北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.3 三角函数的图象和性质
一、选择题
1.(2022届合肥联考,8)将函数f(x)=cos( π )图象上各点的横坐标缩短到原来的1(纵坐标不变),再把得
x+
12 2
π
到的曲线向左平移 个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)图象的一条对称轴方程是( )
12
π π 3π 5π
A.x= B.x=- C.x= D.x=
8 8 16 16
答案 B 依题意可知,g(x)=cos( π),令2x+π=kπ,k∈Z,解得x=-π+1kπ,k∈Z,当k=0时,x=-π.故g(x)
2x+
4 4 8 2 8
π
图象的一条对称轴方程为x=- .
8
2.(2022届山西运城摸底,11)已知函数f(x)=√3sin ωx-cos ωx(ω>0),实数x,x 满足f(x)-f(x)=4,且|x-x|的最
1 2 1 2 1 2
小值为π,将f(x)的图象向左平移π个单位得到函数g(x)的图象,则g( π )的值为( )
2 3 24
√6+√2
A. B.1 C.√2 D.√3
2
答案 A f(x)=
√3
sin ωx-cos ωx=2sin(
ωx-
π)(ω>0),由f(x
1
)-f(x
2
)=4,且|x
1
-x
2
|的最小值为π,得函数f(x)的
6 2
最小正周期为π,由π=2π,得ω=2,∴f(x)=2sin( π).
2x-
ω 6
则g(x)=2sin( 2π π)=2sin( π)=2cos 2x.
2x+ - 2x+
3 6 2
则g( π )=2cos π =2cos(π π)=2×(1 √2 √3 √2)=√2+√6.故选A.
- × + ×
24 12 3 4 2 2 2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.(2022届甘肃名校月考,8)函数f(x)=sin(ωx+φ)( π)的图象如图所示,将函数f(x)的图象向右
ω>0,|φ|<
2
π
平移 个单位长度,得到函数g(x)的图象,则( )
6
A.g(x)=sin 2x
B.g(x)=cos 2x
C.g(x)=sin( 2π)
2x+
3
D.g(x)=cos( 2π)
2x+
3
T 7π π π 2π π π π
答案 A 由题图可知 = - = ,故T=π,∴ω= =2,则2× +φ=kπ,k∈Z,∵|φ|< ,∴φ= ,∴f(x)=sin
4 12 3 4 T 3 2 3
( 2x+ π),由f(x)的图象变换得g(x)=sin [ 2 ( x- π) + π] =sin 2x.故选A.
3 6 3
π
4.(2022届河南许昌模拟,8)已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,|φ|<2 的部分图象如图所
示,若f(π)=f(2π),则( )
2 3
π 5 5π
A.ω=2,φ= B.ω= ,φ=
6 3 18北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
π 5 π
C.ω=2,φ= D.ω= ,φ=
3 3 6
答案 C 由题图可得T<π-( π)=7π,且函数f(x)的图象在y轴右侧的第一条对称轴为直线x=-π+T
-
6 6 6 4
,∴-π+T<π.又f(π)=f(2π),∴函数f(x)的图象在y轴右侧的第二条对称轴为直线x=1(π 2π)=
+
6 4 8 2 3 2 2 3
π
{- ω+φ=2kπ①,
7π,且f(7π)=-1.又f(x)的图象过点(
-
π
,0
),则有 6 k∈Z,
12 12 6 7π 3π
ω+φ= +2kπ②,
12 2
π
②-①可得ω=2,代入①式得φ= +2kπ,k∈Z.
3
π π
又∵|φ|< ,∴φ= .故选C.
2 3
5.(2021江西上饶重点中学月考,7)函数f(x)=Asin(ωx+φ)( π)的部分图象如图所示,
A>0,ω>0,|φ|<
2
若x
1
,x 2∈(π
,
2π),且f(x
1
)=
6 3
f(x),则f(x+x)的值为( )
2 1 2
1 √3
A.- B.-
2 2
√2 √3
C.- D.
2 2
答案 B 由题图可知A=1,T=2(2π π)=π,
-
3 6北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
2π 2π
∴ω= = =2,∴f(x)=sin(2x+φ),
T π
又函数f(x)的图象过点(π ),∴sin( π )=0,结合图象可得π+φ=kπ(k∈Z),∴φ=kπ-π(k∈Z),又∵|φ|<
,0 2× +φ
6 6 3 3
π 2π
π π ( π) (π 2π) x +x + 5π
,∴φ=- ,∴f(x)=sin 2x- ,又x 1 ,x 2∈ , ,f(x 1 )=f(x 2 ),∴ 1 2=6 3 ,∴x 1 +x 2 =
2 3 3 6 3 2 6
2
,∴f(x
1
+x
2
)=sin(
2×
5π
-
π)=sin 4π=-√3,故选B.
6 3 3 2
π
6.(2021黑龙江哈师大附中期末,4)若将函数y=3sin 2x的图象向右平移 个单位,则平移后的函数图象的对
12
称中心为( )
A.(kπ π )(k∈Z) B.(kπ π )(k∈Z)
- ,0 + ,0
2 6 2 6
C.(kπ π )(k∈Z) D.(kπ π )(k∈Z)
- ,0 + ,0
2 12 2 12
答案 D 将函数y=3sin 2x的图象向右平移 π 个单位,可得y=3sin [ 2 ( x- π )] =3sin( 2x- π)的图象,
12 12 6
令2x-π=kπ,k∈Z,可得x=kπ+ π ,k∈Z,则平移后的函数图象的对称中心为(kπ π )(k∈Z).故选D.
+ ,0
6 2 12 2 12
7.(2022届广西10月联考,10)已知ω>0,函数f(x)=√2sin ωx与g(x)=√2cos ωx的图象交于不共线的A,B,C
三点,若存在△ABC是等腰直角三角形,则ω的最小值为( )
π π √2π
A. B. C. D.π
4 2 2
答案 B 若存在△ABC是等腰直角三角形,当A,B,C为相邻三个交点时,ω取得最小值,∵直角三角形斜边上
的中线等于斜边长的一半,∴T=2π=2×( √2 √2)=4,解得ω=π.
√2× +√2×
ω 2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8.(2022届江西顶级名校联考,9)已知函数f(x)=2sin ωx+2√3cos ωx(ω>0)的图象相邻的对称轴之间的距离为
π,将函数y=f(x)的图象向左平移 π 个单位后,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)在[ π π]上的最大值
- ,
2 12 6 3
为( )
A.4 B.2√3 C.2√2 D.2
答案 A f(x)=2sin ωx+2 cos ωx=4sin( π),由于函数f(x)的图象相邻的对称轴之间的距离为π,
√3 ωx+
3 2
所以f(x)的最小正周期为π,故ω=2.
将函数y=f(x)=4sin( π)的图象向左平移 π 个单位后,得到g(x)=4sin( π)=4cos 2x的图象,由
2x+ 2x+
3 12 2
于x∈[ π π],所以2x∈[ π 2π],当2x=0,即x=0时,g(x)取最大值,为4.故选A.
- , - ,
6 3 3 3
9.(2020福建泉州一模,5)函数f(x)=√3·sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<1)的部分图象如图所
示.已知A,B两点之间的距离为4,则f(x)的图象的对称中心是( )
A.(2kπ+2,0)(k∈Z) B.( 3 )(k∈Z)
2kπ+ ,0
2
C.( 3 )(k∈Z) D.(2k+2,0)(k∈Z)
2k+ ,0
2
5 1 T 5 1
答案 C 设A点横坐标为x
0
,则 -x
0
=√42-(2√3)2=2,解得x
0
= .∴ = - =2,即T=4.
2 2 2 2 2
2π 2π 2π π
∵T= ,ω>0,∴ω= = = .
|ω| T 4 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
∴f(x)= sin(π ),把A点坐标代入,
√3 x+φ
2
得 sin(π 1 )= ,即sin(π )=1.
√3 × +φ √3 +φ
2 2 4
π π π
∴ +φ= +2k
0
π(k 0∈Z),∴φ=2k
0
π+ (k 0∈Z),
4 2 4
∵0<φ<1,∴φ=π.∴f(x)= sin(π π).
√3 x+
4 2 4
π π 1
由 x+ =k
1
π(k 1∈Z),解得x=2k
1
- (k 1∈Z),
2 4 2
1 3
令k
1
=k+1(k∈Z),则x=2(k+1)- =2k+ (k∈Z),
2 2
∴f(x)的图象的对称中心是( 3 )(k∈Z).
2k+ ,0
2
故选C.
π
10.(2022届甘肃平凉静宁一中二模,6)给出下列四种图象的变换方法:①将图象向右平移 个单位长度;②将
4
π 3π 3π
图象向左平移 个单位长度;③将图象向左平移 个单位长度;④将图象向右平移 个单位长度.利用上
4 8 8
述变换中的某种方法能由函数y=sin 4x的图象得到函数y=-sin 4x的图象,则这种变换方法的序号是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
答案 A 对于①,将y=sin 4x的图象向右平移 π 个单位长度得到y=sin [ 4 ( x- π)] =sin(4x-π)=-sin 4x的
4 4
图象,符合题意;对于②,将y=sin 4x的图象向左平移 π 个单位长度得到y=sin [ 4 ( x+ π)] =sin(4x+π)=-sin
4 4
4x的图象,符合题意;对于③,将y=sin 4x的图象向左平移 3π 个单位长度得到y=sin [ 4 ( x+ 3π)] =sin
8 8北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
( 3π)=-cos 4x的图象,不合题意;对于④,将y=sin 4x的图象向右平移3π个单位长度得到y=sin
4x+
2 8
[ 4 ( x- 3π)] =sin 4x- 3π =cos 4x的图象,不合题意.故选A.
8 2
11.(多选)(2021山东日照模拟,10)已知函数f(x)=2 sin(π x)sin(π x)-sin(π+x),则有 ( )
√3 + -
4 2 4 2
A. f(π)≥f(x)
6
B. f(π )=f(π )
+x -x
6 6
C.(2π )是函数f(x)图象的对称中心
,0
3
D.方程f(x)=log x有三个实根
(2π)
ABC f(x)=2 sin(π x)sin(π x)-sin(π+x)=2 sin(π x)cos(π x)+sin x= sin
√3 + - √3 + + √3
4 2 4 2 4 2 4 2
(π )+sin x= cos x+sin x=2sin( π),
+x √3 x+
2 3
对于A,因为f(π)=2sin(π π)=2,故A正确;对于B,因为f(π )=2sin(π π)=2sin(π )
+ +x +x+ +x
6 6 3 6 6 3 2
=2cos x, f(π )=2sin(π )=2cos x,所以f(π )=f(π ),故B正确;对于C,因为f(2π)
-x -x +x -x
6 2 6 6 3
=2sin(2π π)=0,所以(2π )是函数f(x)图象的对称中心,故C正确;对于D,在同一平面直角坐标系
+ ,0
3 3 3
中作出函数y=f(x),y=log x的图象,如图,由图象可知方程f(x)=log x的实根超过3个,故D错误.故选ABC.
(2π) (2π)
