北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.2 二次函数与幂函数
应用创新题组
1.(2022届北师大实验中学10月月考,10)已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)=0},若存在α∈M,β∈N,使|α-β|<n,则称
函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)=32-x-1与g(x)=x2-aex互为“1度零点函数”,则实数a的取值范
围为( )
A.( 1
,
4] B.(1
,
4 ]
e2 e e e2
C.[ 4
,
2) D.[ 1
,
2 )
e2 e e3 e2
答案 B 由题意可知f(2)=0,且f(x)在R上单调递减,
所以函数f(x)只有一个零点x=2.
设函数g(x)的零点为x=x,则|2-x|<1,得1<x<3.
0 0 0
即函数g(x)=x2-aex在区间(1,3)上存在零点,
由x2-aex=0,得a=x2
.
ex
令h(x)=x2 ,x∈(1,3),h'(x)=2x-x2 =x(2-x)
,
ex ex ex
1 4 9 1
所以h(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,3)上单调递减,h(1)= ,h(2)= ,h(3)= > ,
e e2 e3 e
所以a的取值范围为(1
,
4 ],故选B.
e e2
疑难突破 首先根据题意,求得函数f(x)的零点,利用条件得到函数g(x)=x2-aex在区间(1,3)上存在零点,进一步
得a=x2 ,令h(x)=x2
,x∈(1,3),利用导数研究函数h(x)的值域,从而求得结果.
ex ex
2.(2022届北京十一学校10月月考,9)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意x 1∈D,都存在唯一的x 2∈D,使得
f(x)+f(x)=m(m为常数)成立,那么称函数f(x)在D上具有性质ψ .现有函数:
1 2 m
①f(x)=3x;
第 1 页 共 4 页第 1 页 共 4 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
②f(x)=3x;
③f(x)=log
3
x;
④f(x)=tan x.
其中,在定义域上具有性质ψ 的函数的个数是 ( )
m
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B 函数f(x)=3x在R上单调递增,值域为R,故对任意的x 1∈R,存在x 2∈R,使得3x
1
+3x
2
=m,此时x
2
=
m-3x
1,x 唯一存在;
2
3
函数f(x)=3x在R上单调递增,值域为(0,+∞),当m=1,x
1
=1时,不存在x 2∈R,使得3x 1+3x 2=m;
函数f(x)=log
3
x在(0,+∞)上单调递增,值域为R,故对任意的x 1∈(0,+∞),存在x 2∈(0,+∞),使得log
3
x
1
+log
3
x
2
=m,此
时x=3m
,x 唯一存在;
2 2
x
1
函数f(x)=tan x的定义域为{
x|x≠
π
+kπ,k∈Z
},值域为R,因为f(x)是周期函数,所以对任意的x 1∈
2
{
x|x≠
π
+kπ,k∈Z
},都有无数个x 2∈{
x|x≠
π
+kπ,k∈Z
},使得f(x
1
)+f(x
2
)=m(m为常数)成
2 2
立.
故①③是具有性质ψ 的函数.故选B.
m
3.(2022届北京四中10月月考,10)对于函数y=f(x),若存在x,使得f(x)=-f(-x),则称点(x, f(x))与点(-x, f(-
0 0 0 0 0 0
x))是函数f(x)的一对“隐对称点”.若函数f(x)={x2+2x,x<0,的图象存在“隐对称点”,则实数m的
0
mx+2,x≥0
取值范围是( )
A.[2-2√2,0) B.(-∞,2-2√2]
C.(-∞,2+2√2] D.(0,2+2√2]
第 2 页 共 4 页第 2 页 共 4 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 B 由“隐对称点”的定义可知,
f(x)={x2+2x,x<0,的图象上存在关于原点对称的点,设函数
mx+2,x≥0
g(x)的图象与函数y=x2+2x,x<0的图象关于原点对称.
令x>0,则-x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,
所以g(x)=-x2+2x(x>0),
故原问题等价于关于x的方程mx+2=-x2+2x有正根,
2
故m=-x- +2,
x
而-x-2+2=-( 2)+2≤-2√ 2+2=2-2 ,
x+ x· √2
x x x
当且仅当x=√2时,取得等号,所以m≤2-2√2,
故实数m的取值范围是(-∞,2-2√2],故选B.
4.(2022届北京景山学校远洋分校10月月考,15)对于函数y=f(x),若在其定义域内存在x,使得xf(x)=1成立,
0 0 0
则称函数f(x)具有性质P.
(1)下列函数中具有性质P的有 .
①f(x)=-2x+2√2;
②f(x)=sin x(x∈[0,2π]);
1
③f(x)=x+ (x∈(0,+∞));
x
④f(x)=ln(x+1).
(2)若函数f(x)=aln x具有性质P,则实数a的取值范围是 .
答案 (1)①②④ (2)a>0或a≤-e
1
解析 (1)由题意得,当x≠0时, f(x)= 有解,则函数f(x)具有性质P.
x
1
①令-2x+2√2= ,即-2x2+2√2x-1=0,∵Δ=8-8=0,∴方程有两个相等的非零实根,故f(x)=-2x+2√2具有性质P;
x
1 1
②函数f(x)=sin x(x∈[0,2π])与y= 的图象有交点,故sin x= 有解,故f(x)=sin x(x∈[0,2π])具有性质P;
x x
1 1 1
③令x+ = ,此方程无解,故f(x)=x+ (x∈(0,+∞))不具有性质P;
x x x
1 1
④函数f(x)=ln(x+1)与y= 的图象在(-1,+∞)上有交点,所以ln(x+1)= 有解,所以f(x)=ln(x+1)具有性质P.
x x
综上所述,具有性质P的函数有①②④.
第 3 页 共 4 页第 3 页 共 4 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 1
(2)若函数f(x)=aln x(x>0)具有性质P,则显然a≠0,令aln x= ,则方程xln x= 有解,
x a
令g(x)=xln x,则g'(x)=ln x+1,
1
令g'(x)=0,解得x= ,
e
当0<x<1时,g'(x)<0,所以g(x)在( 1)上单调递减;当x>1时,g'(x)>0,所以g(x)在(1 )上单调递增,
0, ,+∞
e e e e
所以g(x)≥g(1)=1ln1=-1,
e e e e
所以g(x)=xln x的值域为[ 1 ),∴1≥-1,
- ,+∞
e a e
解得a>0或a≤-e.
第 4 页 共 4 页
