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2024版《5年高考3年模拟》A版
专题三 函数的概念与基本初等函数
一、单项选择题
1.(2023届安徽安庆怀宁二中月考,5)若函数y=√x2+2x+a+ln(x+2)的定义域为[1,+∞),则
a= ( )
A.-3 B.3 C.1 D.-1
{x2+2x+a≥0,
答案 A 由题意知 的解集为[1,+∞),∴1是方程x2+2x+a=0的一个解,
x+2>0
∴1+2+a=0,解得a=-3,故选A.
{(3a−2)x−4a,x<1,
2.(2023届河南部分重点中学测试,7)已知函数f(x)= log x,x≥1 的值域为R,则
1
2
实数a的取值范围是 ( )
[ 2) ( 2 ]
A. −2, B. − ,2
3 3
( 2) ( 2)
C. −∞,− D. 0,
3 3
g
答案 A 当x≥1时, f(x)=lo 1x,其值域为(-∞,0].
2
当x<1时, f(x)=(3a-2)x-4a的值域应包含(0,+∞),
2
所以3a-2<0且(3a-2)×1-4a≤0,解得-2≤a< .
3
f(x2
)
3.(2023届河南南阳月考,5)若函数f(x+1)的定义域为[-1,15],则函数g(x)= 的定义域
√x−1
为 ( )
A.[1,4] B.(1,4]
C.[1,14] D.(1,14]
{0≤x2≤16,
答案 B 因为x∈[-1,15],所以0≤x+1≤16,要使g(x)有意义,只需 解得1<x≤4.
x−1>0,
故选B.
4.(2023届陕西渭南蒲城中学质量检测,9)已知函数f(x-1)=x+√x−1,则 ( )
A.f(x)=x+√x
B.f(x)的定义域为[0,+∞)
C.f(x)有极大值
D.f(x)的值域为[0,+∞)北京曲一线图书策划有限公司
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答案 B 令t=x-1,则x=t+1,由f(x-1)=x+√x−1可得f(t)=t+1+√t,即f(x)=x+√x+1,故A错误;
要使f(x)=x+√x+1有意义,只需x≥0,故f(x)的定义域为[0,+∞),故B正确; 由f(x)=x+√x+1在
[0,+∞)上单调递增,可得f(x) =f(0)=1, f(x)没有极大值,故C、D错误.故选B.
min
5.(2023届安徽安庆怀宁二中月考,6)已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=x3-sin x+b+2,则
f(a)+f(b)的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.不能确定
答案 A 因为f(x)为奇函数,定义域为[a-4,2a-2],所以a-4+2a-2=0且f(0)=b+2=0,解得
a=2,b=-2,即f(x)=x3-sin x,所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=0.故选A.
6.(2019课标Ⅲ,11,5分)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( )
( 1) 3 2
A. f log
34
>f(
2
− 2)>f(
2
− 3)
( 1) 2 3
B. f log
34
>f(
2
− 3)>f(
2
− 2)
3 2 ( 1)
C. f( − )>f( − )>f log
2 2 2 3 34
2 3 ( 1)
D. f( − )>f( − )>f log
2 3 2 2 34
答案 C ∵f(x)是定义域为R的偶函数,∴f(-x)=f(x).
( 1)
∴f log =f(-log 4)=f(log 4).
34 3 3
2 3
∵log
3
4>log
3
3=1,且1>
2
−
3>2
−
2
>0,
2 3
∴log 3 4> 2 − 3>2 − 2>0.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递减,
3 2 ( 1)
∴f(
2
− 2)>f(
2
− 3)>f(log
3
4)=f log
34
.故选C.
1
7.(2023届西南“三省三校”联考一,4)若a=50.1,b= log 3,c=log 0.8,则a,b,c的大小关系为
2 2 3
( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
1
答案 A ∵a=50.1>50=1,b= log23=log2√3∈(0,1),c=log 0.8<log 1=0,∴a,b,c的大小关
2 3 3
系为a>b>c,故选A.北京曲一线图书策划有限公司
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8.(2022湖南长郡中学模拟,8)已知函数f(x)满足:对任意的x∈R, f(x)+f(-x)=2,若函数y=f(x)
2
与y=2-2x+1 图象的交点为(x
i
,y
i
)(i=1,2,…,n),则 (x
i
+y
i
)的值为( )
A.0 B.2n C.n D.-n
答案 C 由对任意的x∈R, f(x)+f(-x)=2,可知f(x)的图象关于(0,1)对称.
2 2x−1 2x−1 2−x−1 1−2x
y=2- =1+ ,设g(x)= ,则g(x)的定义域为R且g(-x)= = =-g(x),
2x+1 2x+1 2x+1 2−x+1 2x+1
2 2
故g(x)为奇函数,其图象关于原点对称,又y=2- =1+g(x),所以y=2- 的图象关于
2x+1 2x+1
(0,1)对称.
2
故函数y=f(x)与y=2- 图象的各交点关于(0,1)对称.
2x+1
n
∑❑y
不妨设x <x <…<x ,则 =0,且y +y =y +y =…=y+y =2,其中1≤k≤n,故2 i
1 2 n 1 n 2 n-1 k n-k+1 i=1
=(y +y )+(y +y )+…+(y +y )=2n,所以 故选C.
1 n 2 n-1 n 1
二、多项选择题
9.(2022辽宁丹东一模,11)设a>0,a≠1,b>0,b≠1, f '(x)为函数f(x)=ax+bx的导函数,已知f(x)为
偶函数,则 ( )
A. f(1)的最小值为2
B. f '(x)为奇函数
C. f '(x)在R内为增函数
D. f(x)在(0,+∞)内为增函数
ax+bx
答案 BCD 易知函数的定义域为R. f(-x)=a-x+b-x= ,由f(-x)=f(x)可得(ab)x=1,从而
(ab) x
ab=1,于是f(x)=ax+a-x.f(1)=a+a-1≥2√a·a−1=2(当且仅当a=1时取“=”),因为a≠1,所以f(1)>2.
所以A错误,由f(x)=ax+a-x,得f '(x)=(ax-a-x)ln a,因为f '(-x)=(a-x-ax)ln a=-(ax-a-x)ln a=-f '(x),所
以f '(x)为奇函数,所以B正确,因为f ″(x)=(ax+a-x)(ln a)2>0,所以f '(x)在R内为增函数,所以
(ax
)
2−1 (ax
)
2−1
C正确,f '(x)=(ax-a-x)ln a= ln a,当a>1,x>0时, f '(x)>0,当0<a<1,x>0时,
ax ax
<0,ln a<0,则f '(x)>0.综上,当x>0时, f '(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)内为增函数,所以D正确.故选
BCD.
1
10.(2022南京师大附中开学考,10)当0<x≤ 时,4x≤log x,则a的值可以为 ( )
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√2 √3 √6
A. B. C. D.√2
2 2 3
答案 ABC 记函数f(x)=4x,g(x)=log x,由图1知,当a>1时,不满足题意;
a
图1
图2
1 (1) (1)
当0<a<1时,如图2,要使0<x≤ 时,不等式4x≤log x恒成立,只需满足f ≤g ,即
2 a 2 2
1 1 1 √2
42≤loga ,即2≤log ,解得 ≤a<1.故选ABC.
2 a2 2
11.(2021江苏南通一模,12)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时, f(x)=ex(x+1),则
下列命题正确的是 ( )
A.当x>0时, f(x)=-e-x(x-1)
B.函数f(x)有3个零点
C. f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1)
D. x ,x ∈R,都有|f(x )-f(x )|<2
1 2 1 2
答 ∀ 案 BCD 设x>0,则-x<0, f(-x)=e-x(-x+1),
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=e-x(x-1), f(0)=0,
因此函数f(x)有三个零点:0,±1.
当x<0时, f(x)=ex(x+1),则f '(x)=ex(x+2),
−1
可得当x=-2时,函数f(x)取得极小值f(-2)= ,即最小值作出y=f(x)的图象如图所示.
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f(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).
x ,x ∈R,都有|f(x )-f(x )|≤|f(0+)-f(0-)|<2.
1 2 1 2
∀
综上,BCD都正确.
12.(2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,11)已知函数f(x)=x|x-a|,其中a为实数,则
( )
A.函数f(x)有两个不同零点0和a
f(x )−f(x )
B.若对于任意两个不同的实数x ,x ,都有 2 1 >0,则a=0
1 2 x −x
2 1
C.若f(x)在[0,1]上单调递增,则a≤0或a≥2
D.若f(x)=1有三个不同的实数根,则a>2
答案 BCD 当a=0时, f(x)=x|x|只有一个零点,A错误;
f(x )−f(x )
若对于任意两个不同实数x ,x ,都有 2 1 >0,则f(x)在定义域R上是单调递增函
1 2 x −x
2 1
数,结合图象知a=0,B正确;
{ x(x−a),x≥a,
f(x)=x|x-a|=
−x(x−a),x<a,
当a=0时, f(x)在R上单调递增,所以f(x)在[0,1]上单调递增;
(a ) ( a)
当a<0时, f(x)在(-∞,a)和 ,+∞ 上单调递增,在 a, 上单调递减,
2 2
所以x∈[0,1]时, f(x)=x(x-a)单调递增;
( a) (a )
当a>0时, f(x)在 −∞, 和(a,+∞)上单调递增,在 ,a 上单调递减,
2 2
a
若f(x)在x∈[0,1]上单调递增,则 ≥1,所以a≥2.
2
综上,若f(x)在[0,1]上单调递增,则实数a的取值范围是(-∞,0]∪[2,+∞),C正确;
(a)
f(x)=1有三个不同的实数根,则由C的讨论结合图象知a>0且f >1,所以a>2,D正确.
2
三、填空题
{log x,x>2, 1
13.(2023届甘肃武威凉州诊断二,15)已知函数f(x)= 2 若f(a)= ,则实数a=
2x,x≤2, 2
.
答案 -1北京曲一线图书策划有限公司
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1 { log a= 1 , { 2a= 1 ,
解析 若f(a)= ,则 2 2 或 2 解得a=-1.
2
a>2 a≤2,
14.(2022安徽淮南第一中学月考三,14)已知f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单
调递减,则满足不等式f(a)<f(2a-1)的a的取值范围是 .(用区间表示)
[ 1)
答案 0,
3
解析 ∵f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上单调递减,∴f(x)在[0,1]上单调递增,
1
∴f(a)<f(2a-1) f(|a|)<f(|2a-1|) |a|<|2a-1|,两边平方整理得3a2-4a+1>0,解得a< 或a>1,又
3
⇔ ⇔
{ −1≤a≤1,
f(x)的定义域为[-1,1],∴ 解得0≤a≤1,
−1≤2a−1≤1,
[ 1)
综上,a的取值范围是 0, .
3
15.(2023届山西临汾期中,14)函数y=f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=f(2-x), f(-x2)=-f(x2+2),
| (π )| (685)
当x∈[0,4)时, f(x)= sin x ,则f = .
2 3
1
答案
2
解析 由f(x+2)=f(2-x)可知f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(-x2)=f(4+x2),又f(-x2)=-
f(x2+2),所以f(x2+4)=-f(2+x2),所以f(2+x2)=-f(x2),所以f(x2+4)=f(x2),
故当x≥0时, f(x) 是周期为4的函数,所以f
(685) ( 1) ( 1) (1) | π| 1
=f 228+ =f 57×4+ =f = sin = .
3 3 3 3 6 2
{ |x|, x≤m,
16.(2016山东,15,5分)已知函数f(x)= 其中m>0.若存在实数b,使
x2−2mx+4m, x>m,
得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .
答案 (3,+∞)
解析 f(x)的大致图象如图所示,北京曲一线图书策划有限公司
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若存在b∈R,使得方程f(x)=b有三个不同的根,只需A点在B点的下方,即4m-m2<m,又
m>0,所以m>3.
四、解答题
17.(2023届甘肃武威凉州诊断二,22)新冠肺炎疫情发生以后,口罩供不应求,某口罩厂日夜
加班生产,为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元,每生产x 万箱,需另投入成
1
本p(x)万元,当产量不足60万箱时,p(x)= x2+50x;当产量不小于60万箱时,p(x)=101x+
2
6 400
-1 860,若每箱口罩售价100元,通过市场分析,该口罩厂生产的口罩可以全部销售
x
完.
(1)求口罩销售利润y(万元)关于产量x(万箱)的函数关系式;
(2)当产量为多少万箱时,该口罩生产厂在生产中所获得利润最大?
解析 (1)当0<x<60时,y=100x- (1 x2+50x ) −400=− 1 x2+50x-400.
2 2
( 6 400 ) ( 6 400)
当x≥60时,y=100x- 101x+ −1 860 −400=1 460− x+ .
x x
1
{− x2+50x−400,0<x<60,
2
所以y=
( 6 400)
1 460− x+ ,x≥60.
x
1 1
(2)当0<x<60时,y=- x2+50x−400=− (x-50)2+850,
2 2
当x=50时,y取得最大值,最大值为850万元.
( 6 400) √ 6 400 6 400
当x≥60时,y=1 460- x+ ≤1 460−2 x· =1 300,当且仅当x= ,即
x x x
x=80时,y取得最大值,最大值为1 300万元.
综上,当产量为80万箱时,该口罩生产厂在生产中获得利润最大,最大利润为1 300万元.
18.(2023届河南部分重点中学测试,21)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=log (2x+1)-
2
kx,g(x)=f(x)+2x.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)设h(x)=x2-2mx+5,若存在x ∈[0,2],对任意的x ∈[1,4],都有g(x )≤h(x ),求实数m的取值
1 2 1 2
范围.
解析 (1)由f(x)是定义在R上的偶函数可知log (2-x+1)+kx-log (2x+1)+kx=0,
2 2
