北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题七 数列
一、单项选择题
1.(2023届山东潍坊模拟,3)大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的
推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项,都代表太极
衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.大衍数列是中华传统文化中隐藏着的世界数
学史上第一道数列题,其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则这个数列的第
20项为( )
A.198 B.200 C.202 D.204
n2 n2−1
答案 B 由数列前10项的规律可知当n为偶数时,a = ;当n为奇数时,a = ,所
n 2 n 2
202
以a = =200,故选B.
20 2
2.(2023届河南南阳期中,4)已知数列{a }的前n项和S =n2-11n.若7<a<10,则k=( )
n n k
A.9 B.10 C.11 D.12
答案 B 因为S =n2-11n,所以当n≥2时,S =(n-1)2-11(n-1),所以a =S -S =2n-12,因为
n n-1 n n n-1
7<a<10,所以7<2k-12<10,解得9.5<k<11.
k
又k∈N*,所以k=10.故选B.
3.(2023届成都树德中学段考,4)设正项等比数列{a}的前n项和为S,若2S=3a+8a,则
n n 3 2 1
公比q=( )
3
A.2 B.-
2
3 3
C.2或- D.2或
2 2
答案 A 由2S =3a +8a ,可得2(a +a +a )=3a +8a ,即2a -a -6a =0.
3 2 1 1 2 3 2 1 3 2 1
3
所以2a q2-a q-6a =0,即2q2-q-6=0,解得q=2或q=- .∵数列为正项等比数列,∴q=2.故选
1 1 1 2
A.
4.(2022云南玉溪峨山一中月考,11)已知等差数列{a }的公差不等于0,其前n项和为
n
S ,若a ,S ,S ∈{-10,0},则S 的最小值为 ( )
n 4 5 7 n
A.-6 B.-11 C.-12 D.-14
答案 C 由题意知a =0或a =-10.
4 4北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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a +a 5a
当a =0时,S = 2 4×5= 2,因为公差d≠0,所以S =-10,所以
4 5 2 2 5
{ a +3d=0,
1 {a =−6,
5a +5d 解得 1 所以S =n2-7n,又S =72-7×7=0∈{-10,0},满足条件,所
1 =−10, d=2, n 7
2
以S 的最小值为S =S =42-7×4=-12.
n 3 4
{ a +3d=−10, {a =14,
当a =-10时,S =-10或S =0.若S =-10,则 1 解得 1 由于d=-8<0,
4 5 5 5 5a +10d=−10, d=−8,
1
{a +3d=−10, {a =20,
故S 无最小值;若S =0,则 1 解得 1 由于d=-10<0,故S 无最小值.
n 5 5a +10d=0, d=−10, n
1
综上所述,S 的最小值为-12.故选C.
n
5.(2023届西安西工大附中适应性测试二,7)已知等比数列{a }的前n项和为S ,若a -
n n 4
S
a =12,a -a =24,则 4 = ( )
2 5 3 a +a
1 3
A.6 B.3 C.2 D.1
a −a
答案 B 设等比数列{a }的公比为q,则q= 5 3 =2,所以
n a −a
4 2
S a +a +a +a (a +a )(1+q)
4 = 1 2 3 4= 1 3 =1+q=3.故选B.
a +a a +a a +a
1 3 1 3 1 3
6.(2023届贵州六校联盟联考一,8)若数列{a }满足a =2,a +a +a =2(n∈N*),则其前2
n 1 n n+1 n+2
023项的和为 ( )
A.1 360 B.1 358 C.1 350 D.1 348
答案 C ∵a =2,a +a +a =2,∴S =a +(a +a +a )+(a +a +a )+…+(a +a +
1 n n+1 n+2 2 023 1 2 3 4 5 6 7 2 021 2 022
a )=a +674×2=1 350,故选C.
2 023 1
7.(2023届江西赣州厚德外国语学校、丰城中学联考,11)已知等差数列{a }满足
n
a =2,a +a =1+a ,数列{b }满足b a a =a -a ,记{b }的前n项和为S ,若对于任意的
2 3 6 8 n n n+1 n n+1 n n n
a∈[-2,2],n∈N*,不等式S <2t2+at-3恒成立,则实数t的取值范围为 ( )
n
A.(-∞,-2]∪[2,+∞)
B.(-∞,-2]∪[1,+∞)
C.(-∞,-1]∪[2,+∞)
D.[-2,2]
答案 A ∵a +a =a +a =a +1,∴a =1,又a =2,∴等差数列{a }的公差d=a -a =1,
3 6 8 1 8 1 2 n 2 1
1 1 1 1
∴a =1+(n-1)=n.由b a a =a -a ,得b = − = − ,
n n n+1 n n+1 n n a a n n+1
n n+1北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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( 1) (1 1) (1 1) ( 1 1) (1 1 ) 1
∴S = 1− + − + − +…+ − + − =1− .
n 2 2 3 3 4 n−1 n n n+1 n+1
1
∴不等式S <2t2+at-3可转化为1- <2t2+at-3.
n n+1
1
∵1- <1,∴问题等价于对任意的a∈[-2,2],n∈N*,2t2+at-4≥0恒成立.
n+1
{ f(2)≥0, { 2t+(2t2−4)≥0,
设f(a)=at+(2t2-4),a∈[-2,2],则 即 解得t≥2或t≤-2.故
f(−2)≥0, −2t+(2t2−4)≥0,
选A.
8.(2022安徽安庆一中4月模拟,12)在自然界中,树木的分叉、花瓣的数量、植物种子
的排列等都遵循了某种数学规律,直到13世纪意大利数学家莱昂纳多斐波那契从兔子
繁殖问题中发现了一组神奇的数字1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,它同时揭示了植物生长
的规律,我们将其称为斐波那契数列,该数列也可以表示为
{a },a =a =1,a =a +a (n∈N*).下面结论:①a +a +…+a =a -1,②a2+a2+…+a2
n 1 2 n+2 n n+1 1 2 16 18 1 2 16
=a a ,③a +a +…+a =a ,④a +a +…+a =a -1,其中正确结论的个数是 ( )
16 17 1 3 15 16 2 4 16 17
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D 由已知a +a =a ,a +a =a ,……,a +a =a ,
1 2 3 2 3 4 16 17 18
累加得a +2(a +a +a +…+a )+a =a +a +…+a +a +a ,即a +a +…+a =a -1,故①正确;
1 2 3 4 16 17 3 4 16 17 18 1 2 16 18
由a =a ,a +a =a ,a +a =a ,……,a +a =a ,
1 2 2 3 4 4 5 6 14 15 16
累加得a +a +a +a +…+a +a =a +a +…+a +a ,
1 2 3 4 14 15 2 4 14 16
即a +a +…+a =a ,故③正确;
1 3 15 16
由a +a =a ,a +a =a ,……,a +a =a ,
1 2 3 3 4 5 15 16 17
累加整理得a +a +a +a +…+a +a =a +a +…+a +a ,即a +a +…+a =a -1,故④正确;
1 2 3 4 15 16 3 5 15 17 2 4 16 17
因为a =a +a ,a =a =1,所以
n+2 n n+1 1 2
a2+a2+…+a2 =a3+a2+a2+…+a2 =a3a4+a2+…+a2 =a4a5+a2+…+a2 =…=a15a16+a2
1 2 16 3 4 16 4 16 5 16 16
=a a ,故②正确.故选D.
16 17
二、多项选择题
a2n2+n
9.(2022福建4月百校联合测评,9)已知等差数列{a }的前n项和为S = 1 ,公差为
n n
2
d,则( )
A.a =1
1
B.d=1
C.2S -a =1+3+5+…+(2n-1)
n n
D.S =2a2+2a
2n n n北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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a2+1
答案 ABC 取n=1,则a = 1 ,解得a =1,即A正确;
1 1
2
n2+n
由A可知,S = ,则d=S -2a =3-2=1,即B正确;
n 2 2 1
由A、B可知a =1+(n-1)×1=n.
n
n(1+2n−1)
因为2S -a =n2,且1+3+…+(2n-1)= =n2,即C正确;因为S =
n n 2 2n
(2n) 2+2n
=2n2+n=2a2+a ,即D错误.
2 n n
1
10.(2022江苏泰州兴化4月质检,10)数列{a }满足a =1,a a = ,n∈N*,S 为数列{a }
n 1 n+1 n 2n n n
的前n项和,则( )
1
A.a = B.a ≤a
4 8 n+1 n
3
C.S <3 D.S < S
n n 2 n-1
a a a 1 1 1
答案 BC 根据题意得
n+2 n+1= n+2=
,因为a =1,且a a = ,所以a = ,所以{a }的
a a a 2 1 2 1 2 2 2 n
n+1 n n
1 1
奇数项和偶数项都构成公比为 的等比数列,且首项分别为a =1,a = .对于A,a =a ×
2 1 2 2 4 2
1 1 (1) n−1 (1) n−1
= ,所以A错误;对于B,若n为奇数,则数列的通项公式为a =1× 2 = 2 ;若
2 4 n 2 2
1 (1) n−2 (1) n
n为偶数,则数列的通项公式为a = × 2 = 2,
n 2 2 2
(1) n−1 (1) n+1 (1) n (1) n
当n为奇数时,a = 2 ,a = 2 ,此时a <a ,当n为偶数时,a = 2,a = 2,
n 2 n+1 2 n+1 n n 2 n+1 2
1 1 1 1 1 1
此时a =a ,综上,得a ≤a ,所以B正确;对于C,数列{a }为1, , , , , , ,…,当
n+1 n n+1 n n 2 2 4 4 8 8
3[ (1) n]
1− 2
n为偶数时,得S =
2 2
=3·
[
1−
(1) n
2
]
<3,当n为奇数时,得S =1+
n n
1 2
1−
2
[ (1) n−1]
1· 1− 2
2
=1+2·
[
1−
(1) n−
2
1]
<3,所以C正确;对于D,当n=2时,可得S 2 =1+
1 2
1−
2
1 3 3 3 3
= , S1= ,此时S = S ,所以D错误.故选BC.
2 2 2 2 n 2 n-1北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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11.(2022河北九师联盟一模,9)已知等差数列{a }的前n项和为S ,且满足a =-4,S =-40,
n n 5 5
则 ( )
A.a =6
10
B.S =-30
10
C.当且仅当n=6时,S 取最小值
n
D.a +a +a +a +a +a =0
5 6 7 8 9 10
{ a +4d=−4,
1
答案 AB 设数列{a }的公差为d,由a =-4,S =-40,得 5×4 解得
n 5 5 5a + d=−40.
1 2
a =-12,d=2,所以a =2n-14,S =n2-13n,则a =6,S =-30,A,B正确;令a =2n-14≤0,得n≤7,
1 n n 10 10 n
且a =0,则n=6或n=7时,S 取最小值,C不正确;因为a +a +a +a +a =5a =0,所以
7 n 5 6 7 8 9 7
6×5
a 5 +a 6 +a 7 +a 8 +a 9 +a 10 =6≠0 或a 5 +a 6 +a 7 +a 8 +a 9 +a 10 =6a 5 + 2 d=6×(-4)+15×2=6≠0 ,D不正
确.故选AB.
12.(2022重庆金太阳联考,11)朱世杰是历史上伟大的数学家之一,他所著的《四元玉
鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只
云初日差六十四人,次日转多七人,每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1 864
人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天比前一天多派7人,官府向修筑
堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确的有 ( )
A.将这1 864人派遣完需要16天
B.第十天派往筑堤的人数为134
C.官府前6天共发放1 467升大米
D.官府前6天比后6天少发放1 260升大米
答案 ACD 记数列{a }为第n天派遣的人数,数列{b }为第n天发放的大米升数,则
n n
{a }是以64为首项,7为公差的等差数列,{b }是以192为首项,21为公差的等差数列,
n n
7k(k−1)
a =64+7×9=127,B不正确.设第k天派遣完这1 864人,则64k+ =1 864,解得
10 2
6×5
k=16,A正确.官府前6天共发放192×6+ ×21=1 467升大米,C正确.官府前6天比后
2
6天少发放21×10×6=1 260升大米,D正确.
三、填空题
1 1 3
13.(2023届长春外国语学校期中,15)已知等比数列{a }的公比q>1, + = ,a =2√2
n a a 4 3
2 4
,则a = .
2n
答案 2n北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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1 1 3
解析 由 + = ,得4a +4a =3a a ,又a a =a2 =8,∴4a +4a =24,∴a +a =6,联立
a a 4 2 4 2 4 2 4 3 2 4 2 4
2 4
{a +a =6, {a =2, {a =4, a a 1
2 4 解得 2 或 2 ∴ 4 =q2=2或 4=q2= ,由q>1,得q2=2,∴q=√2
a a =8, a =4 a =2, a a 2
2 4 4 4 2 2
,∴a =a ·q2n-1=a ·q2n-2=2×(√2)2n-2=2n.
2n 1 2
n 1
14.(2017课标Ⅱ,15,5分)等差数列{a }的前n项和为S ,a =3,S =10,则∑❑ = .
n n 3 4 S
k=1 k
2n
答案
n+1
{ a +2d=3, {a =1,
解析 设{a }的公差为d,则 1 ∴ 1 ∴a =n.∴前n项和S =1+2+…+n=
n 4a +6d=10, d=1, n n
1
n(n+1) ,∴ 1 = 2 =2 (1 − 1 ) ,∴ ∑❑ n 1 =2 1- 1 + 1 − 1 +…+ 1 − 1 =2
2 S n(n+1) n n+1 S 2 2 3 n n+1
n k=1 k
( 1 ) n 2n
1− =2· = .
n+1 n+1 n+1
15.(2023届江西赣州赣县第三中学期中,14)已知等差数列{a }的前n项和为S ,并且
n n
S >0,S <0,若S ≤S 对n∈N*恒成立,则正整数k的值为 .
10 11 n k
答案 5
10(a +a )
解析 S = 1 10 =5(a +a )=5(a +a )>0,所以a +a >0.
10 2 1 10 5 6 5 6
11(a +a )
S = 1 11 =11a <0,所以a <0.结合a +a >0,可得a >0.所以当n=5时,S 取得最大值
11 6 6 5 6 5 n
2
S .
5
要使S ≤S 对n∈N*恒成立,则正整数k的值为5.
n k
16.(2023届安徽蚌埠质检一,15)有两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,由
这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项和为
.
答案 1 472
解析 由题意可知,等差数列2,6,10,…,190中,公差d =4,等差数列2,8,14,…,200中,
1
公差d =6.
2
∵4,6的最小公倍数是12,∴由这两个等差数列的公共项组成的新数列的公差d=12.设
新数列为{c },则c =2,所以c =2+12(n-1).
n 1 n
50
∵c ≤190,∴2+(n-1)×12≤190,解得n≤ ,n∈N*,∴n≤16,n∈N*.
n 3
∴c =2+(16-1)×12=182.
16北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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∴由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列2,14,26,…,182的各
16
项之和S = ×(2+182)=1 472.
16 2
四、解答题
17.(2022广东深圳二调,17)已知数列{a }的前n项和S =2a -3.
n n n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
1 1 1 13
(2)若 + +…+ < ,求满足条件的最大正整数n.
a a a 20
1 2 n
解析 (1)因为S =2a -3,所以a =S -S =(2a -3)-(2a -3),整理得a =2a ,n∈N*,
n n n+1 n+1 n n+1 n n+1 n
又a =S =2a -3,所以a =3.
1 1 1 1
所以数列{a }是首项为3,公比为2的等比数列,
n
所以a =3×2n-1,n∈N*.
n
{1 } 1 1
(2)由(1)知数列 是首项为 ,公比为 的等比数列,所以
a 3 2
n
1 1 1 2( 1 ) 2( 1 ) 13
+ +…+ = 1− ,令 1− < .
a a a 3 2n 3 2n 20
1 2 n
整理,得2n<40,又n∈N*,所以n=1,2,3,4,5,
所以满足条件的最大正整数n=5.
1
18.(2023届沈阳第四中学月考,18)已知数列{a }满足a ≠0,a =1,a =
n n 1 2 3
,2a a =a ·a +a a (n∈N,n≥2).
n-1 n+1 n-1 n n n+1
{1 }
(1)证明: 是等差数列;
a
n
(2)求a a +a a +a a +…+a a 的值.
1 2 2 3 3 4 2 022 2 023
2 1 1
解析 (1)证明:将2a a =a a +a a 两边同除以a a a 得 = + (n≥2),
n-1 n+1 n-1 n n n+1 n-1 n n+1 a a a
n n+1 n−1
1 1 1 1 1 1 {1 }
所以 − = − =…= − =2,所以数列 是等差数列.
a a a a a a a
n+1 n n n−1 2 1 n
1 1
(2)由(1)可知 =1+2(n-1)=2n-1,所以a = .
a n 2n−1
n
1 1( 1 1 )
因为a ·a = = − ,
n n+1 (2n−1)(2n+1) 2 2n−1 2n+1
所以a a +a a +a a +…+a a
1 2 2 3 3 4 2 022 2 023
1( 1 1 1 1 1 )
= 1− + − +…+ −
2 3 3 5 4 043 4 045
