北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8.2 空间点、线、面的位置关系
一、选择题
1.(2022届湘豫名校联盟11月联考,7)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,给出下列命题:
①若α∥β,m⊥α,则m⊥β;
②若m∥n,m⊥α,则n⊥α;
③若α⊥β,m⊥α,则m∥β;
④若m⊥n,m⊥α,则n∥α.
其中真命题有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 B 易知①②正确;若α⊥β,m⊥α,则m∥β或m⊂β,故③错误;若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,故④错误.故选
B.
2.(2022届山东青岛期中,7)已知a,b,c,d是四条直线,如果a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d.则结论“a∥b”与“c∥d”中成立的
情况是( )
A.一定同时成立 B.至多一个成立
C.至少一个成立 D.可能同时不成立
答案 C 假设c∥d,则空间中a与b的位置可任意,所以选项A错误;当a,b,c,d四条直线共面时,可以同时成
立,故选项B错误;假设c与d相交,则c与d确定一个平面α,因为a⊥c,a⊥d,b⊥c,b⊥d,所以a⊥α,b⊥α,所以a∥b,假
设c与d异面,可作直线e∥d且与c相交,则c与e确定一个平面β,同理有a⊥β,b⊥β,所以a∥b,即结论“a∥b”与
“c∥d”中至少一个成立,选项C正确,选项D错误.故选C.
3.(2022届南宁摸底,8)如图是长方体的展开图,AD=2AB,四边形ABFE为正方形,P、Q分别为AD、HI的中
点,给出下列判断:①AM∥CG,②AF∥DK,③BP∥JQ,④BP⊥QJ.其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C 将展开图还原成长方体,如图,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
由长方体的结构特征可知AM与CG是异面直线,故①不正确;AF∥DK,故②正确;BP与JQ是异面直线,故③
不正确;连接GQ,易证GQ∥BP,设AB=1,则AD=2,∴GQ=JQ=√2,又JG=2,∴GQ2+JQ2=JG2,∴GQ⊥JQ,则BP⊥JQ,
故④正确.综上②④正确.故选C.
4.(2021安徽江南十校一模,7)设a、b为两条直线,则a∥b的充要条件是( )
A.a、b与同一个平面所成角相等
B.a、b垂直于同一条直线
C.a、b平行于同一个平面
D.a、b垂直于同一个平面
答案 D 如图所示,在正方体ABCD-ABCD 中,
1 1 1 1
对于A选项,取直线a、b分别为直线AB、AB,则直线a、b与底面ABCD所成的角相等,但a、b相交,A选
1 1
项不满足条件.
对于B选项,取直线a、b分别为直线AB
1
、A
1
B,则a⊥AD,b⊥AD,但a、b相交,B选项不满足条件.
对于C选项,取直线a、b分别为直线AB、AB,则a、b都与平面CCDD平行,但a、b相交,C选项不满足
1 1 1 1
条件.
对于D选项,充分性:若a、b垂直于同一个平面,由线面垂直的性质可得a∥b,充分性成立.
必要性:若a∥b,且a⊥平面α,在平面α内取两条相交直线m、n,则a⊥m且a⊥n,所以b⊥m,b⊥n,因为m、n相交
且m⊂α,n⊂α,所以b⊥α,必要性成立.D选项满足条件.故选D.
方法点拨 对于空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需
要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以
常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.(2020四川九市二诊,5)已知m,n是两条不重合的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,n⊂α,则m∥n
C.若m⊥n,m⊥α,则n∥α
D.若m⊥α,n∥α,则m⊥n
答案 D 对于选项A:若m∥α,n∥α,则m和n平行或相交或异面,故A错误.对于选项B:若m∥α,n⊂α,则m和
n平行或异面,故B错误.对于选项C:若m⊥n,m⊥α,则n⊂α或n∥α,故C错误.对于选项D:若m⊥α,n∥α,则
m⊥n,D正确.故选D.
6.(2022届河南洛阳期中,9)在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,∠ACB=90°,D
1
、E
1
分别是A
1
B
1
、A
1
C
1
的中
点,CA=CB=CC,则AE 与BD 所成角的余弦值为( )
1 1 1
√15 √30 √15 √30
A. B. C. D.
15 15 10 10
答案 D 以C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图,设BC=AC=CC=1,则B(1,0,0),A(0,1,0),D
1 1
(1 , 1 ,1 ),E 1 ( 0, 1 ,1 ),则⃗BD =( - 1 , 1 ,1 ),⃗AE =( 0,- 1 ,1 ),所以|cos<⃗BD ,⃗AE >|=
2 2 2 1 2 2 1 2 1 1
⃗BD
1
·⃗AE
1 =
√30,故选D.
|⃗BD ||⃗AE | 10
1 1
7.(2022届昆明摸底,5)设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若a∥α,b∥α,则a∥b
B.若a∥α,b⊥α,则a⊥b
C.若a∥α,a∥β,则α∥β
D.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α∥β北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 B 在A中,若a∥α,b∥α,则a与b相交、平行或异面,故A错误;在B中,若a∥α,b⊥α,则a⊥b,故B正确;在
C中,若a∥α,a∥β,则α与β相交或平行,故C错误;在D中,若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则由面面垂直的判定定理得α⊥β,故
D错误.故选B.
8.(2022届河南中原名校联盟11月联考,7)已知平面α,β,γ两两垂直,直线a,b,c满足a⊂α,b⊂β,c⊂γ,则直线a,b,c
不可能满足的关系是( )
A.两两垂直 B.两两平行
C.两两相交 D.两两异面
答案 B 设α∩β=l,且l与a,b均不重合,假设a∥b∥c,由a∥b可得a∥β,b∥α,又α∩β=l,可知a∥l,b∥l,又a∥b∥c,可
得c∥l,因为α,β,γ两两垂直,所以l与γ相交,故l与c相交或异面;若l与a或b重合,同理可得l与c相交或异面,
可知假设不成立,故三条直线不可能两两平行,故选B.
9.(2022届西安三校9月联考,7)已知直线l⊄平面α,直线m⊂平面α,给出下面四个结论:①若l与m不垂直,则
l与α一定不垂直;②若l与m所成的角为30°,则l与α所成的角也为30°;③l∥m是l∥α的必要不充分条件;④
若l与α相交,则l与m一定是异面直线.其中正确的结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 A 对于①,当l与m不垂直时,假设l⊥α,则一定能得到l⊥m,这与已知条件矛盾,因此l与α一定不垂直,
故①正确;对于②,易知l与m所成的角为30°时,l与α所成的角不一定为30°,故②不正确;对于③,l∥m可以推
出l∥α,但l∥α不能推出l∥m,因此l∥m是l∥α的充分不必要条件,故③不正确;对于④,若l与α相交,则l与m相
交或异面,故④不正确.故选A.
10.(2022届合肥8月联考,9)已知直三棱柱ABC-ABC 中,点M,N分别是线段BB,AC 的中点,若直线BC∩
1 1 1 1 1 1 1 1
B Q
平面AMN=Q,则 1 =( )
C Q
1
1 1
A. B.2 C. D.3
2 3
答案 A 延长AN,CC 1 交于点P,连接PM交B 1 C 1 于点Q,则 B 1 Q = B 1 M = B 1 M =1,故选A.
C Q C P A A 2
1 1 1
11. (2022届晋南高中联合体阶段测试,7)如图,在正方体ABCD-ABCD 中,下列直线与AC所成的角为60°
1 1 1 1
的是( )北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.BC B.BC C.DD D.BD
1 1 1 1 1
答案 B 对于A,由正方体的性质知,B
1
C 1∥BC,所以B
1
C
1
与AC所成的角即BC与AC所成的角,为45°;对于
B,连接A
1
C
1
,A
1
B,则A
1
C 1∥AC,所以BC
1
与AC所成的角即BC
1
与A
1
C
1
所成的角,易知△A
1
BC
1
为等边三角形,
所以∠A
1
C
1
B=60°,即BC
1
与AC所成的角为60°;对于C,因为DD 1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以
DD 1⊥AC,所以DD
1
与AC所成的角为90°;对于D,连接BD,易知AC⊥平面BB
1
D,所以B
1
D⊥AC,所以B
1
D与
AC所成的角为90°,故选B.
12.(2022届长春调研,7)在长方体ABCD-ABCD 中,AB=√5,AD=1,AA=√2,则异面直线AD 与AC 所成
1 1 1 1 1 1 1 1
角的余弦值为( )
√2 √2 √3 √2
A. B. C. D.
2 3 4 6
答案 D 如图,在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,连接AC,CD
1
,因为A
1
C 1∥AC,所以∠D
1
AC为异面直线AD
1
与
AC 所成的角(或其补角),由长方体的性质及已知可得,AD=√3,AC=√6,DC=√7,所以在△ACD 中,由余弦
1 1 1 1 1
定理的推论可得,cos∠D 1 AC= AC2+AD 1 2-D 1 C2 = (√6)2+(√3)2-(√7)2 =√2,即异面直线AD 1
2AC·AD 2×√6×√3 6
1
√2
与AC 所成角的余弦值为 .故选D.
1 1
6
13.(2020四川雅安中学月考(一),7)如图,E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点,PC=10,AB=6,EF=7,
则异面直线AB与PC所成角的大小为( )北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.30° B.120° C.60° D.45°
答案 C 如图,过E作EG∥PC交AC于G,连接FG,
∵E为PA的中点,EG∥PC,
∴G为AC的中点,
又F为BC的中点,∴FG∥AB,
∴∠EGF或其补角是异面直线AB与PC所成的角.
1 1 EG2+GF2-EF2 25+9-49 1
在△EFG中,EG= PC=5,GF= AB=3,EF=7,∴cos∠EGF= = =-
2 2 2EG·GF 2×5×3 2
,∴∠EGF=120°,∴异面直线AB与PC所成的角的大小为60°,故选C.
14.(2022届安徽安庆月考,5)在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,若直线EF,GH相
交于点P,则( )
A.点P必在直线AC上
B.点P必在直线BD上
C.点P必在平面ABD上
D.点P必在平面BCD上北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 A 如图,∵EF⊂平面ABC,GH⊂平面ADC,且EF∩GH=P,∴P∈平面ABC且P∈平面ADC,又平面
ABC∩平面ADC=AC,∴点P必在直线AC上,故选A.
15. (2022届成都名校联盟联考(一),6)如图,在正方体ABCD-ABCD 中,E是棱CC 的中点,则过三点A,D,E
1 1 1 1 1 1
的截面过( )
A.AB的中点 B.BC的中点
C.CD的中点 D.BB 的中点
1
答案 B 如图,取BC的中点F,连接AF,EF,BC
1
,则EF∥BC
1
,由正方体的性质可知AB∥
D
1
C
1
,AB=D
1
C
1
,所以四边形ABC
1
D
1
为平行四边形,则BC 1∥AD
1
,所以EF∥D
1
A,所以D
1
,A,F,E四点共面,所以截
面过BC的中点,故选B.
16.(2022届甘肃九校联考(一),10)在刘徽对《九章算术》所作注解中有“斜解立方,得两堑堵”的说法.
