行周期为T,引力常量为G,由以上条件可知正确的选项是( )
3 4
4π2r
A.月球公转的加速度为
T2
1
3π
B.地球的密度为
GT2
1
3π
C.地球的密度为
GT2
4
4π2s3
D.太阳的质量为
GT2
3
答案 ACD 月球向心加速度为a=rω2=r×(2π) 2 = 4π2r ,故A正确;对地球的近地卫星有G
T T2
1 1
M
1
m =mR4π2 ,地球质量M
1
=4πR3ρ,联立解得ρ= 3π ,故C正确,B错误;研究地球绕太阳做
R2 T2 3 GT2
4 4
M M 4π2 4π2s3
圆周运动时,利用万有引力提供向心力得G 1=M
1
s ,解得M= ,故D正确。
s2 T2 GT2
3 3
易错警示 求中心天体的密度时,要注意区分中心天体的半径和环绕天体的轨道半径。
17.(2022届珠海实验中学、东莞六中、河源中学、中山实验中学联考,9)(多选)如果把水星和
金星绕太阳的运动视为匀速圆周运动,若从水星与金星在一条直线上开始计时,天文学家测得
在相同时间内水星转过的角度为θ,金星转过的角度为θ(θ 、θ 均为锐角),如图所示,则由此
1 2 1 2
条件可求得的是( )
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A.水星和金星的质量之比
B.水星和金星到太阳的距离之比
C.水星和金星绕太阳运动的周期之比
D.水星和金星绕太阳运动的向心加速度大小之比
答案 BCD 水星和金星作为环绕体,无法求出质量之比,A错误;相同时间内水星转过的角
Mm
度为θ,金星转过的角度为θ,可知道它们的角速度之比,根据万有引力提供向心力:G
1 2 r2
=mrω2,r=√GM,知道了角速度之比,就可求出轨道半径之比,B正确;相同时间内水星转过的角
3
ω2
2π
度为θ,金星转过的角度为θ,可知它们的角速度之比为θ∶θ ,周期T= ,则周期比为θ∶θ ,C
1 2 1 2 2 1
ω
正确;根据a=rω2,轨道半径之比、角速度之比都知道,很容易求出向心加速度之比,D正确。
18.(2022届肇庆一模,9)(多选)2021年6月17日,中国神舟十二号载人飞船成功发射升空,将聂
海胜、刘伯明和汤洪波三名航天员送入太空。神舟十二号飞船入轨后,与天和核心舱进行自
主快速交会对接。与天和核心舱、天舟二号货运飞船形成组合体后,组合体围绕地球做匀速
圆周运动。已知引力常量为G,组合体轨道半径为r,组合体绕地球转n圈的时间为t,下列物
理量可求的是( )
A.地球表面的重力加速度
B.地球的质量
C.组合体所在轨道的重力加速度
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D.地球的密度
答案 BC 飞船周期为T=t ,根据万有引力提供向心力得GMm=m·4π2r=ma,联立解得
n r2 T2
M=4π2r3n2 ,a=4π2rn2
,由于不知道地球半径,所以无法计算地球表面重力加速度和地球的
Gt2 t2
密度;故选B、C。
19.(2021日照期末)(多选)如图,在万有引力作用下,a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿
逆时针方向做匀速圆周运动,已知轨道半径之比为r∶r =1∶4,则下列说法中正确的有( )
a b
A.a、b运动的周期之比为T∶T=1∶8
a b
B.a、b运动的周期之比为T∶T=1∶4
a b
C.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线12次
D.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线14次
答案 AD 根据开普勒第三定律,则a、b运动的周期之比为1∶8,A对,B错;设图示位置ac连
π 2π
线与bc连线的夹角为θ< ,b转动一周(圆心角为2π)的时间为T,则a、b相距最远时: T-
2 b T b
a
2π 2π 2π
T=(π-θ)+n·2π(n=0,1,2,3,…),可知n<6.75,n可取7个值;a、b相距最近时: T-
T b T b T
b a b
T=(2π-θ)+m·2π(m=0,1,2,3,…),可知m<6.25,m可取7个值,故在b转动一周的过程中,a、b、c
b
共线14次,C错,D对。
三、非选择题(共22分)
20.(2020湖南师大附中月考二,16 科学探索)(12分)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一
种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦
哲伦云时,发现了LMCX-3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成,两星视为质点,不
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考虑其他天体的影响。A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持
不变,如图所示。引力常量为G,由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
(1)可见星A所受暗星B的引力F 可等效为位于O点处质量为m'的星体(视为质点)对它的
A
引力,设A和B的质量分别为m、m,试求m'的表达式(用m、m 表示);
1 2 1 2
(2)求暗星B的质量m 与可见星A的速率v、运行周期T和质量m 之间的关系式;
2 1
(3)恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量m 的2倍,它将有可能成为黑洞。若可见星A
s
的速率v=2.7×105 m/s,运行周期T=4.7π×104 s,质量m=6m,试通过估算来判断暗星B有可能
1 s
是黑洞吗?(G=6.67×10-11 N·m2/kg2,m=2.0×1030 kg)
s
解析 (1)设A、B圆轨道半径分别为r、r,由题意知,A、B做匀速圆周运动的角速度相同,
1 2
设其为ω。由牛顿运动定律,有F =mω2r,F =mω2r,F =F
A 1 1 B 2 2 A B
设A、B之间的距离为r,有r=r +r
1 2
m +m
由上述各式得r= 1 2 r 1 ①
m
2
m m
由万有引力定律,有F =G
A 1 2
r2
m m3
将①代入得F A =G 1 2
(m +m )2r2
1 2 1
m m'
令F A =G 1
r2
1
m3
比较可得m'= 2 ②
(m +m )2
1 2
(2)由牛顿第二定律,有G
m
1
m'
=m 1
v2
③
r2 r
1 1
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vT
又可见星A的轨道半径r= ④
1
2π
由②③④式解得
m
2
3
=
v3T
⑤
(m +m )2 2πG
1 2
(3)将m 1 =6m s 代入⑤式,得
m
2
3
=
v3T
(6m +m )2 2πG
s 2
m3
代入数据得 2 ≈6.9×1030 kg=3.45m s ⑥
(6m +m )2
s 2
n
m3
设m 2 =nm s (n>0),将其代入⑥式,得 (6m + 2 m )2 =(6 +1 ) 2 m s =3.45m s ⑦
s 2 n
n
m3
可见, (6m + 2 m )2 的值随n的增大而增大,试令n=2,得(6 +1 ) 2 m s =0.125m s <3.45m s ⑧
s 2 n
若使⑦式成立,则n必大于2,即暗星B的质量m 必大于2m,由此得出结论: 暗星 B 有可能是
2 s
黑洞。
21.(2020湖北荆州质检一,26)(10分)引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖。双星的运
动是引力波的来源之一,假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成,这两颗星绕它们连
线的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动,测得P星的周期为T,P、Q两颗星的距
离为l,P、Q两颗星的轨道半径之差为Δr(P星的轨道半径大于Q星的轨道半径),引力常量为
G,求:
(1)P、Q两颗星的线速度大小之差Δv;
(2)P、Q两颗星的质量之差Δm。
答案 (1)2πΔr (2)4π2l2Δr
T GT2
2πr
解析 (1)P星的线速度大小v = P(1分)
P
T
2πr
Q星的线速度大小v = Q(1分)
Q
T
则P、Q两颗星的线速度大小之差为
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2πr 2πr 2πΔr
Δv=v -v = P- Q= (2分)
P Q T T T
(2)双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,向心力大小相等,则有:
Gm m =m r ω2=m r ω2(2分)
P Q P P Q Q
l2
解得m
=l2r ω2
,m
=l2r ω2
(2分)
P Q Q P
G G
则P、Q两颗星的质量之差为
Δm=m -m
=l2Δrω2=4π2l2Δr(2分)
Q P
G GT2
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