北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
2.2 基本不等式及不等式的应用
应用创新题组
1.(2022届朝阳期中,14 优化设计)北京冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会,决定在办
公楼外墙建一个面积为8 m2的矩形展示区,并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏(如图所示),要
求上下各空0.25 m,左右各空0.25 m,相邻宣传栏之间也空0.25 m.设三个宣传栏的面积之和为S(单位:m2),
则S的最大值为 .
答案 4.5
解析 设矩形宣传栏的长、宽分别为a m、b m,则(3b+4×0.25)·(a+2×0.25)=8,即(3b+1)·(a+0.5)=8,从而
S=3ab=a( 8 )=8.5- 4 -(a+0.5)≤8.5-2√ 4 =4.5(当且仅当a=1.5,b=1
-1 ·(a+0.5)
a+0.5 a+0.5 a+0.5
时取等号).所以S的最大值为4.5.
2.(2022届郑州外国语中学调研二,20 生活实践)某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”,决定种植某种水
果,该水果单株产量M(x)(单位:千克)与施用肥料x(单位:千克)满足如下关系:M(x)=
{5(x2+3),0≤x≤2,
单株成本投入(含施肥、人工等)为30x元.已知这种水果的市场售价为15元/千
50x 5
+ ,2<x≤5,
1+x 3
克,且销路畅通供不应求,记该水果的单株利润为f(x)(单位:元).
(1)求f(x)的函数关系式;
(2)当施用肥料为多少千克时,该水果的单株利润最大?最大利润是多少?
解析 (1)由题意得f(x)=15M(x)-30x,所以
{15×5(x2+3)-30x,0≤x≤2,
f(x)=
50x
15× +25-30x,2<x≤5
1+x
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{75x2-30x+225,0≤x≤2,
=
750x
-30x+25,2<x≤5.
1+x
{ ( 1) 2
75 x- +222,0≤x≤2,
5
(2)将(1)中f(x)变形得f(x)=
[ 25 ]
805-30 +(1+x) ,2<x≤5.
1+x
①当0≤x≤2时, f(x) =f(2)=465;
max
②当2<x≤5时, f(x)=805-30[ 25 ]≤805-30×2√ 25 =505,
+(1+x) ·(1+x)
1+x 1+x
25
当且仅当 =1+x,即x=4时等号成立.
1+x
因为465<505,所以当x=4时, f(x) =505,所以当施用肥料为4千克时,种植该水果的单株利润最大,为505元.
max
3.(2022届河南调研,19 生产实践)某厂家拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(等于该厂家的年
k
产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足关系式x=2.5- (k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的
m+1
年销售量是1.5万件.已知生产该产品的固定年投入为10万元,每生产1万件该产品需要再投入25万元,厂家
将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将该产品的年利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数;
(2)该厂家年利润的最大值为多少?
k 1
解析 (1)由题意可知当m=0时,x=1.5.由1.5=2.5- ,得k=1,所以x=2.5- .
1 m+1
10+25x 10+25x 145 25
因为每件产品的销售价格为2× 元,所以y=2x· -10-25x-m=25x+10-m= - -m,
x x 2 m+1
145 25
即y关于m的函数表达式为y= - -m,m≥0.
2 m+1
25 √ 25 25 25
(2)因为m≥0,所以 +m+1≥2 ×(m+1)=10,即 +m≥9,当且仅当 =m+1,即m=4时
m+1 m+1 m+1 m+1
145
等号成立,所以y≤ -9=63.5,所以y =63.5.
max
2
故当该厂家投入的年促销费用为4万元时,年利润最大,且最大值为63.5万元.
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4.(2022届河南十所名校测试二,19 生产实践)已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为350万元,设
该公司一年内共生产这种手机x万部并全部销售完,且每万部的销售收入为600万元,生产这种手机每年需
40 000
另投入成本R(x)万元,且当0<x<40时,R(x)=10x(x+10),当x≥40时,R(x)=601x+ -6 550.
x
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式;(年利润=年销售收入-年成本)
(2)当年产量为多少万部时,该公司所获年利润最大?最大年利润是多少?
解析 (1)当0<x<40时,W(x)=600x-10x(x+10)-350=-10x2+500x-350;当x≥40时,W(x)=600x-
( 40 000 )-350=-( 40 000)+6 200,
601x+ -6 550 x+
x x
{-10x2+500x-350,0<x<40,
∴W(x)=
( 40 000)
- x+ +6 200,x≥40.
x
(2)当0<x<40时,W(x)=-10(x-25)2+5 900,当x=25时,W(x)
max
=5 900;当x≥40时,W(x)=-(
x+
40 000)+6
x
40 000
200≤6 200-2√40 000=5 800,当且仅当x= ,即x=200时,取等号,∵5 900>5 800,∴当年产量为25
x
万部时,该公司所获年利润最大,最大年利润是5 900万元.
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