北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
版
专题七 数列
7.1 数列的概念及表示
考点 数列的概念及表示
1.(2013课标Ⅰ理,12,5分)设△A
n
B
n
C
n
的三边长分别为a
n
,b
n
,c
n
,△A
n
B
n
C
n
的面积为S
n
,n=1,2,3,….若
c +a b +a
b>c,b+c=2a,a =a,b = n n,c = n n,则( )
1 1 1 1 1 n+1 n n+1 n+1
2 2
A.{S}为递减数列
n
B.{S}为递增数列
n
C.{S }为递增数列,{S }为递减数列
2n-1 2n
D.{S }为递减数列,{S }为递增数列
2n-1 2n
a +c b +a
n n n n
答案 B 由b = ,c = 得
n+1 n+1
2 2
1
b +c =a+ (b+c),(*)
n+1 n+1 n n n
2
1
b -c =- (b-c),
n+1 n+1 n n
2
1
由a =a 得a=a,代入(*)得b +c =a+ (b+c),
n+1 n n 1 n+1 n+1 1 n n
2
1
∴b +c -2a= (b+c-2a),
n+1 n+1 1 n n 1
2
∵b+c-2a=2a-2a=0,∴b+c=2a>|BC|=a,所以点A 在以B、C 为焦点且长轴长为2a 的椭圆上(如图).由
1 1 1 1 1 n n 1 n n 1 n n n 1
b
1
>c
1
得b
1
-c
1
>0,所以|b
n+1
-c
n+1
|=1(b
n
-c
n
),即|b
n
-c
n
|=(b
1
-c
1
)·(1) n-1 ,所以当n增大时|b
n
-c
n
|变小,即点A
n
向点A处
2 2
移动,即边BC 上的高增大,又|BC|=a=a 不变,所以{S}为递增数列.
n n n n n 1 n
2.(2016浙江,理13,文13,6分)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
.若S
2
=4,a
n+1
=2S
n
+1,n∈N*,则a
1
= ,S
5
=
.
答案 1;121
解析 解法一:∵a =2S+1,∴a=2S+1,即S-a=2a+1,又∵S=4,∴4-a=2a+1,解得a=1.又a =S -S,
n+1 n 2 1 2 1 1 2 1 1 1 n+1 n+1 n
∴S -S=2S+1,即S =3S+1,由S=4,可求出S=13,S=40,S=121.
n+1 n n n+1 n 2 3 4 5
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解法二:由a =2S+1,得a=2S+1,即S-a=2a+1,又S=4,∴4-a=2a+1,解得a=1.又a =S -S,∴S -S=2S+1,
n+1 n 2 1 2 1 1 2 1 1 1 n+1 n+1 n n+1 n n
即S
n+1
=3S
n
+1,则S
n+1
+1=3(
S +
1),又S
1
+1=3,∴{
S +
1}是首项为3,公比为3的等比数列,
2 n 2 2 2 n 2 2
1 3 3n-1 35-1
∴S+ = ×3n-1,即S= ,∴S= =121.
n 2 2 n 2 5 2
评析 本题考查了数列的前n项和S 与a 的关系,利用a =S -S 得出S =3S+1是解题的关键.
n n n+1 n+1 n n+1 n
3.(2015课标Ⅱ理,16,5分)设S 是数列{a}的前n项和,且a=-1,a =SS ,则S= .
n n 1 n+1 n n+1 n
1
答案 -
n
解析 ∵a =S -S,∴S -S=S S,又由a=-1,知S≠0,∴ 1 - 1 =1,∴{1 }是等差数列,且公差为-1,而 1 =
n+1 n+1 n n+1 n n+1 n 1 n
S S S S
n n+1 n 1
1 1 1
=-1,∴ =-1+(n-1)×(-1)=-n,∴S=- .
a S n n
1 n
1
4.(2014课标Ⅱ文,16,5分)数列{a}满足a = ,a=2,则a= .
n n+1 1−a 8 1
n
1
答案
2
1 1
解析 由a = ,得a=1- ,
n+1 1−a n a
n n+1
1 1
∵a=2,∴a=1- = ,
8 7
2 2
1 1
a=1- =-1,a=1- =2,…,
6 a 5 a
7 6
∴{a}是以3为周期的数列,
n
1
∴a=a= .
1 7
2
2 1
5.(2013课标Ⅰ理,14,5分)若数列{a}的前n项和S= a+ ,则{a}的通项公式是a= .
n n n n n
3 3
答案 (-2)n-1
2 1 2 1 2 1
解析 由S= a+ 得:当n≥2时,S = a + ,∴当n≥2时,a=-2a ,又n=1时,S=a= a+ ,a=1,∴a=(-2)n-1.
n n n-1 n-1 n n-1 1 1 1 1 n
3 3 3 3 3 3
6.(2022北京,15,5分)已知数列{a}的各项均为正数,其前n项和S 满足a·S=9(n=1,2,…).给出下列四个
n n n n
结论:
①{a}的第2项小于3;
n
②{a}为等比数列;
n
③{a}为递减数列;
n
1
④{a}中存在小于 的项.
n
100
其中所有正确结论的序号是 .
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答案
①③④
解析
当n=1时,a·a=9,由a>0,得a=3,
1 1 1 1
当n=2时,a·S=a(a+3)=9,即 +3a-9=0,
2 2 2 2 a2 2
2
−3±3√5 3√5−3
解得a= ,又a>0,所以a= ,所以a<3,故①正确.
2 2 2 2
2 2
a n+1 -a n = 9 − 9 = 9(S n −S n+1 ),又知各项均为正数,所以S n+1 >S n ,所以S n -S n+1 <0,即a n+1 -a n <0.所以
S S S ·S
n+1 n n+1 n
a <a,所以数列{a}为递减数列,故③正确.
n+1 n n
由S n ·a n =9得S n = 9 ,当n≥2时,a n =S n -S n-1 = 9 − 9 ,两边同乘a n 得 a2=9− 9a n ,若{a n }为等比数列,设
a a a n a
n n n−1 n−1
a
公比为q,则
n
=q(n≥2)为常数,则
a2
也为常数,由③知{a
n
}是递减数列,所以{a
n
}不为等比数列,故②错误.
a n
n−1
1 1 1
假设{a}中所有项均大于或等于 ,即a≥ ,取n>90 000,则S=a+a+…+a> ×90
n n n 1 2 n
100 100 100
1
000=900,∴a·S> ×900=9,与已知a·S=9相矛盾,所以④正确.
n n n n
100
故正确结论的序号为①③④.
7.(2016课标Ⅲ理,17,12分)已知数列{a}的前n项和S=1+λa,其中λ≠0.
n n n
(1)证明{a}是等比数列,并求其通项公式;
n
31
(2)若S= ,求λ.
5
32
解析 (1)由题意得a=S=1+λa,
1 1 1
1
故λ≠1,a= ,a≠0.(2分)
1 1
1−λ
由S
n
=1+λa
n
,S
n+1
=1+λa
n+1
得a
n+1
=λa
n+1
-λa
n
,即a
n+1
(λ-1)=λa
n
.由a
1
≠0,λ≠0得a
n
≠0,所以 a n+1= λ .
a λ-1
n
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因此{a n }是首项为 1 ,公比为 λ 的等比数列,于是a n = 1 ( λ ) n-1 .(6分)
1−λ λ-1 1−λ λ-1
(2)由(1)得S n =1-( λ ) n .
λ-1
由S 5 =31得1-( λ ) 5 =31,即( λ ) 5 = 1 .
32 λ-1 32 λ-1 32
解得λ=-1.(12分)
思路分析 (1)先由题设利用a =S -S 得到a 与a 的关系式,要证数列是等比数列,关键是看a 与a 之比
n+1 n+1 n n+1 n n+1 n
是否为一常数,其中说明a≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.
n
8.(2014大纲全国文,17,10分)数列{a}满足a=1,a=2,a =2a -a+2.
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)设b=a -a,证明{b}是等差数列;
n n+1 n n
(2)求{a}的通项公式.
n
解析 (1)证明:由a =2a -a+2得,
n+2 n+1 n
a -a =a -a+2,即b =b+2.
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
又b=a-a=1,
1 2 1
所以{b}是首项为1,公差为2的等差数列.(5分)
n
(2)由(1)得b=1+2(n-1),即a -a=2n-1.(8分)
n n+1 n
n n
于是∑(a -a )=∑(2k-1),
k+1 k
k=1 k=1
所以a -a=n2,即a =n2+a.
n+1 1 n+1 1
又a=1,所以{a}的通项公式为a=n2-2n+2.(10分)
1 n n
评析 本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运
算变形的能力.
9.(2014课标Ⅰ理,17,12分)已知数列{a}的前n项和为S,a=1,a≠0,aa =λS-1,其中λ为常数,
n n 1 n n n+1 n
(1)证明:a -a=λ;
n+2 n
(2)是否存在λ,使得{a}为等差数列?并说明理由.
n
解析 (1)证明:由题设aa =λS-1,知a a =λS -1.两式相减得,a (a -a)=λa .
n n+1 n n+1 n+2 n+1 n+1 n+2 n n+1
由于a ≠0,所以a -a=λ.
n+1 n+2 n
(2)存在.由a=1,aa=λa-1,可得a=λ-1,由(1)知,a=λ+1.令2a=a+a,解得λ=4.
1 1 2 1 2 3 2 1 3
故a -a=4,由此可得,{a }是首项为1,公差为4的等差数列,a =1+(n-1)·4=4n-3;
n+2 n 2n-1 2n-1
{a }是首项为3,公差为4的等差数列,a =3+(n-1)·4=4n-1.
2n 2n
所以a=2n-1,a -a=2.
n n+1 n
因此存在λ=4,使得{a}为等差数列.
n
评析 本题主要考查a 与S 的关系及等差数列的定义,考查学生的逻辑思维能力及分析解决问题的能力.
n n
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