北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题七 数列
7.1 数列的概念及表示
基础篇
考点 数列的概念及表示
1
1.(2022山东潍坊调研,5)已知数列{a }中,a =2,a =1- (n≥2),则a = ( )
n 1 n a 2 022
n−1
1 1
A. B.− C.-1 D.2
2 2
答案 C
1 11 21
2.(2021广州模拟,6)数列{a }为 ,3, ,8, ,…,则此数列的通项公式可能是 (
n 2 2 2
)
5n−4 3n−2
A.a = B.an=
n 2 2
6n−5 10n−9
C.a = D.an=
n 2 2
答案 A
{(3−a)n−3,n≤7,
3.(2022福建泉州一中月考,6)已知数列{a }的通项公式为a =
n n an−6,n>7
(n∈N*),若{a }是递增数列,则实数a的取值范围可以是 ( )
n
A.(1,2) B.(2,3) C.(1,3) D.(3,6)
答案 B
4.(多选)(2022福建莆田二中模考,10)数列{a }中,设T =a ·a …a .若T 存在最大值,则
n n 1 2 n n
a 可以是 ( )
n
A.a =2n-6 B.a =(-1)n
n n
n+1
C.a =2n-9 D.a =
n n 2n−1
答案 BD
(7) n
5.(2022天津新华中学期末,14)在数列{a }中,a =(n+1) ,则数列{a }中的最大项的
n n 8 n
n= .
答案 6或7北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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sin1°
6.(2022广州市铁一中学期末,14)已知数列{a }满足a = ,{a }的前n
n n cosn°cos(n−1)° n
S
项的和记为S ,则 60 = .
n S
30
答案 3
7.(2023届广州阶段测试,17)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=3n,n∈N*},将A与B
中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列{a }(若有相同元素,按重复方式计入排
n
列)为1,3,3,5,7,9,9,11,….设数列{a }的前n项和为S .
n n
(1)若a =27,求m的值;
m
(2)求S 的值.
50
解析 (1)因为a =27,所以数列{a }的前m项中含有A中的元素为1,3,5,7,9,…,27,
m n
共有14项,含有B中的元素为3,9,27,共有3项,排列后为1,3,3,5,7,9,9,…,27,27,所
以m=16或17.
(2)2×50-1=99,34=81<99,35=243>99,
因此数列{a }的前50项中含有B中的元素为3,9,27,81,共有4项,含有A中的元素为
n
1,3,5,7,9,…,27,29,…,79,81,83,…,2×46-1=91,共有46项,
46×(1+91)
∴S = +(3+9+27+81)=2 116+120=2 236.
50 2
综合篇
考法一 利用S 与a 的关系求通项公式
n n
1.(2022重庆一中月考,5)已知数列{a }满足a =1,前n项和为S ,且S =2a (n≥2,n∈N*),
n 1 n n n
则{a }(n≥2)的通项公式为a =( )
n n
A.2n-1 B.2n-2
C.2n+1-3 D.3-2n
答案 B
2.(2023届贵阳摸底,8)已知数列{a }的前n项和为S ,a =2,S +2=a (n∈N*),则
n n 1 n n+1
a +a +…+a = ( )
2 4 2 022
4 4
A. ×(22 022-1) B. ×(22 024-1)
3 3
16 [ (1) 2 022] 4 [ (1) 2 024]
C. × 1− D. × 1−
3 2 3 2
答案 A北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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3.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,17)记各项均为正数的数列{a }的前n项和是S ,
n n
已知a2 +a =2S ,n为正整数.
n n n
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)设b =tan a ·tan a ,求数列{b }的前n项和T .
n n n+1 n n
解析 (1)由a2 +a =2S 得当n≥2时,a2 +a =2S ,两式相减得a2−a2 +a -a =2a ,
n n n n−1 n-1 n-1 n n−1 n n-1 n
即(a -a -1)(a +a )=0,因为数列各项均为正数,所以a =a +1(n≥2),即a -a =1(n≥2),
n n-1 n n-1 n n-1 n n-1
故{a }是公差为1的等差数列,又当n=1时,a2 +a =2a ,解得a =1,所以a =n.
n 1 1 1 1 n
tan(n+1)−tann
(2)tan 1=tan[(n+1)-n]= ,
1+tan(n+1)tann
tan(n+1)−tann
故b =tan(n+1)tan n= -1,
n tan1
1 1
则T =b +b +b +…+b = [tan(n+1)-tan n+tan n-tan(n-1)+…+tan 2-tan 1]-n=
n 1 2 3 n tan1 tan1
tan(n+1)
[tan(n+1)-tan 1]-n= -n-1.
tan1
4. (2022湖北大冶一中模拟,17)已知数列{a }的前n项和为S ,a =-11,a =-9,且S +
n n 1 2 n+1
S =2S +2(n≥2).
n-1 n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
1
(2)已知b = ,求数列{b }的前n项和T .
n a a n n
n n+1
解析 (1)由题意知(S -S )-(S -S )=2(n≥2),则a -a =2(n≥2),
n+1 n n n-1 n+1 n
又a -a =2,所以{a }是首项为-11,公差为2的等差数列,则a =a +(n-1)d=2n-13.
2 1 n n 1
1 1( 1 1 )
(2)由题知b = = − ,
n (2n−13)(2n−11) 2 2n−13 2n−11
1 ( 1 1) ( 1 1) 1 1
− + + − + −
则T = +…+ =
n 2 11 9 9 7 2n−13 2n−11
1( 1 1 ) n
− − = .
2 11 2n−11 121−22n
5.(2022重庆八中入学测试)已知数列{a }的前n项和S 满足S =2a -1.
n n n n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
2n−1
(2)记b = ,求数列{b }的前n项和T .
n a n n
n
解析 (1)当n=1时,S =2a -1,解得a =1.
1 1 1
当n≥2时,S =2a -1,则S -S =a =2a -2a ,即a =2a .所以{a }是以1为首项,2为公比
n-1 n-1 n n-1 n n n-1 n n-1 n
的等比数列,所以a =2n-1(n∈N*).
n北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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2n−1 2n−1 3 5 2n−1
(2)b = = ,∴T =1+ + +…+ ,
n a 2n−1 n 21 22 2n−1
n
1 1 3 5 2n−3 2n−1
∴
Tn= + + +…+ +
,
2 21 22 23 2n−1 2n
1 2 2 2 2 2n−1 2n+3 2n+3
两式相减得 Tn=1+ + + +…+ − =3− ,∴T =6-
2 21 22 23 2n−1 2n 2n n 2n−1
(n∈N*).
考法二 利用递推关系求数列的通项公式
1.(2022江苏盐城期中,7)已知数列{a }满足a =2,a =a4,则a 的值为 ( )
n 1 n+1 n 6
A.220 B.224 C.21 024 D.24 096
答案 C
2.(2022长沙雅礼中学等十六校联考,5)已知数列{a }满足a =a +a (n≥3),设数列{a }
n n-1 n n-2 n
的前n项和为S ,若S =2 019,S =2 020,则S = ( )
n 2 020 2 019 2 021
A.1 008 B.1 009 C.2 016 D.2 018
答案 B
n
3.(2022山东聊城期中,8)设数列{a }满足a +2a +4a +…+2n-1a = ,则数列{a }的前n项
n 1 2 3 n 4 n
和S 为( )
n
1( 1 ) 1
A. 1− B.1−
2 2n−1 2n−1
1( 1 ) 1
C. 1− D.1−
2 2n 2n
答案 C
4.(多选)(2023届石家庄二中开学考,11)已知数列{a }满足a =3,a ·a =3n(n∈N*),S 为
n 2 n n+1 n
数列{a }的前n项和,则 ( )
n
A.{a }是等比数列
n
B.{a }是等比数列
2n
C.S =2(31 011-1)
2 022
D.{a }中存在不相等的三项构成等差数列
n
答案 BC
5.(2022江苏泰州中学检测)在数列{a }中,a =3,
n 1
3a 3a 3a 1 1 1 n
1+ 2+…+ n =1+ + +…+ + (n∈N*),则a = ,若λa ≥4n对所有
a a a 2 3 n 2 n n
2 3 n+1
n∈N*恒成立,则λ的取值范围是 .北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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6n [320 )
答案 ,+∞
n(n+1) 81
6.(2020课标Ⅰ文,16,5分)数列{a }满足a +(-1)na =3n-1,前16项和为540,则a =
n n+2 n 1
.
答案 7
7.(2022湖南天壹名校联盟摸底考试)已知数列{a }满足a a =22n,a =1.
n n n+1 1
(1)求a ;
2n
(2)求满足a +a +…+a <2 022的最大的正整数n的值.
1 2 2n
解析 (1)因为a a =22n,a =1,所以a a =22,a =4,又a a =22n+2,所以
n n+1 1 1 2 2 n+1 n+2
a a a 22n+2
n+1 n+2= n+2=
=4,
a a a 22n
n n+1 n
所以{a }的奇数项是以1为首项,4为公比的等比数列,偶数项是以4为首项,4为公比的
n
{2n−1,n为奇数,
等比数列,所以a = 所以a =22n.
n 2n,n为偶数, 2n
1−4n 4(1−4n ) 5(4n−1) 5(4x−1)
(2)令S =a +a +…+a ,所以S = + = ,易知f(x)= 在
2n 1 2 2n 2n
1−4 1−4 3 3
定义域上单调递增,且f(4)=425, f(5)=1 705, f(6)=6 825,因为a +a +…+a <2 022,所以
1 2 2n
n<6,又因为n为正整数,所以n的最大值为5.
