北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版
专题五 万有引力与航天
1.(2022河北,2,4分)2008年,我国天文学家利用国家天文台兴隆观测基地的2.16米望远
镜,发现了一颗绕恒星HD173416运动的系外行星HD173416b。2019年,该恒星和行星被
国际天文学联合会分别命名为“羲和”和“望舒”。天文观测得到恒星羲和的质量是
太阳质量的2倍,若将望舒与地球的公转均视为匀速圆周运动,且公转的轨道半径相等,则
望舒与地球公转速度大小的比值为 ( )
√2
A.2√2 B.2 C.√2 D.
2
Mm v2
答案 C 望舒与地球都是所受万有引力提供向心力而做匀速圆周运动,有G =m ,
r2 r
√GM
可得v= ,天文观测得到恒星羲和的质量是太阳质量的2倍,且望舒与地球的公转的
r
轨道半径相等,则公转速度大小的比值为√2,C正确。
2.(2022全国乙,14,6分)2022年3月,中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面
约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线,为同学们上了一堂精彩的科学课。通
过直播画面可以看到,在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中,航天员可以自由地漂浮,这
表明他们 ( )
A.所受地球引力的大小近似为零
B.所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零
C.所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等
D.在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小
答案 C 航天员受万有引力,且万有引力提供向心力,故航天员所受合力不为零,A、B
Mm
错误;万有引力F=G ,地表处r较小,则航天员在地表处所受万有引力大于在飞船上所
r2
受的万有引力,也就大于其随飞船运动所需向心力,D错误;航天员在飞船上所受地球引力
约等于随飞船运动所需的向心力,C正确。
3.(2022广东,2,4分)“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和
地球的冬季是各自公转周期的四分之一,且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和
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地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是 (
)
A.火星公转的线速度比地球的大
B.火星公转的角速度比地球的大
C.火星公转的半径比地球的小
D.火星公转的加速度比地球的小
r3 r3 r 3
( )
火 地 火
答案 D 由题意可知T =1.88T ,结合开普勒第三定律有 = ,整理可得 =
火 地 T2 T2 r
火 地 地
( T ) 2 GMm v2 √GM
火 ,可见r >r ,故C错误;由 =m ,得v= ,可见v <v ,故A错误;由ω=
T 火 地 r2 r r 火 地
地
2π GMm GM
,可知ω <ω ,故B错误;由 =ma,得a= ,可见a <a ,故D正确。
T 火 地 r2 r2 火 地
4.(2022浙江6月选考,6,3分)神舟十三号飞船采用“快速返回技术”,在近地轨道上,返回
舱脱离天和核心舱,在圆轨道环绕并择机返回地面。则 ( )
A.天和核心舱所处的圆轨道距地面高度越高,环绕速度越大
B.返回舱中的宇航员处于失重状态,不受地球的引力
C.质量不同的返回舱与天和核心舱可以在同一轨道运行
D.返回舱穿越大气层返回地面过程中,机械能守恒
GMm v2 √GM
答案 C 根据万有引力提供向心力有 =m ,可知v= ,离地面越高,轨道半径
r2 r r
越大,环绕速度越小,选项A错误;返回舱中的宇航员处于失重状态,但受地球的引力,选项
√GM
B错误;根据v= 可知,天体在同一个轨道上运行的速度与天体的质量无关,选项C正
r
确;返回舱穿越大气层返回地面过程中,返回舱与空气剧烈摩擦,机械能减少,选项D错误。
5.(2022湖北,2,4分)2022年5月,我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接,形
成的组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动,周期约90分钟。下列说法正确的是 (
)
A.组合体中的货物处于超重状态
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B.组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C.组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D.组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
答案 C 组合体在地球引力作用下绕地球做圆周运动,组合体中的货物处于完全失重
状态,A错误;第一宇宙速度是最大的环绕速度,组合体的速度大小小于第一宇宙速度,B
2π
错误;组合体的环绕周期约90分钟,而地球同步卫星的运行周期为24小时,由ω= 可知
T
Mm
组合体的角速度大小比地球同步卫星的大,C正确;由G =mω2r知组合体的轨道半径
r2
Mm
小于地球同步卫星的轨道半径,由万有引力提供向心力即G =ma可知组合体的加速
r2
度大小比地球同步卫星的大,D错误。
6.(2022山东,6,3分)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示,该卫
星围绕地球的运动视为匀速圆周运动,轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同
时刻、沿相同方向经过地球表面A点正上方,恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为R,
自转周期为T,地球表面重力加速度为g,则“羲和号”卫星轨道距地面高度为 ( )
(gR2T2
)
1 (gR2T2
)
1
A. ❑3-R B. ❑3
2n2π2 2n2π2
(gR2T2
)
1 (gR2T2
)
1
C. ❑3-R D. ❑3
4n2π2 4n2π2
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T
答案 C 根据题意,卫星绕地球的周期t= ,设地球质量为M,地心与卫星中心距离为r,
n
GMm (2π) 2
卫星绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力可知 =mr ,则GM=r3
r2 t
( 2π ) 2 √gR2T2
,且GM=gR2,卫星距地面高度h=r-R,代入化简得h=3 -R,故选C。
T/n 4π2n2
7.(2022浙江1月选考,8,3分)“天问一号”从地球发射后,在如图甲所示的P点沿地火转
移轨道到Q点,再依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道,则天问一号 ( )
A.发射速度介于7.9 km/s与11.2 km/s之间
B.从P点转移到Q点的时间小于6个月
C.在环绕火星的停泊轨道运行的周期比在调相轨道上小
D.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
答案 C “天问一号”脱离地球,故发射速度应介于第二宇宙速度与第三宇宙速度之
a3
间,故A错误;根据开普勒第三定律 =k可知,“天问一号”在停泊轨道上的运行周期比
T2
在调相轨道上的小,在地火转移轨道上的周期T 大于地球公转周期T =12个月,故从P
天问 地
GMm mv2
到Q的时间大于6个月,故B错误,C正确。根据 = ,圆轨道半径越大速度越小,
R2 R
所以“天问一号”在火星轨道上的速度小于在地球轨道上的速度,而“天问一号”在地
火转移轨道上由Q点向P点运动时,“天问一号”做近心运动,故“天问一号”在地火转
移轨道上通过Q点的速度小于在火星轨道上时通过Q点的速度,据此可判定D错误。
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8.(2022重庆,9,5分)(多选)我国载人航天事业已迈入“空间站时代”。若中国空间站绕
17
地球近似做匀速圆周运动,运行周期为T,轨道半径约为地球半径的 倍,已知地球半径
16
为R,引力常量为G,忽略地球自转的影响,则 ( )
A.漂浮在空间站中的宇航员不受地球的引力
17πR
B.空间站绕地球运动的线速度大小约为
8T
3π (16) 3
C.地球的平均密度约为
GT2 17
(16) 2
D.空间站绕地球运动的向心加速度大小约为地面重力加速度的 倍
17
答案 BD 漂浮在空间站中的宇航员依然受地球的引力,所受引力提供宇航员做匀速圆
周运动的向心力,宇航员处于完全失重状态,A错误;空间站绕地球运动的线速度大小约为
17
2πr 2π R 17πR
v= = 16 = ,B正确;设空间站的质量为m,根据万有引力提供向心力,有G
T 8T
T
Mm M
(17 R ) 2=m (2 T π) 2 (1 1 7 6 R ) ,地球的平均密度约为ρ=4 πR3 = (1 1 7 6 ) 3 G 3 T π 2 ,C错误;根据万
16 3
Mm
有引力提供向心力,有G(17 ) 2 =ma,空间站绕地球运动的向心加速度大小为a=
R
16
GM
(17 ) 2,地表的重力加速度为g=
GM
,联立可得
a
=
(16) 2
,即空间站绕地球运动的向心
R R2 g 17
16
(16) 2
加速度大小约为地面重力加速度的 倍,故D正确。
17
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9.(2022湖南,8,5分)(多选)如图,火星与地球近似在同一平面内,绕太阳沿同一方向做匀速
圆周运动,火星的轨道半径大约是地球的1.5倍。地球上的观测者在大多数的时间内观
测到火星相对于恒星背景由西向东运动,称为顺行;有时观测到火星由东向西运动,称为
逆行。当火星、地球、太阳三者在同一直线上,且太阳和火星位于地球两侧时,称为火星
冲日。忽略地球自转,只考虑太阳对行星的引力,下列说法正确的是 ( )
√ 8
A.火星的公转周期大约是地球的 倍
27
B.在冲日处,地球上的观测者观测到火星的运动为顺行
C.在冲日处,地球上的观测者观测到火星的运动为逆行
D.在冲日处,火星相对于地球的速度最小
r 3 r 3 T √27
火 地 火
答案 CD 已知r ≈1.5r ,由开普勒第三定律可得 = ,所以 ≈ ,A错误。
火 地 T 2 T 2 T 8
火 地 地
Mm √GM
由万有引力提供向心力可得G =mω2r,所以ω= ,地球的角速度大于火星的角速
r2 r3
度,故在冲日处,地球上的观测者观测到火星由东向西运行,C正确。在冲日处,火星和地
球的运动方向相同,故火星相对地球的速度最小,D正确。
10.(2019课标Ⅱ,14,6分)2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆。在探
测器“奔向”月球的过程中,用h表示探测器与地球表面的距离,F表示它所受的地球引
力,能够描述F随h变化关系的图像是( )
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答案 D 本题考查了万有引力定律公式。考查了学生对万有引力定律的理解能力,体
现了运动和相互作用的物理观念及科学推理的核心素养。
GMm
由万有引力定律可知,探测器受到的万有引力F= ,其中R为地球半径。在探测
(R+h)2
器“奔向”月球的过程中,离地面距离h增大,其所受的万有引力非线性减小,故选项D
正确。
储备知识 万有引力定律公式,数学函数与图像的关联。
11.(2015海南单科,6,3分)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度
处、以相同的速率平抛一物体,它们在水平方向运动的距离之比为2∶√7。已知该行星质
量约为地球的7倍,地球的半径为R。由此可知,该行星的半径约为( )
1 7
A. R B. R
2 2
√7
C.2R D. R
2
答案 C 在行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平
t 2
1
抛一物体,它们经历的时间之比即在水平方向运动的距离之比,所以 = 。竖直方向上
t √7
2
g 2h/t2 t2 7
1 1 2
做自由落体运动,重力加速度分别为g 和g ,因此 = = = 。
1 2 g 2h/t2 t2 4
2 2 1
设行星和地球的质量分别为7M和M,行星的半径为r,由牛顿第二定律得
7Mm
G =mg
r2 1
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Mm
G =mg
R2 2
解得r=2R
因此A、B、D错,C对。
12.(2015江苏单科,3,3分)过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内,行星
“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速
1
圆周运动,周期约为4天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 。该中心恒星与太阳的
20
质量比约为( )
1
A. B.1 C.5 D.10
10
GM
1
m
1
(2π) 2
答案 B 对行星“51 peg b”有 =m r
r2 1 T 1
1 1
GM
2
m
2
(2π) 2
对地球有 =m r
r2 2 T 2
2 2
M T 2 r 3
( ) ( )
1 2 1
化简即得 = ·
M T r
2 1 2
M 1 (365) 2 ( 1 ) 3
代入数据得 = · ≈1
M 4 20
2
因此B正确。
13.(2013福建理综,13,6分)设太阳质量为M,某行星绕太阳公转周期为T,轨道可视作半径
为r的圆。已知引力常量为G,则描述该行星运动的上述物理量满足( )
4π2r3 4π2r2
A.GM= B.GM=
T2 T2
4π2r2 4πr3
C.GM= D.GM=
T3 T2
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GMm 4π2
答案 A 太阳对行星的万有引力充当行星做圆周运动的向心力: =m r,可得
r2 T2
4π2r3
GM= ,所以A正确。
T2
14.(2012课标,21,6分)假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为
d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度
大小之比为 ( )
d d (R-d) 2 ( R ) 2
A.1- B.1+ C. D.
R R R R-d
4 4
答案 A 设地球密度为ρ,地球质量M= πρR3,地面下d处内部地球质量M'= πρ(R-
3 3
Mm 4 M'm 4 F 4
d)3。地面处F=G = πρGmR,d处F'=G = πρGm(R-d),地面处g= = πρGR,
R2 3 (R-d)2 3 m 3
F' 4 g' R-d
而d处g'= = πρG(R-d),故 = ,所以A选项正确。
m 3 g R
15.(2020课标Ⅱ,15,6分)若一均匀球形星体的密度为ρ,引力常量为G,则在该星体表面附
近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
√3π √4π √ 1 √ 1
A. B. C. D.
Gρ Gρ 3πGρ 4πGρ
4
答案 A 设星体半径为R,则其质量M= πρR3;在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的
3
Mm 4π2 √3π
卫星所受万有引力提供向心力,有G =m· ·R,联立解得T= ,故A选项正
R2 T2 Gρ
确,B、C、D选项错误。
16.(2017北京理综,17,6分)利用引力常量G和下列某一组数据,不能计算出地球质量的是
( )
A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
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B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
M m
地
答案 D 本题考查天体运动。已知地球半径R和重力加速度g,则mg=G ,所以M
R2
gR2 M m v2 2πR v2R v3T
地
= ,可求M ;近地卫星做圆周运动,G =m ,T= ,可解得M = = ,
地 G 地 R2 R v 地 G 2πG
M ·m 4π2 4π2r3
地
已知v、T可求M ;对于月球:G =m r,则M = ,已知r、T 可求M ;
地 r2 T2 地 GT2 月 地
月 月
同理,对地球绕太阳的圆周运动,只可求出太阳质量M ,故此题符合题意的选项是D项。
太
17.(2014课标Ⅱ,18,6分,0.370)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重
力加速度在两极的大小为g ,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G。地
0
球的密度为( )
3π g -g 3π g
0 0
A. B.
GT2 g GT2 g -g
0 0
3π 3π g
C. D. 0
GT2 GT2 g
Mm Mm 4π2 (g -g)T2
答案 B 在地球两极处,G =mg ,在赤道处,G -mg=m R,故R= 0 ,则
R2 0 R2 T2 4π2
R2g
M 0
G 3g 3π g
ρ=4 = = 0 = 0 ,B正确。
πR3 4 4πRG GT2 g -g
3 πR3 0
3
18.(2019课标Ⅲ,15,6分)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的
向心加速度大小分别为a 、a 、a ,它们沿轨道运行的速率分别为v 、v 、v 。已
金 地 火 金 地 火
知它们的轨道半径R <R <R ,由此可以判定 ( )
金 地 火
A.a >a >a B.a >a >a
金 地 火 火 地 金
C.v >v >v D.v >v >v
地 火 金 火 地 金
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答案 A 本题考查万有引力定律和匀速圆周运动,体现了物理模型建构、科学推理等
核心素养。
Mm v2 M
行星绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,即G =ma =m ,解得a =G
R2 向 R 向 R2
√GM
,v= ,由于R <R <R ,所以a >a >a ,v >v >v ,选项A正确。
金 地 火 金 地 火 金 地 火
R
19.(2018海南,2,4分)土星与太阳的距离是火星与太阳距离的6倍多。由此信息可知(
)
A.土星的质量比火星的小
B.土星运行的速率比火星的小
C.土星运行的周期比火星的小
D.土星运行的角速度大小比火星的大
答案 B 本题考查不同环绕天体的速率、周期、角速度与轨道半径的关系。根据万有
Mm v2 √GM
引力提供向心力,有G =m ,得v= ,即r越大,速率越小,但是不能比较土星与火
r2 r r
Mm 4π2 √ r3
星质量的大小,故A错误,B正确;由G =m r,得T=2π ,即r越大,周期越大,故
r2 T2 GM
Mm √GM
C错误;由G =mω2r,得ω= ,即r越大,角速度越小,故D错误。
r2 r3
方法技巧 对于中心天体模型,只能求出中心天体的质量,无法求出环绕天体的质量,明确
了这一点,可以快速判断A选项错误。
20.(2015北京理综,16,6分)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,已知地球到太阳的
距离小于火星到太阳的距离,那么 ( )
A.地球公转周期大于火星的公转周期
B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度
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Mm v2
答案 D 据太阳对行星的引力提供行星运动所需的向心力得G =m =mω2r=m(
r2 r
2π √GM √GM √ r3 GM
)2r=ma ,解得v= ,ω= ,T=2π ,a = ,由题意知,r <r ,所以v >v
T 向 r r3 GM 向 r2 地 火 地
,ω >ω ,T <T ,a >a ,D项正确。
火 地 火 地 火 地 火
21.(2014江苏单科,2,3分)已知地球的质量约为火星质量的10倍,地球的半径约为火星半
径的2倍,则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A.3.5 km/s B.5.0 km/s C.17.7 km/s D.35.2 km/s
答案 A 航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动,由火星对航天器的万有引力
提供航天器的向心力得
GM m mv2
火 = 火
R2 R
火 火
GM m mv2
同理 地 = 地
R2 R
地 地
M 火 R 地 (v 火) 2
所以 · =
M R v
地 火 地
√1
v = ·v ,而v =7.9 km/s
火 5 地 地
7.9
故v = km/s≈3.5 km/s,选项A正确。
火 √5
22.(2014福建理综,14,6分)若有一颗“宜居”行星,其质量为地球的p倍,半径为地球的q
倍,则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )
√q √ p
A.√pq倍 B. 倍 C. 倍 D.√pq3倍
p q
Mm v2 √GM
答案 C 对于中心天体的卫星,G =m ,v= ,设该行星卫星的环绕速度为v',地
R2 R R
v' √M' R √ p
球卫星的环绕速度为v,则 = · = ,C正确。
v M R' q
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23.(2014天津理综,3,6分)研究表明,地球自转在逐渐变慢,3亿年前地球自转的周期约为
22小时。假设这种趋势会持续下去,地球的其他条件都不变,未来人类发射的地球同步卫
星与现在的相比( )
A.距地面的高度变大 B.向心加速度变大
C.线速度变大 D.角速度变大
Mm (2π) 2
答案 A 同步卫星运行周期与地球自转周期相同,由G =m(R+h)· 有h=
(R+h)2 T
√GMT2 GMm v2
3 -R,故T增大时h也增大,A正确。同理由 =ma=m =m(R+h)ω2可得
4π2 (R+h)2 R+h
GM √ GM √ GM
a= 、v= 、ω= ,故h增大后a、v、ω都减小,B、C、D皆错误。
(R+h)2 R+h (R+h)3
24.(2014浙江理综,16,6分)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星,它的
公转轨道半径r =19 600 km,公转周期T =6.39天。2006年3月,天文学家新发现两颗冥
1 1
王星的小卫星,其中一颗的公转轨道半径r =48 000 km,则它的公转周期T 最接近于(
2 2
)
A.15天 B.25天 C.35天 D.45天
答案 B 由G Mm =m 4π2 r,解得T=2π √ r3 ,所以 T 2 = √ ( r 2 ) 3 ,解得T ≈24.49天,所以B
r2 T2 GM T r 2
1 1
项正确。
25.(2013上海单科,9,3分)小行星绕恒星运动,恒星均匀地向四周辐射能量,质量缓慢减小,
可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后,小
行星运动的( )
A.半径变大 B.速率变大
C.角速度变大 D.加速度变大
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答案 A 因恒星质量M减小,所以万有引力减小,不足以提供行星所需向心力,行星将做
√GM √GM GM
离心运动,半径R变大,A项正确,再由v= ,ω= ,a= 可知,速率、角速度、加
R R3 R2
速度均变小,故B、C、D均错误。
26.(2015广东理综,20,6分)(多选)在星球表面发射探测器,当发射速度为v时,探测器可绕
星球表面做匀速圆周运动;当发射速度达到√2v时,可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已
知地球、火星两星球的质量比约为10∶1,半径比约为2∶1,下列说法正确的有 ( )
A.探测器的质量越大,脱离星球所需要的发射速度越大
B.探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大
C.探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等
D.探测器脱离星球的过程中,势能逐渐增大
答案 BD 设星球的质量为M,探测器的质量为m,则当探测器绕星球表面做圆周运动
GMm v2 √GM √2GM
时有 =m ,R是星球半径,可见v= ,√2v= ,探测器脱离星球所需要的发
R2 R R R
v √M R GMm F M R2
射速度与探测器质量无关, 地 = 地 火=√5,A、C皆错误;由F= 有 地 = 地 火
v M R R2 F M R2
火 火 地 火 火 地
5
= ,故B正确;探测器脱离星球的过程中,星球对探测器的万有引力做负功,故其势能增
2
大,D正确。
27.(2015山东理综,15,6分)如图,拉格朗日点L 位于地球和月球连线上,处在该点的物体
1
在地球和月球引力的共同作用下,可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此,科学家
设想在拉格朗日点L 建立空间站,使其与月球同周期绕地球运动。以a 、a 分别表示该
1 1 2
空间站和月球向心加速度的大小,a 表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正
3
确的是( )
A.a >a >a B.a >a >a
2 3 1 2 1 3
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C.a >a >a D.a >a >a
3 1 2 3 2 1
答案 D 地球同步卫星受月球引力可以忽略不计,表明地球同步卫星距离月球要比空
间站距离月球更远,则地球同步卫星轨道半径r 、空间站轨道半径r 、月球轨道半径r
3 1 2
GMm GM GM
之间的关系为r >r >r ,由 =ma知,a = ,a = ,所以a >a ;由题意知空间站与月
2 1 3 r2 3 r2 2 r2 3 2
3 2
(2π) 2 (2π) 2 (2π) 2
球周期相等,由ma=m r知,a = r ,a = r ,所以a >a 。因此a >a >a ,D正
T 1 T 1 2 T 2 2 1 3 2 1
确。
28.(2014课标Ⅰ,19,6分,0.359)(多选)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳
做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现
象,天文学称为“行星冲日”。据报道,2014年各行星冲日时间分别是:1月6日木星冲日;
4月9日火星冲日;5月11日土星冲日;8月29日海王星冲日;10月8日天王星冲日。已知
地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示,则下列判断正确的是( )
地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径(AU) 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B.在2015年内一定会出现木星冲日
C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D.地外行星中,海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
答案 BD 设地球和地外行星的公转周期分别为T 和T ,公转轨道半径分别为r 和r
地 星 地
,由G
Mm
=m
4π2
r解得T=2π
√ r3
,所以
T 星
=
√ (r 星) 3
,结合题给数据得T ≈1.84T ,T
星 r2 T2 GM T r 火 地
地 地
≈11.86T ,T ≈29.28T ,T ≈82.82T ,T ≈164.32T 。设地外行星连续两次冲日的
木 地 土 地 天王 地 海王 地
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T
2π 2π T T 地
时间间隔为t,则 t- t=2π,解得t= 地 星 = T >T =1年,故各地外行星不会每年
T T T -T 1- 地 地
地 星 星 地 T
星
T T 1年×11.86年
地 木
都出现冲日现象,A项错误;t = = ≈1.09年,而2014年木星冲日时
木 T -T (11.86-1)年
木 地
T T 1×82.82
地 天王
间为1月6日,下次冲日时间应为2015年2月,B项正确;t = = 年
天王 T -T 82.82-1
天王 地
T
T T 1×29.28 地
≈1.01年,t = 地 土 = 年≈1.04年,C项错误;由t= T 知T 越大,t越小,故
土 T -T 29.28-1 1- 地 星
土 地 T
星
D项正确。
29.(2015重庆理综,2,6分)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课,
演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m,距地面高度为h,地球质量为
M,半径为R,引力常量为G,则飞船所在处的重力加速度大小为( )
GM GMm GM
A.0 B. C. D.
(R+h)2 (R+h)2 h2
Mm GM
答案 B 对飞船应用牛顿第二定律有:G =mg ,则g = ,故B正确。
(R+h)2 h h (R+h)2
30.(2013大纲全国,18,6分)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星,它在距月球表面高
度为200 km的圆形轨道上运行,运行周期为127分钟。已知引力常量G=6.67×10-11
N·m2/kg2,月球半径约为1.74×103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( )
A.8.1×1010 kg B.7.4×1013 kg
C.5.4×1019 kg D.7.4×1022 kg
Mm 4π2(R+h) 4π2(R+h)3
答案 D 万有引力提供向心力,由G =m 得M= ,代入
(R+h)2 T2 GT2
数据得M=7.4×1022 kg,D正确。
31.(2019海南单科,4,4分)2019年5月,我国第45颗北斗卫星发射成功。已知该卫星轨道
距地面的高度约为36 000 km,是“天宫二号”空间实验室轨道高度的90倍左右,则(
)
A.该卫星的速率比“天宫二号”的大
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B.该卫星的周期比“天宫二号”的大
C.该卫星的角速度比“天宫二号”的大
D.该卫星的向心加速度比“天宫二号”的大
答案 B 本题考查地球卫星的速率、周期、角速度、向心加速度与轨道半径的关系。
Mm 4π2 v2 √GM √ r3 √GM GM
根据G =mrω2=m r=m =ma,解得v= ,T=2π ,ω= ,a= ,因该北
r2 T2 r r GM r3 r2
斗卫星的轨道半径大于“天宫二号”的轨道半径,可知该卫星的速率比“天宫二号”的
小;该卫星的周期比“天宫二号”的大;该卫星的角速度比“天宫二号”的小;该卫星的
向心加速度比“天宫二号”的小。故选项B正确,A、C、D错误。
32.(2019天津理综,1,6分)2018年12月8日,肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四
号探测器成功发射,“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国
足迹”。已知月球的质量为M、半径为R,探测器的质量为m,引力常量为G,嫦娥四号探
测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时,探测器的( )
√4π2r3 GMm
A.周期为 B.动能为
GM 2R
√Gm GM
C.角速度为 D.向心加速度为
r3 R2
答案 A 模型建构、运动与相互作用观念等要素在本题中均有体现。题目以嫦娥四号
探测器的发射与运行为背景,厚植着深深的爱国情怀。
Mm v2
探测器围绕月球做匀速圆周运动,月球对探测器的引力充当向心力,则G =m
r2 r
4π2 M √ r3 √GM 1 GMm
=mω2r=m r=ma ,解得a =G ,T=2π ,ω= ,E = mv2= ,故A项正确。
T2 向 向 r2 GM r3 k 2 2r
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解题关键 准确掌握卫星做匀速圆周运动时万有引力提供向心力的规律,是解决这类问
题的关键。
33.(2018课标Ⅲ,15,6分)为了探测引力波,“天琴计划”预计发射地球卫星P,其轨道半径
约为地球半径的16倍;另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍。P与Q的周期
之比约为( )
A.2∶1 B.4∶1 C.8∶1 D.16∶1
答案 C 本题考查万有引力定律、向心力公式、周期公式。卫星P、Q围绕地球做匀
速圆周运动,万有引力提供向心力,即G
Mm
=m
4π2
R,则T=
√4π2R3
,
T
P =
√R3
P=
8
,选项
R2 T2 GM T R3 1
Q
Q
C正确。
34.(2018天津理综,6,6分)(多选)2018年2月2日,我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一
号”发射升空,标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国
家之一。通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期,并已知地球的半径和地球表面处的
重力加速度。若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动,且不考虑地球自转的影响,根
据以上数据可以计算出卫星的( )
A.密度 B.向心力的大小
C.离地高度 D.线速度的大小
Mm
答案 CD 本题考查万有引力定律的应用。设卫星离地面的高度为h,则有G
(R+h)2
=m
(2π) 2
(R+h),结合m g=
GMm
0 ,得h=
√
3
GMT2
-R=
√
3
gR2T2
-R,又v=
2π
(R+h),可见
T 0 R2 4π2 4π2 T
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C、D项均正确。因为卫星的质量未知,故无法算出卫星向心力的大小和卫星的密度,故
A、B错误。
M
Mm
易错警示 对地面上的物体有m g=G 0 ,结合ρ=4 可求出地球的密度,但题目要
0 R2 πR3
3
求算出卫星的密度,故不细心审题,可能会被已知地球的半径和地球表面处的重力加速度
误导而错选A。
35.(2018江苏单科,1,3分)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。今年5月
9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km,之前已运行的“高分四号”轨道高度约
为36 000 km,它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比,下列物理量中“高分五
号”较小的是( )
A.周期 B.角速度
C.线速度 D.向心加速度
答案 A 本题考查万有引力定律及其应用、宇宙航行。设地球质量为M,卫星质量为
Mm mv2
m,轨道半径为R,卫星绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,即G = ,结合
R2 R
2π v2 √GM √GM √4π2R3 GM 1 1
v=ωR,ω= ,a= ,解得v= ,ω= ,T= ,a= ,可知v∝ ,ω∝ ,T∝
T R R R3 GM R2 √R √R3
1
√R3,a∝ ,由题知R >R ,结合上面式子得v >v ,ω >ω ,a >a ,T <T ,故B、C、
R2 四 五 五 四 五 四 五 四 五 四
D三项均错,A项正确。
36.(2017江苏单科,6,4分)(多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发
射中心成功发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前,“天舟一号”在距地面约380
km的圆轨道上飞行,则其( )
A.角速度小于地球自转角速度
B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期小于地球自转周期
D.向心加速度小于地面的重力加速度
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答案 BCD 本题考查万有引力定律、人造卫星的运行规律。由于地球自转的角速度、
周期等物理量与地球同步卫星一致,故“天舟一号”可与地球同步卫星比较。由于“天
舟一号”的轨道半径小于同步卫星的轨道半径,所以,角速度是“天舟一号”大,周期是同
步卫星大,选项A错,C对;第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度,故“天舟一号”的线速
M m M
地 地
度小于第一宇宙速度,B对;对“天舟一号”有G =ma ,所以a =G ,
(R +h)2 向 向 (R +h)2
地 地
M
地
而地面重力加速度g=G ,故a <g,D选项正确。
R2 向
地
37.(2016江苏单科,7,4分)(多选)如图所示,两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运
动,用R、T、E 、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内
k
扫过的面积。下列关系式正确的有( )
R3 R3
A B
A.T >T B.E >E C.S =S D. =
A B kA kB A B T2 T2
A B
GMm v2 4π2 √ R3
答案 AD 卫星做匀速圆周运动时有 =m =mRω2=mR ,则T=2π ∝√R3,
R2 R T2 GM
T2 R3
1 GMm 1 1
A A
故T >T , = ,A、D皆正确;E = mv2= ∝ ,故E <E ,B错误;S= ωR2=
A B T2 R3 k 2 2R R kA kB 2
B B
1
√GMR∝√R,故C错误。
2
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38.(2015福建理综,14,6分)如图,若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动,a、b到
地心O的距离分别为r 、r ,线速度大小分别为v 、v ,则( )
1 2 1 2
v √r v √r
A. 1 = 2 B. 1 = 1
v r v r
2 1 2 2
v r v r
C. 1 =( 2 )2 D. 1 =( 1 )2
v r v r
2 1 2 2
Mm v2
答案 A 万有引力提供卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力,有G =m ,所以v=
r2 r
√GM
,
v
1 =
√r
2,A项正确。
r v r
2 1
39.(2013广东理综,14,4分)如图,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和
2M的行星做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
A.甲的向心加速度比乙的小
B.甲的运行周期比乙的小
C.甲的角速度比乙的大
D.甲的线速度比乙的大
GMm GM
答案 A 由 =ma知a= ,因甲的中心天体质量M =M,乙的中心天体质量M
r2 r2 甲 乙
GMm 4π2 4π2r3
=2M,r =r ,故a <a ,A项正确。由 =m· ·r知T2= ,据已知条件得T >T
甲 乙 甲 乙 r2 T2 GM 甲
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GMm GM GMm
,B项错误。由 =mω2r知ω2= ,据已知条件得ω <ω ,C项错误。由 =
乙 r2 r3 甲 乙 r2
mv2 GM
知v2= ,据已知条件得v <v ,D项错误。
r r 甲 乙
40.(2015课标Ⅰ,21,6分,0.439)(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后,先
在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行;然后经过一系列过程,在离月面4 m高处做一
次悬停(可认为是相对于月球静止);最后关闭发动机,探测器自由下落。已知探测器的质
量约为1.3×103 kg,地球质量约为月球的81倍,地球半径约为月球的3.7倍,地球表面的重
力加速度大小约为9.8 m/s2。则此探测器( )
A.在着陆前的瞬间,速度大小约为8.9 m/s
B.悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N
C.从离开近月圆轨道到着陆这段时间内,机械能守恒
D.在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度
M 3.72 M 3.72
月 地
答案 BD 月球表面重力加速度大小g =G = ·G = g =1.66 m/s2,则
月 R2 81 R2 81 地
月 地
探测器在月球表面着陆前的速度大小v=√2g h=3.6 m/s,A项错;悬停时受到的反冲作用
t 月
力F=mg =2×103 N,B项正确;从离开近月圆轨道到着陆过程中,有发动机工作阶段,故机
月
械能不守恒,C项错;在近月圆轨道上运行的线速度v =√g R <√g R ,故D项正确。
月 月 月 地 地
解题关键 ①求解探测器着陆前的瞬时速度和悬停时受到的反冲作用力,都需要先求出
月球表面的重力加速度g ;②从离开近月圆轨道到着陆的过程中,有一部分时间发动机
月
mv2
处于工作状态,机械能不守恒;③由mg= 得v=√gR是一个重要的关系式。
R
41.(2014山东理综,20,6分)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携
“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想:如图,将携带“玉
兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上,与在该轨道绕月球做圆周运动的飞
船对接,然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m,月球半径为R,月面的重
力加速度为g 。以月面为零势能面,“玉兔”在h高度的引力势能可表示为E =
月 p
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GMmh
,其中G为引力常量,M为月球质量。若忽略月球的自转,从开始发射到对接完
R(R+h)
成需要对“玉兔”做的功为( )
mg R mg R
A. 月 (h+2R) B. 月 (h+√2R)
R+h R+h
C. mg 月 R( h+ √2 R ) D. mg 月 R ( h+ 1 R )
R+h 2 R+h 2
Mm v2 √ GM 1
答案 D 对“玉兔”,由G =m 得v= ,动能E = mv2,势能E =
(R+h)2 R+h R+h k 2 p
GMmh 且GM=R2g ,由功能关系知对“玉兔”做的功W=E +E = mg 月 R ( h+ R) ,故
R(R+h) 月 k p R+h 2
D项正确。
42.(2016四川理综,3,6分)国务院批复,自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。
1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,
其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km;1984年4月8日成功发射的东
方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的
加速度为a ,东方红二号的加速度为a ,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为
1 2
a ,则a 、a 、a 的大小关系为( )
3 1 2 3
A.a >a >a B.a >a >a C.a >a >a D.a >a >a
2 1 3 3 2 1 3 1 2 1 2 3
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Mm GM
答案 D 对于东方红一号与东方红二号,由G =ma得:a= ,由此式可知a >a 。对
r2 r2 1 2
(2π) 2
于地球同步卫星东方红二号和地球赤道上的物体,由a=ω2r= r可知,a >a 。综上可
T 2 3
见,a >a >a ,故D正确。
1 2 3
GM
易错点拨 由a= 比较加速度的大小,只适用于正常运行的卫星,对赤道上的物体是不
r2
成立的。
43.(2016天津理综,3,6分)我国即将发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一
号”飞船与“天宫二号”对接。假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀
速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是( )
A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速
度接近时实现对接
D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速
度接近时实现对接
GMm v2 √GM 1
答案 C 对于绕地球做圆周运动的人造天体,由 =m ,有v= ∝ ,可见v与
r2 r r √r
r是一一对应的。在同一轨道上运行速度相同,不能对接;而从同一轨道上加速或减速时
由于发生变轨,二者不能处于同一轨道上,亦不能对接,A、B皆错误。飞船处于半径较小
的轨道上,要实现对接,需增大飞船的轨道半径,飞船加速,则轨道半径变大;飞船减速,则轨
道半径变小,C正确,D错误。
44.(2016北京理综,18,6分)如图所示,一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行,在P
点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是( )
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A.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的速度都相同
B.不论在轨道1还是轨道2运行,卫星在P点的加速度都相同
C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
答案 B 卫星在轨道1上运行到P点,经加速后才能在轨道2上运行,故A错误。由G
Mm GM
=ma得:a= ,由此式可知B正确、C错。卫星在轨道2上的任何位置具有的动量
r2 r2
大小相等,但方向不同,故D错。
v2 GM
易错点拨 卫星做圆周运动的加速度要根据实际运动情况分析。 与 相等时,卫星
r r2
v2 GM
才可以做稳定的匀速圆周运动; > 时,卫星将做离心运动。
r r2
45.(2013课标Ⅱ,20,6分,0.515)(多选)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,
其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变小。若卫星在轨道半径逐渐变小的
过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是( )
A.卫星的动能逐渐减小
B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小
C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变
D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小
√GM
答案 BD 卫星轨道半径逐渐减小,线速度可认为依然满足v= ,则卫星的动能E =
k
R
1 1 GMm
mv2= × 逐渐增大,A错误。由于W >0,则引力势能减小,B正确。由于W≠0,有
2 2 R 引 f
非重力做功,则机械能不守恒,C错误。由W -W=ΔE >0,所以W<W =|ΔE |,可知D正确。
引 f k f 引 p
考查点 功、人造卫星
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审题技巧 审题的关键词:“轨道可近似为圆”、“轨道半径逐渐变小”、“稀薄气体阻
力的作用”。
易错警示 气体阻力做负功,机械能减少,动能不一定减小。
46.(2013安徽理综,17,6分)质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时,引力势能可表
GMm
示为E =- ,其中G为引力常量,M为地球质量。该卫星原来在半径为R 的轨道上绕
p r 1
地球做匀速圆周运动,由于受到极稀薄空气的摩擦作用,飞行一段时间后其圆周运动的半
径变为R ,此过程中因摩擦而产生的热量为( )
2
1 1 1 1
A.GMm( - ) B.GMm( - )
R R R R
2 1 1 2
GMm 1 1 GMm 1 1
C. ( - ) D. ( - )
2 R R 2 R R
2 1 1 2
Mm v2 1 GMm
答案 C 卫星绕地球做匀速圆周运动满足G =m ,动能E = mv2= ,机械能
r2 r k 2 2r
GMm GMm GMm
E=E +E ,则E= - =- 。卫星由半径为R 的轨道降到半径为R 的轨道过
k p 2r r 2r 1 2
GMm 1 1
程中损失的机械能ΔE=E -E = ( - ),即下降过程中因摩擦而产生的热量,所以C
1 2 2 R R
2 1
项正确。
评析 考查学生综合应用万有引力定律的能力,需明确引力势能和动能的相关表达式及
能量之间的关系。同时要求考生具有一定的数学计算能力。难度稍大,区分度较高。
47.(2013浙江理综,18,6分)(多选)如图所示,三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布
在半径为r的圆轨道上,设地球质量为M,半径为R。下列说法正确的是( )
GMm
A.地球对一颗卫星的引力大小为
(r-R)2
GMm
B.一颗卫星对地球的引力大小为
r2
第26页共38页北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A版
Gm2
C.两颗卫星之间的引力大小为
3r2
3GMm
D.三颗卫星对地球引力的合力大小为
r2
Mm
答案 BC 根据万有引力定律,地球对一颗卫星的引力大小F =G ,A项错误。由牛
万 r2
顿第三定律知B项正确。三颗卫星等间距分布,任意两星间距为√3r,故两星间引力大小
m2
F '=G ,C项正确。任意两星对地球引力的夹角为120°,故任意两星对地球引力的合
万 3r2
力与第三星对地球的引力大小相等,方向相反,三星对地球引力的合力大小为零,D项错误。
48.(2015天津理综,8,6分)(多选)P 、P 为相距遥远的两颗行星,距各自表面相同高度处各
1 2
有一颗卫星s 、s 做匀速圆周运动。图中纵坐标表示行星对周围空间各处物体的引力产
1 2
生的加速度a,横坐标表示物体到行星中心的距离r的平方,两条曲线分别表示P 、P 周
1 2
围的a与r2的反比关系,它们左端点横坐标相同。则( )
A.P 的平均密度比P 的大
1 2
B.P 的“第一宇宙速度”比P 的小
1 2
C.s 的向心加速度比s 的大
1 2
D.s 的公转周期比s 的大
1 2
Mm
答案 AC 设行星的半径为R、质量为M、卫星的质量为m,对于卫星有:G =ma,则
r2
GM
a= 。由a-r2图像中两条曲线左端点横坐标相同可知,r最小值相同,说明两卫星s 、s
r2 1 2
在两行星表面运行,行星P 、P 的半径R是相同的,而两颗卫星到各自行星表面的距离也
1 2
相同,所以卫星s 、s 到各自行星的距离r是相同的,由图像可知,s 的向心加速度比s 的
1 2 1 2
GM
大,即C正确。由a= 可知,r相同时,a大说明对应的M也大,故P 的平均密度比P 的
r2 1 2
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Mm v2
大,即A正确。设在行星表面发射卫星的“第一宇宙速度”为v,则有G =m ,v=
R2 R
√GM
,可见R相同时M大的对应的v也大,即P 的“第一宇宙速度”大,故B错。卫星
1
R
Mm 4π2 √ r3
的公转周期设为T,则有:G =m r,T=2π ,可见s 的公转周期小,故D错。
r2 T2 GM 1
49.(2015四川理综,5,6分)登上火星是人类的梦想,“嫦娥之父”欧阳自远透露:中国计划
于2020年登陆火星。地球和火星公转视为匀速圆周运动,忽略行星自转影响。根据下表,
火星和地球相比( )
行星 半径/m 质量/kg 轨道半径/m
地球 6.4×106 6.0×1024 1.5×1011
火星 3.4×106 6.4×1023 2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B.火星做圆周运动的加速度较小
C.火星表面的重力加速度较大
D.火星的第一宇宙速度较大
答案 B 设太阳质量为M,行星质量为m,太阳对行星的引力提供行星绕太阳做匀速圆
GMm 2π √ r3
周运动的向心力, =m( )2r,解得T=2π ,由于r >r ,所以T >T ,A错误;由
r2 T GM 火 地 火 地
GMm GM
=ma得行星绕太阳做匀速圆周运动的加速度a= ,a <a ,B正确;行星表面重力
r2 r2 火 地
Gm √Gm
加速度g= ,代入表格数据,可知g >g ,第一宇宙速度v= ,代入数据,v >v ,C、
R2 地 火 R 地 火
D错误。
50.(2013四川理综,4,6分)迄今发现的二百余颗太阳系外行星大多不适宜人类居住,绕恒
星“Gliese581”运行的行星“Gl-581c”却很值得我们期待。该行星的温度在0 ℃到40 ℃
之间、质量是地球的6倍、直径是地球的1.5倍、公转周期为13个地球日。
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“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍。设该行星与地球均视为质量分布均匀的球体,
绕其中心天体做匀速圆周运动,则( )
A.在该行星和地球上发射卫星的第一宇宙速度相同
2
B.如果人到了该行星,其体重是地球上的2 倍
3
√ 13
C.该行星与“Gliese581”的距离是日地距离的 倍
365
D.由于该行星公转速率比地球大,地球上的米尺如果被带上该行星,其长度一定会变短
Mm v2 √GM v GMm
G
答案 B 由G =m 得第一宇宙速度v= ,则 =2,A错误;由G = 有
R2 R R v 重 R2
地
G 8 M'M 2π √GM'T2 r √0.31×132
G重 = ,故B正确;由G =Mr( )2有r=3 ,则 G =3 ,故C错
G 3 r2 T 4π2 r 3652
地重 地
误;相对论的“尺缩效应”是指物体在沿与观察者发生相对运动的方向上长度缩短,故D
错误。
51.(2013课标Ⅰ,20,6分,0.496)(多选)2012年6月18日,神舟九号飞船与天宫一号目标飞
行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接。对接轨
道所处的空间存在极其稀薄的大气。下列说法正确的是( )
A.为实现对接,两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B.如不加干预,在运行一段时间后,天宫一号的动能可能会增加
C.如不加干预,天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D.航天员在天宫一号中处于失重状态,说明航天员不受地球引力作用
√GM
答案 BC 可认为目标飞行器是在圆形轨道上做匀速圆周运动,由v= 知轨道半径
r
越大时运行速度越小。第一宇宙速度为当r等于地球半径时的运行速度,即最大的运行
速度,故目标飞行器的运行速度应小于第一宇宙速度,A错误;如不加干预,稀薄大气对天
宫一号的阻力做负功,使其机械能减小,引起高度的下降,从而地球引力又对其做正功,当
地球引力所做正功大于空气阻力所做负功时,天宫一号的动能就会增加,故B、C皆正确;
航天员处于完全失重状态的原因是地球对航天员的万有引力全部用来提供使航天员随
天宫一号绕地球运行的向心力了,而非航天员不受地球引力作用,故D错误。
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解题关键 关键词:近圆形轨道,交会对接,存在极其稀薄的大气。
审题指导 (1)题目中的“近圆形轨道”说明可认为神舟九号飞船和天宫一号目标飞行
器绕地球做匀速圆周运动。
(2)“极其稀薄的大气”说明天宫一号在运动过程中受阻力,要损失能量。
52.[2017天津理综,9(1)]我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后,与已经
在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体。假设组合体在距地面高为h的圆形轨
道上绕地球做匀速圆周运动,已知地球的半径为R,地球表面处重力加速度为g,且不考虑
地球自转的影响。则组合体运动的线速度大小为 ,向心加速度大小为 。
√ g
R2
答案 R g
R+h (R+h)2
解析 本题考查天体运动、万有引力定律的应用。
设组合体的质量为m、运转线速度为v、地球质量为M,则
Mm v2 Mm R2
G =ma =m ①,又有G =mg②,联立上述两式得a = g,v=R
(R+h)2 向 R+h R2 向 (R+h)2
√ g
。
R+h
试题评析 本题为万有引力定律在天体运动中的应用,考生只要应用天体运动中万有引
力充当向心力这一规律,就可顺利作答,本题难度为易。
53.[2013天津理综,9(1)]“嫦娥一号”和“嫦娥二号”卫星相继完成了对月球的环月飞行,
标志着我国探月工程的第一阶段已经完成。设“嫦娥二号”卫星环绕月球的运动为匀
速圆周运动,它距月球表面的高度为h,已知月球的质量为M、半径为R,引力常量为G,则
卫星绕月球运动的向心加速度a= ,线速度 v= 。
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GM √ GM
答案
(R+h)2 R+h
解析 设卫星的质量为m,卫星环绕月球作匀速圆周运动,所以卫星的向心力由万有引力
GM GM v2 GM √ MG
提供,所以有 =ma和 =m ,解得:a= ,v= 。
(R+h)2 (R+h)2 (R+h)2 (R+h)2 R+h
54.(2022北京,19,10分)利用物理模型对问题进行分析,是重要的科学思维方法。
(1)某质量为m的行星绕太阳运动的轨迹为椭圆,在近日点速度为v ,在远日点速度为v 。
1 2
求从近日点到远日点过程中太阳对行星所做的功W。
r3
(2)设行星与恒星的距离为r,请根据开普勒第三定律( =k)及向心力相关知识,证明恒星
T2
对行星的作用力F与r的平方成反比。
(3)宇宙中某恒星质量是太阳质量的2倍,单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍。设
想地球“流浪”后绕此恒星公转,且在新公转轨道上的温度与“流浪”前一样。地球绕
T
2
太阳公转的周期为T ,绕此恒星公转的周期为T ,求 。
1 2 T
1
1 1
答案 (1) mv2 - mv2 (2)见解析 (3)4√2
2 2 2 1
1 1
解析 (1)根据动能定理有W=
mv2
-
mv2
2 2 2 1
(2)设行星绕恒星做匀速圆周运动,行星的质量为m,运动半径为r,运动速度大小为v。恒
星对行星的作用力F提供向心力,
v2
则F=m
r
2πr
运动周期T=
v
r3
根据开普勒第三定律 =k,k为常量,
T2
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4π2km
得F=
r2
即恒星对行星的作用力F与r的平方成反比。
(3)假定恒星的能量辐射各向均匀,地球绕恒星做半径为r的圆周运动,恒星单位时间内向
外辐射的能量为P 。以恒星为球心,以r为半径的球面上,单位面积单位时间接收到的辐
0
P
0
射能量P= 。
4πr2
设地球绕太阳公转半径为r ,在新轨道上公转半径为r 。地球在新公转轨道上的温度与
1 2
“流浪”前一样,必须满足P不变,由于恒星单位时间内向外辐射的能量是太阳的16倍,
得r =4r
2 1
设恒星质量为M,地球在轨道上运行周期为T,地球的质量为m 。
地
GMm 4π2r
地
万有引力提供向心力 =m
r2 地 T2
√4π2r3
得T=
GM
由于恒星质量是太阳质量的2倍,
T
2
得 =4√2
T
1
55.(2022江苏,14,13分)在轨空间站中物体处于完全失重状态,对空间站的影响可忽略。
空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆,每根臂杆长为L。如题
图1所示,机械壁一端固定在空间站上的O点,另一端抓住质量为m的货物。在机械臂的
操控下,货物先绕O点做半径为2L、角速度为ω的匀速圆周运动,运动到A点停下。然
后在机械臂操控下,货物从A点由静止开始做匀加速直线运动,经时间t到达B点,A、B
间的距离为L。
(1)求货物做匀速圆周运动时受到的向心力大小F ;
n
(2)求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P;
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(3)在机械臂作用下,货物、空间站和地球的位置如题图2所示,它们在同一直线上。货物
与空间站同步做匀速圆周运动。已知空间站轨道半径为r,货物与空间站中心的距离为
d,忽略空间站对货物的引力,求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比F ∶F 。
1 2
4mL2 3d
答案 (1)2mLω2 (2) (3)
t3 r
解析 (1)由向心力公式可得F =mrω2=2mLω2。
n
1
(2)由匀变速直线运动公式L= at2,v=at,再由牛顿第二定律F=ma,瞬时功率公式P=Fv,联
2
4mL2
立可解得P= 。
t3
(3)设地球质量为M、空间站质量为m',货物与空间站一起绕地球转动的角速度为ω',则
由牛顿第二定律,
GMm'
对空间站有 +F =m'rω'2
r2 1
GMm
对货物有 -F =m(r-d)ω'2
(r-d) 2 1
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r3-(r-d) 3
GMm F
1
联立F = ,解得 = m 。考虑到货物的质量m远小于空间站质量
2 (r-d) 2 F r3+ r2 (r-d)
2 m'
F r3-(r-d) 3
1
m',可得 ≈ 。
F r3
2
56.(2014重庆理综,7,15分)如图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图。
首先在发动机作用下,探测器受到推力在距月面高度为h 处悬停(速度为0,h 远小于月球
1 1
半径);接着推力改变,探测器开始竖直下降,到达距月面高度为h 处的速度为v;此后发动
2
机关闭,探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为m(不包括燃料),地球和月球
的半径比为k ,质量比为k ,地球表面附近的重力加速度为g,求:
1 2
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小;
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时,探测器机械能的变化。
k2 √ 2k2gh 1 k2
答案 (1) 1g v2+ 1 2 (2) mv2- 1mg(h -h )
k k 2 k 1 2
2 2 2
解析 (1)设地球质量和半径分别为M和R,月球的质量、半径和表面附近的重力加速度
M R
分别为M'、R'和g',探测器刚接触月面时的速度大小为v。则 =k , =k
t M' 2 R' 1
M'm Mm k2
由mg'=G 和mg=G 得g'= 1g
R'2 R2 k
2
√ 2k2gh
由v2 -v2=2g'h 得v= v2+ 1 2
t 2 t
k
2
(2)设机械能变化量为ΔE,动能变化量为ΔE ,重力势能变化量为ΔE 。
k p
由ΔE=ΔE +ΔE
k p
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1 1
2k2gh k2
有ΔE= mv2 -mg'h = m(v2+ 1 2)-m 1gh
2 t 1 2 k k 1
2 2
1
k2
得ΔE= mv2- 1mg(h -h )
2 k 1 2
2
57.(2014四川理综,9,15分)石墨烯是近些年发现的一种新材料,其超高强度及超强导电、
导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化,其发现者由此获得
2010年诺贝尔物理学奖。用石墨烯制作超级缆绳,人类搭建“太空电梯”的梦想有望在
本世纪实现。科学家们设想,通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站,电梯
仓沿着这条缆绳运行,实现外太空和地球之间便捷的物资交换。
(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h 的同步轨道站,求轨道站内质
1
量为m 的货物相对地心运动的动能。设地球自转角速度为ω,地球半径为R。
1
(2)当电梯仓停在距地面高度h =4R的站点时,求仓内质量m =50 kg的人对水平地板的压
2 2
力大小。取地面附近重力加速度g=10 m/s2,地球自转角速度ω=7.3×10-5 rad/s,地球半径
R=6.4×103 km。
1
答案 (1) m ω2(R+h )2 (2)11.5 N
2 1 1
解析 (1)设货物相对地心的距离为r ,线速度为v ,则
1 1
r =R+h ①
1 1
v =r ω②
1 1
1
货物相对地心运动的动能为E = m
v2
③
k 2 1 1
1
联立①②③得E = m ω2(R+h )2④
k 2 1 1
说明:①②③④式各1分
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(2)设地球质量为M,人相对地心的距离为r ,向心加速度为a,受地球的万有引力为F,则
2
r =R+h ⑤
2 2
a=ω2r ⑥
2
m M
2
F=G ⑦
r2
2
GM
g= ⑧
R2
设水平地板对人的支持力大小为N,人对水平地板的压力大小为N',则
F-N=m a⑨
2
N'=N⑩
联立⑤~⑩式并代入数据得N'=11.5 N
说明:⑥⑦⑧⑨式各2分,⑤⑩ 式各1分
58.(2015安徽理综,24,20分)由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着
一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点
上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、
B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m,B、C两星体的质量均
为m,三角形的边长为a,求:
(1)A星体所受合力大小F ;
A
(2)B星体所受合力大小F ;
B
(3)C星体的轨道半径R ;
C
(4)三星体做圆周运动的周期T。
m2 m2 √7 √ a3
答案 (1)2√3G (2)√7G (3) a (4)π
a2 a2 4 Gm
解析 (1)由万有引力定律,A星体所受B、C星体引力大小为
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m m 2m2
A B
F =G =G =F ,方向如图
BA r2 a2 CA
m2
则合力大小为F =2√3G
A a2
(2)同上,B星体所受A、C星体引力大小分别为
m m 2m2 m m m2
A B C B
F =G =G ,F =G =G ,方向如图
AB r2 a2 CB r2 a2
m2 m2
由F =F cos 60°+F =2G ,F =F sin 60°=√3G
Bx AB CB a2 By AB a2
m2
可得F =√F2 +F2 =√7G
B Bx By a2
√ (√3 ) 2 (1 ) 2
(3)通过分析可知,圆心O在中垂线AD的中点,R = a + a
C
4 2
1
F DB a
(或:由对称性可知OB=OC=R cos∠OBD= Bx = =2 )
C F OB
B R
C
√7
可得R = a
C 4
m2 2π
(4)三星体运动周期相同,对C星体,由F =F =√7G =m( )2R
C B a2 T C
√ a3
可得T=π
Gm
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