北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题九 平面解析几何
9.1 直线和圆
基础篇
考点一 直线的方程
考向一 直线的倾斜角与直线方程
1.(2022湖南永州一中月考,5)过圆(x+2)2+y2=4的圆心且与直线x+y=0垂直的直线方程
为 ( )
A.x+y-2=0 B.x-y-2=0
C.x-y+2=0 D.x+y+2=0
答案 C
2.(多选)(2022石家庄二中开学考,12)瑞士数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》
一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.
已知△ABC的顶点A(-4,0),B(0,4),其欧拉线方程为x-y+2=0,则顶点C的坐标可以是(
)
A.(2,0) B.(0,2)
C.(-2,0) D.(0,-2)
答案 AD
3.(2023届天津咸水沽一中开学检测,14)若过点P(1-a,1+a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜
角是钝角,则实数a的取值范围是 .
答案 (-2,1)
考向二 两条直线间的位置关系
1.(2022山东青岛胶州一中月考,3)已知直线l :a2x+y-2=0与直线l :x-(2a+3)y+1=0垂直,
1 2
则a= ( )
A.3 B.1或-3 C.-1 D.3或-1
答案 D
2.(多选)(2023届山东青岛调研,9)已知直线l :4x-3y+4=0,l :(m+2)x-
1 2
(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则 ( )
A.直线l 过定点(-3,-1)
2
B.当m=1时,l ⊥l
1 2
C.当m=2时,l ∥l
1 2
D.当l ∥l 时,两直线l ,l 之间的距离为1
1 2 1 2
答案 ACD北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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3.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,13)直线l :mx+2y+1=0,l :x+
1 2
(m-1)y-1=0,若l ∥l ,则m= .
1 2
答案 2
4.(2022辽宁六校期初联考,13)已知直线l :y=(2a2-1)x-2与直线l :y=7x+a平行,则a=
1 2
.
答案 2
考向三 距离公式
1.(2020课标Ⅲ文,8,5分)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( )
A.1 B.√2C.√3 D.2
答案 B
2.(2020课标Ⅱ理,5,5分)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0
的距离为 ( )
√5 2√5 3√5 4√5
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 B
3.(多选)(2022重庆梁平调研,9)已知直线l:√3x-y+1=0,则下列结论正确的是 (
)
π
A.直线l的倾斜角是
3
B.若直线m:x-√3y+1=0,则l⊥m
C.点(√3,0)到直线l的距离是2
D.过点(2√3,2)与直线l平行的直线方程是√3x-y-4=0
答案 ACD
4.(2023届长沙雅礼中学月考,15)对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),若点P到直
线l :3x-4y-9=0和l :3x-4y+a=0的距离和都与x,y无关,则a的取值范围为 .
1 2
答案 [6,+∞)北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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考点二 圆的方程
1.(2023届河南安阳调研,5)过点(0,2)且与直线y=x-2相切,圆心在x轴上的圆的方程为
( )
A.(x+1)2+y2=3 B.(x+1)2+y2=5
C.(x+2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=8
答案 D
2.(多选)(2023届辽宁鞍山质量监测,11)在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(-2,0),点
|PA| 1
P满足 = ,设点P的轨迹为C,则 ( )
|PB| 2
A.C的周长为4π
B.PO(O,P不重合时)平分∠APB
C. ABP面积的最大值为6
D.当AP⊥AB时,直线BP与轨迹C相切
△
答案 ABD
3.(多选)(2022广东珠海月考,10)在平面内,已知线段AB的长度为4,则满足下列条件的
点P的轨迹为圆的是 ( )
A.∠APB=90° B.|PA|2+|PB|2=10
C.⃗PA·⃗PB=-6 D.|PA|=3|PB|
答案 BD
4.(2021广东珠海一模,14)若方程x2+y2+λxy+2kx+4y+5k+λ=0表示圆,则k的取值范围为
.
答案 (-∞,1)∪(4,+∞)
5.(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则
☉M的方程为 .
答案 (x-1)2+(y+1)2=5
6.(2022全国乙,理14,文15,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆
的方程为 .
8 14 16 16
x− x−2y−
答案 (x-2)2+(y-1)2=5 或x2+y2-4x-6y=0或x2+y2-3 3 y=0或x2+y2- 5 5
=0北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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考点三 直线与圆的位置关系
1.(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则
下列说法正确的是 ( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
答案 ABD
2.(2023届浙南名校联盟联考,13)已知直线l:y=x+1与圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0)相切,则r=
.
答案 √2
3.(2023届天津咸水沽一中开学检测,12)直线l过点(4,0)且与圆(x-1)2+(y-2)2=25交于
A,B两点,如果|AB|=8,那么直线l的方程为 .
答案 x=4或5x-12y-20=0
4.(2022新高考Ⅱ,15,5分)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆
(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
[1 3]
答案 ,
3 2
5.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆
C相切于点A(-2,-1),则m= ,r= .
答案 -2 √5
6.(2020浙江,15,6分)已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k=
,b= .
√3 2√3
答案 −
3 3
考点四 圆与圆的位置关系
1.(2023届海南琼海嘉积中学月考,3)圆O :x2+y2=1与圆O :x2+y2-4x+1=0的位置关系为
1 2
( )
A.相交 B.外离 C.外切 D.内切
答案 A
2.(2023届安徽十校联考,8)已知直线l:mx+y-3m-2=0与圆M:(x-5)2+(y-4)2=25交于A,B
两点,当弦AB的长最短时,圆M与圆N:(x+2m)2+y2=9的位置关系是( )
A.内切 B.外离 C.外切 D.相交
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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3.(2022江苏苏州中学月考,6)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长
度为2√2,则圆M与圆N:x2+y2-6x-12y-4=0的位置关系是 ( )
A.内切 B.外切
C.相交 D.外离
答案 A
4.(多选)(2022广东茂名月考,10)已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,O为坐标原点,以OC为直
径的圆C'与圆C交于A,B两点,则( )
A.圆C'的方程为x2+y2-3x-4y=0
B.直线AB的方程为3x-4y-21=0
C.OA,OB均与圆C相切
D.四边形CAOB的面积为4√21
答案 AC
5.(2022山东威海5月模拟,14)圆x2+y2+4x=0与圆x2+y2+4y=0的公共弦长为 .
答案 2√2
综合篇
考法一 对称问题
1.(2023届江苏扬州高邮学情调研,4)与直线3x-y+1=0关于y轴对称的直线的方程为
( )
A.x-3y+1=0 B.3x+y-1=0
C.x+3y+1=0 D.3x+y+1=0
答案 B
2.(2022石家庄二中开学考,2)若直线l :y=kx-k+1与直线l 关于点(2,3)对称,则直线l
1 2 2
过定点( )
A.(-3,5) B.(3,-5)
C.(3,5) D.(5,3)
答案 C
3.(2022山东滕州一中月考,3)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=
( )
1 1
A. B.− C.1 D.-1
2 2
答案 A
4.(2022湖北孝感模拟,6)已知从点(-5,3)发出的一束光线,经x轴反射后,反射光线恰好
平分圆:(x-1)2+(y-1)2=5的圆周,则反射光线所在的直线方程为 ( )
A.2x-3y+1=0 B.2x-3y-1=0北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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C.3x-2y+1=0 D.3x-2y-1=0
答案 A
(1 )
5.(2022广东实验中学质检,6)直线3x-2y=0关于点 ,0 对称的直线方程为( )
3
A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0
C.x-y=0 D.2x-3y-2=0
答案 B
6.(2022南京3月模拟,3)圆x2+y2-2x+4y-4=0关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是 (
)
A.(x-3)2+y2=16 B.x2+(y-3)2=9
C.x2+(y-3)2=16 D.(x-3)2+y2=9
答案 D
7.(2023届福建部分名校联考,7)在唐诗“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”中隐含着
一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,
先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所
在区域为(x+1)2+(y-1)2≤1,若将军从点(1,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+2y-5=0,
并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营,则当“将军饮马”的总路程最短时,
将军去往河边饮马的行走路线所在的直线方程为 ( )
A.12x+5y-12=0 B.21x+2y-21=0
C.4x+y-4=0 D.11x+2y-11=0
答案 B
考法二 与圆的切线相关的问题
1
1.(2020课标Ⅲ理,10,5分)若直线l与曲线y=√x和圆x2+y2= 都相切,则l的方程为 (
5
)
1
A.y=2x+1 B.y=2x+
2
1 1 1
C.y= x+1D.y= x+
2 2 2
答案 D
2.(2021江苏南通期末,7)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:(x-1)2+y2=4,若直线
l:x+y+m=0上有且只有一个点P满足:过点P作圆C的两条切线PM,PN,切点分别为
M,N,且使得四边形PMCN为正方形,则正实数m的值为 ( )
A.1 B.2√2 C.3 D.7
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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3.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相
切,则反射光线所在直线的斜率为( )
5 3 3 2
A.- 或- B.− 或-
3 5 2 3
5 4 4 3
C.- 或- D.− 或-
4 5 3 4
答案 D
4.(多选)(2022广东珠海二中月考,11)过点P(3,4)作圆C:x2+y2=4的两条切线,切点分
别为A,B,则下列说法正确的是 ( )
2√21
A.|AB|=
5
B.AB所在直线的方程为3x+4y-4=0
C.四边形PACB的外接圆方程为x2+y2-3x-4y=0
42√21
D. PAB的面积为
25
答△案
BCD
x2
5.(2022全国甲理,14,5分)若双曲线y2- =1(m>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则
m2
m= .
√3
答案
3
6.(2022新高考Ⅰ,14,5分)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方
程 .
答案 x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)
7.(2023届江苏扬州高邮学情调研,18)圆C:(x-2)2+(y-1)2=9,过点P(-1,3)向圆C引两切
线,A,B为切点.
(1)求切线的方程;
(2)求⃗PA·⃗PB的值.
解析 (1)若过点P的直线斜率不存在,切线方程为x=-1,符合题意;
若过点P的直线斜率存在,设切线方程为y-3=k(x+1),即kx-y+k+3=0,圆心C到切线的距
|3k+2| 5
离为 =3,解得k= ,则切线方程为5x-12y+41=0.
√k2+1 12
综上,切线方程为x=-1或5x-12y+41=0.
(2)|PC|=√13,|PA|=|PB|=√PC2−r2=√13−9=2,
|CA| 3
则sin∠CPA= = ,
|PC| √13
