北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
3.5 函数与方程及函数的综合应用
基础篇
考点一 函数的零点
1.(2022华大新高考联盟3月教学质量测评,5)函数f(x)=4x-4x2的零点个数为 (
)
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
2.(2019课标Ⅲ,5,5分)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 B
3.(2022南京师范大学附中期中,7)用二分法研究函数f(x)=x3+2x-1的零点时,第一次计
算,得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x ),则x 等于( )
1 1
A.1 B.-1 C.0.25 D.0.75
答案 C
4.(多选)(2022湖南师大附中三模,11)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-2).当
{ 1−x,x∈[0,1),
x∈[0,2)时,f(x)= 2 若函数g(x)=f(x)-k在[0,+∞)上的零点从小到
−1,x∈[1,2).
3−x
大恰好构成一个等差数列,则k的可能取值为 ( )
A.0 B.1 C.√2D.√2-1
答案 ABD
6
5.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)= -log x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是
x 2
( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
答案 C
6.(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①当k=0时, f(x)恰有2个零点;
②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;
③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;
④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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考点二 函数模型及应用
1.(2023届河北衡水部分学校月考,3)已知某种食品保鲜时间与储存温度有关,满足函数
关系y=ekx+b(y为保鲜时间,x为储存温度).若该食品在冰箱中0 ℃的保鲜时间是144小时,
在常温20 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在高温40 ℃的保鲜时间是 ( )
A.16小时 B.18小时
C.20小时 D.24小时
答案 A
2.(2022广东惠州调研,8)某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度
d(每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度l对保温效果的影响,利用热传导定
λ |ΔT|
1
律得到热传导量q满足关系式q= ( λ l ),其中玻璃的热传导系数λ =4×10-3焦耳/(厘
d 1 +2 1
λ d
2
米·度),不流通、干燥空气的热传导系数λ =2.5×10-4焦耳/(厘米·度),|ΔT|为室内外温度差,
2
q值越小,保温效果越好,现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表:
型
每层玻璃厚度d(单位:厘米) 玻璃间夹空气层厚度l(单位:厘米)
号
A型 0.4 3
B型 0.3 4
C型 0.5 3
D型 0.4 4
则保温效果最好的双层玻璃的型号是 ( )
A.A型 B.B型 C.C型 D.D型
答案 D
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有
学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic
K
模型:I(t)= ,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏
1+e−0.23(t−53)
制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )
A.60 B.63 C.66 D.69
答案 C
4.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.
0
基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.
在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间
t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R ,T近似满足R =1+rT.有学者基于已有数据估
0 0北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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计出R =3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间
0
约为(ln 2≈0.69) ( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
答案 B
5.(2022山东潍坊安丘等三县测试,6)某投资机构从事一项投资,先投入本金a(a>0)元,
b
得到的利润是b(b>0)元,收益率为 (%),假设在第一次投资的基础上,此机构每次都定
a
期追加投资x(x>0)元,得到的利润也增加了x元,若使得该项投资的总收益率是增加的,
则 ( )
A.a≥b B.a≤b C.a>b D.a<b
答案 C
6.(2022山东德州一中期中,20)某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元,每生产x
1
千件,需另投入成本C(x)万元,当年产量不足50千件时,C(x)= x2+10x,当年产量不小
2
7 200
于50千件时,C(x)=52x+ -1 200,已知每千件商品售价为50万元,通过市场分析,
x+1
该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析 (1)当0<x<50时,L(x)=50x- (1 x2+10x ) −200=− 1 x2+40x-200,
2 2
7 200 ( 7 200)
当x≥50时,L(x)=50x-52x- +1 200−200=1 000− 2x+ ,
x+1 x+1
1
{ − x2+40x−200,0<x<50,
2
所以L(x)=
( 7 200)
1 000− 2x+ ,x≥50.
x+1
1 1
(2)当0<x<50时,L(x)=- x2+40x−200=− (x-40)2+600,当x=40时,L(x)取得最大值,
2 2
L(x) =600,
max
( 7 200) 7 200
当x≥50时,L(x)=1 000- 2x+ ,其中2x+ =2(x+1)+
x+1 x+1
7 200 √ 7 200 7 200
−2≥2 2(x+1)· -2=238,当且仅当2(x+1)= ,即x=59时,等号成
x+1 x+1 x+1
立,
( 7 200)
所以L(x)=1 000- 2x+ ≤1 000-238=762.
x+1北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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因为600<762,所以当年产量为59千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,为
762万元.
综合篇
考法一 判断函数零点所在区间和零点的个数
1.(2022辽宁葫芦岛协作校月考,7)已知a是函数f(x)=ln x+x2-2的零点,则ea-1+a-5的值
为 ( )
A.正数 B.0
C.负数 D.无法判断
答案 C
{ 1
lnx− ,x>0,
2.(2022山东省实验中学诊断性训练,8)已知函数f(x)= x 则函数y=f[f(x)
x2+2x,x≤0,
+1]的零点个数是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
3.(2022海南直辖县级单位三模,8)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为
偶函数,当x∈(-1,1]时,f(x)=-x2+1,则函数y=f(x)+lg x有 个零点( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 C
{kx+1,x≤0,
4.(多选)(2021山东枣庄三中月考一)已知函数f(x)= 下列是函数y=f(f(x))
log x,x>0,
2
+1的零点个数的4个判断,其中正确的是 ( )
A.当k>0时,有3个零点
B.当k<0时,有2个零点
C.当k>0时,有4个零点
D.当k<0时,有1个零点
答案 CD
1
5.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,13)已知函数f(x)=2ln(2x)-x2+ ,则函数f(x)的
4
零点个数为 .
答案 2
6.(2023届重庆一中月考,15)函数f(x)=sin πx-ln|2x-3|的所有零点之和为 .
答案 9北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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考法二 已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)
1.(2023届长春六中月考,7)若函数f(x)=ln x+x2+a-1在区间(1,e)内有零点,则实数a的
取值范围是 ( )
A.(-e2,0) B.(-e2,1)
C.(1,e) D.(1,e2)
答案 A
2.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=
( )
1 1 1
A.- B. C. D.1
2 3 2
答案 C
3.(2022重庆缙云教育联盟诊断,7)已知函数f(x)=|x+1|+|x-1|+2cos x,若函数g(x)=f(x)-a
7 28
恰有三个零点,m+n=a(其中m,n为正实数),则 + 的最小值为 ( )
m+1 n+2
30
A.9 B.7 C. D.4
7
答案 A
{2√x,0≤x≤1,
1
4.(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)= 1 若关于x的方程f(x)=-
,x>1. 4
x
x+a(a∈R)恰有两个互异的实数解,则a的取值范围为 ( )
[5 9] (5 9]
A. , B. ,
4 4 4 4
(5 9] [5 9]
C. , ∪{1} D. , ∪{1}
4 4 4 4
答案 D
{xex,x≤1,
5.(多选)(2022辽宁抚顺三模,10)已知函数f(x)= ex 下列选项正确的是 (
,x>1,
x
)
A.点(0,0)是函数f(x)的零点
B. x ∈(0,1), x ∈(1,3),使f(x )>f(x )
1 2 1 2
C.函数f(x)的值域为[-e-1,+∞)
∃ ∃
D.若关于x的方程[f(x)]2-2af(x)=0有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是
{ 1 }
(0,+∞)∪ −
2e北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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答案 CD
{m,m−n≤1,
6.(2022山东青州打靶,6)对实数m与n定义新运算“ ”:m n= n,m−n>1. 设
函数f(x)=(x-x2) (x2-2),x∈R.若方程f(x)-c=0有两个不相等的实数根,则实数c的取
值范围是 ( )
( 3)
A.(-∞,-2]∪ −1,
2
[ 3]
B.(-∞,-2)∪ −1,−
4
( 1) (1 )
C. −∞,− ∪ ,+∞
4 4
( 1) [1 )
D. −1,− ∪ ,+∞
4 4
答案 B
(1 )
7.(2022广东肇庆一中月考,14)若函数f(x)=x2-ax+1在区间 ,3 上有零点,则实数a的
2
取值范围是 .
[ 10)
答案 2,
3
{log (1−x),x<0,
2
8.(2023届哈尔滨师大附中月考,16)设a∈R,函数f(x)= | a | 若函数f(x)
x+ −4 ,x>0.
x
的最小值为0,则a的取值范围是 ;若函数y=f(x)-1有4个零点,则a的值是
.
9
答案 (-∞,4]
4
专题综合检测
一、单项选择题
{2x−1,x≤0,
3
1.(2022海南学业水平诊断一,3)已知函数f(x)= x 若f(x)=- ,则x= (
1− ,x>0, 4
4
)
A.7 B.-2 C.2 D.7或-2
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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√x−1
2.(2022海南三亚华侨学校月考,5)y= -log (4-x2)的定义域是 ( )
2
2x
A.(-2,0)∪(1,2) B.(-2,0]∪(1,2)
C.(-2,0)∪[1,2) D.[-2,0]∪[1,2]
答案 C
{ f(x−3),x≥0,
3.(2022重庆七中期中,3)已知函数f(x)= 则f(2 021)= ( )
log (−x)+1,x<0,
2
A.1 B.2 C.log 6 D.3
2
答案 A
4
4.(2022重庆云阳江口中学期末,5)已知函数f(x)=x- ,若f(x)≤m对任意x∈[1,4]恒成
x
立,则实数m的取值范围为 ( )
A.(-∞,-3) B.(-∞,-3]
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
答案 D
5.(2022河北衡水中学模拟一,2)已知幂函数f(x)=x2+m是定义在区间[-1,m]上的奇函数,
则f(m+1)= ( )
A.8 B.4 C.2 D.1
答案 A
9
6.(2022广东江门陈经纶中学月考,5)已知函数f(x)=x-4+ ,x∈(0,4),当x=a时,f(x)
x+1
(1) |x+b|
取得最小值b,则函数g(x)= 的图象为 ( )
a
A B
C D
答案 B
7.(2022海南海口四中期中,4)已知f(x)是定义在R上的偶函数且f(x+3)=f(x-1),若当
x∈[-2,0]时,f(x)=3-x+1,则f(2 021)=( )
A.6 B.4 C.2 D.1
答案 B
