文档文本内容
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
２７
３．５ 函数的图象
§
翻折变换
（４）
保留ｘ轴及ｘ轴上方图象
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ｘ） ．
＝ （ ） 将ｘ轴下方图象翻折上去→⑨ ＝｜ ｜
考点一 函数图象的识辨 保留ｙ轴上及ｙ轴右边图象
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ ｘ ） ．
１．利用描点法作函数的图象 ＝ （ ） 作ｙ轴右边图象关于ｙ轴对称的图象→⑩ ＝ ｜ ｜
确定函数的定义域 化简函数解析式 讨论函数
３．函数图象的对称性
（１） ；（２） ；（３）
的性质 奇偶性 单调性 周期性等 列表 尤其注意特殊 若ｙ ｆ ｘ 满足ｆ ａ ｘ ｆ ｂ ｘ 则ｆ ｘ 的图象关于直
（ 、 、 ）；（４） （ （１） ＝ （ ） （ ＋ ）＝ （ － ）， （ ）
点 零点 最大值与最小值 与坐标轴的交点 描点 连 ａ ｂ
， ， ， ）；（５） ；（６） 线 ｘ ＝ ＋ 对称．
线． 用平滑的曲线连点 ２
（ ） 若ｙ ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｂ ｆ ａ ｘ 则ｆ ｘ 的图象关于
２．图象变换 （２） ＝ （ ） （ ）＝２ －（２ － ）， （ ）
点 （ａ，ｂ） 中心对称．
平移变换
（１） 函数ｙ ｆ ａ ｘ 与 ｙ ｆ ｂ ｘ 的图象的对称轴为直线
（３） ＝ （ ＋ ） ＝ （ － ）
ｂ ａ
ｘ － ．
＝
２
函数ｙ ｆ ｘ ａ ｂ 与 ｙ ｆ ａ ｘ ｂ 的图象关于点
（４） ＝ （ － ）＋ ＝－ （ － ）＋
（ａ，ｂ） 对称．
对称变换 考点二 函数图象的应用
（２）
关于ｘ轴对称 函数图象是对函数关系的一种直观 形象的表示 是体现数
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ｘ） 、 ，
＝ （ ） →① ＝－ ； 形结合思想的基础 应解决好以下三个方面的问题
关于ｙ轴对称 ， ：
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ ｘ） 作图 应注意在定义域内依据函数的性质选取关键的一
＝ （ ） →② ＝ － ； （１） ：
ｙ ｆ ｘ 关于直线ｘ ＝ ａ对称 ｙ ｆ（ ａ ｘ） 部分点 ； ∙∙
＝ （ ） →③ ＝ ２ － ；
识图 在观察 分析图象时 要注意到图象的分布及变化
关于原点对称
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ ｘ） ． （２） ： 、 ，
＝ （ ） →④ ＝－ － 趋势 具有∙的∙性质 解析式与图象的关系
伸缩变换 、 、 ；
（３） 用图 函数的图象形象地显示了函数的性质 充分利用
（３） ： ，
ω 横坐标 伸长到原来的 １ 倍 图象提供∙的∙信息可以研究函数的定义域 值域 单调性 奇偶性
０＜ ＜１， ⑤ ω 、 、 、 、
ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ（ωｘ） 对称性等问题 利用函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ ｇ ｘ 的图象交点个数判
＝ （ ） →⑦ ＝ ； ， ＝ （ ） ＝ （ ）
ω 横坐标 缩短到原来的 １ 断ｆ ｘ ｇ ｘ 的解的个数及求不等式的解集等．
＞１， ⑥ ω （ ）＝ （ ）
Ａ 纵坐标缩短到原来的Ａ
ｙ ｆ ｘ ０＜ ＜１， ｙ Ａｆ（ｘ） ．
＝ （ ） Ａ 纵坐标伸长到原来的Ａ倍→⑧ ＝
＞１，
考法一 识图与辨图问题的常见类型及解题策略
例１ （２０１９山西太原名校联盟，４）函数ｙ ｘ２ ｜ ｘ ｜
（１） ＝ －２ ｘ Ｒ 的部分图象可能是 （２０２１届湖南９月份百校联考，５）函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ
（ ∈ ） （ ） （２） （ ）＝ ｓｉｎ －
ｘ ｘ在 上的图象大致为
ｃｏｓ ［－π，π］ （ ）
（２０２０普通高等学校招生全国统一模拟考试）已知函
（３）
数ｆ ｘ 的图象如图所示 则ｆ ｘ 可以为
（ ） ， （ ） （ ）
A
版
高
考
数
学
／
２８
２ ２
象关于ｙ轴对称，排除 ；ｆ（ ） π ，排除 ； ｆ（ ） π ，
Ｃ π ＝－ ＜０ Ｂ ２π ＝ ＞０
２０ ５
排除 ．故选Ａ．
Ｄ
答案 Ａ
例 （２０２０ 江西南昌四校联考，７） 函数 ｆ ｘ
（ ） ＝
ｆ ｘ ｘ ３ ｆ ｘ ｅ ｘ －ｅ － ｘ ç æ è ２ ｘ－１ ö ø ÷ ｓｉｎ ｘ的图象大致形状是 （ ）
Ａ． （ ）＝ － ｘ Ｂ． （ ）＝ ｘ １＋ｅ
３
ｘ
｜ ｜
ｆ ｘ ２ ｘ ｆ ｘ ｅ
Ｃ． （ ）＝ ｘ － Ｄ． （ ）＝ ｘ
解析 （ ）显然函数是偶函数，排除 ， ．取ｘ ，则ｙ ．
１ Ｂ Ｄ ＝０ ＝－１
排除 ．故选 ．
解析 易知ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ．
Ａ Ｃ
（
２
）因为ｆ（
－
ｘ）
＝－
ｘ２
ｓｉｎ
ｘ
＋
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＝－
ｆ（ｘ），所以ｆ（ｘ）为奇函
ｆ（ｘ） ç
æ
２
ö
÷ ｘ １－ｅ
ｘ
ｘ，
( ) ＝è ｘ－１øｓｉｎ ＝ ｘｓｉｎ
数，其图象关于原点对称，故排除 与 ，因为 ｆ π π · １＋ｅ １＋ｅ
Ｃ Ｄ ＝ － ｘ ｘ ｘ
６ １２ 则ｆ（ ｘ） １－ｅ · （ ｘ） ｅ －１·（ ｘ） １－ｅ · ｘ
( ) － ＝ － ｘ ｓｉｎ － ＝ ｘ －ｓｉｎ ＝ ｘ ｓｉｎ
π ，所以排除 ，故选 ． １＋ｅ ｅ ＋１ １＋ｅ
－ ３ ＜０ Ｂ Ａ ｆ（ｘ），
６ ＝
ｘ － ｘ 则ｆ（ｘ）是偶函数，其图象关于ｙ轴对称，排除 ， ，
（ ）首先对 个选项进行奇偶性判断，可知ｆ（ｘ） ｅ －ｅ 为 Ｂ Ｄ
３ ４ ＝ ｘ
当ｘ 时， ｆ（ ） １－ｅ· ，排除 ，故选 ．
偶函数，不符合题意，排除 ； ＝１ １ ＝ ｓｉｎ１＜０ Ａ Ｃ
Ｂ １＋ｅ
其次，对剩下的 个选项在（ ， ）上的零点个数进行判 答案 Ｃ
３ ０ ＋∞
ｘ
｜ ｜
断， ｆ（ｘ） ｅ 在（ ， ）上无零点，不符合题意，排除 ；
＝ ｘ ０ ＋∞ Ｄ 考法二 函数图象的应用
最后对剩下的 个选项进行单调性判断， ｆ（ｘ） ２ ｘ 在 { ｘ２ ｘ ｘ
２ ＝ ｘ － 例２ （多选题）已知函数ｆ ｘ － －２ ， ≤０，若ｘ ｘ
（ ）＝ ｘ ｘ １＜ ２
（ ， ）上单调递减，不符合题意，排除 ．故选 ． ｜ｌｏｇ２ ｜， ＞０，
０ ＋∞ Ｃ Ａ ｘ ｘ 且ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 则下列结论正确的是
答案 （ ）Ｃ （ ）Ａ （ ）Ａ ＜ ３＜ ４， （ １）＝ （ ２）＝ （ ３）＝ （ ４），
１ ２ ３
（ ）
方法总结 识图与辨图问题的常见类型及解题策略 ｘ ｘ ｘ ｘ
Ａ． １＋ ２＝－１ Ｂ． ３ ４＝１
１．由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式 ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
， Ｃ．１＜ ４＜２ Ｄ．０＜ １ ２ ３ ４＜１
利用函数的性质 单调性 奇偶性 过定点等 判断 常用排除法． 解析 作出函数ｆ（ｘ）的图象，如图．
（ 、 、 ） ，
２．已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数
图象的变换 如平移变换 对称变换等 要注意函数ｙ ｆ ｘ 与ｙ
（ 、 ）， ＝ （ ） ＝
ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ 等的相互关系．
（－ ）、 ＝－（ ）、 ＝－（－ ）、 ＝ （｜ ｜）、 ＝｜ （ ）｜
３．借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求
出函数解析式后再判断函数的图象 也可采用 以静观动 即将动
； “ ”，
点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征 从而作出选择．
，
经典例题教师用书
例 （２０２０安徽合肥模拟，５）函数 ｆ ｘ ｓｉｎ
ｘ ｘ２
ｃｏｓ
ｘ
在
由图可知，ｘ
１＋
ｘ
２＝－２
，
－２＜
ｘ
１＜－１
，
（ ）＝ ｘ ＋
２０ 当ｙ 时，由 ｘ ，有ｘ １ ， ；
上的图象大致为 ＝１ ｜ｌｏｇ２ ｜＝１ ＝ ２
［－２π，０）∪（０，２π］ （ ） ２
所以 １ ｘ ｘ ；
＜ ３＜１＜ ４＜２
２
由ｆ（ｘ ） ｆ（ｘ ）有 ｘ ｘ ，
３ ＝ ４ ｜ｌｏｇ２ ３｜＝｜ｌｏｇ２ ４｜
即 ｘ ｘ ，
ｌｏｇ２ ３＋ｌｏｇ２ ４＝０
所以ｘ ｘ ，
３ ４＝１
则ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ （ ｘ ） （ｘ ）２ （ ， ）．故
１ ２ ３ ４＝ １ ２＝ １ －２－ １ ＝ － １＋１ ＋１∈ ０ １
选 ．
ＢＣＤ
答案 ＢＣＤ
方法总结 利用函数的图象研究函数的性质
解析 本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力以 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数
，
其性质
（
单
调性 奇偶性 周期性 最值 值域 零点 常借助于图象研究 但
及数形结合思想． 、 、 、 （ ）、 ） ，
一定要注意性质与图象特征的对应关系．
（ ｘ）
函数的定义域关于原点对称， ｆ （ ｘ） ｓｉｎ －
－ ＝ ｘ ＋ 例３ 若关于 ｘ 的不等式 ｘ ｘ ｍ 的解集为
－ ２ ＋１ ＞ ＋
（ ｘ）２ （ ｘ） ｘ ｘ２ ｘ { }
－ ｃｏｓ － ｓｉｎ ｃｏｓ ｆ（ｘ），故函数 ｆ（ｘ）为偶函数，图 ｘ １ ｘ ．求实数ｍ的值．
＝ ｘ ＋ ＝ － ≤ ＜４
２０ ２０ ２
专
题
三
函
数 概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
２９
解题导引 作出ｙ ＝ ２ ｘ ＋１＝（２ ｘ ＋１） １ ２ ， ｙ ＝ ｘ ＋ ｍ的图象 ， 根 函数ｆ ｘ { ｜ｌｎ ｘ ｜，０＜ ｘ ≤１０， 设方程ｆ ｘ ｔ ｔ Ｒ 的四个不
（ ）＝ ｆ ｘ ｘ （ ）＝ （ ∈ ）
据图象的上下位置求出ｍ的值． （２０－ ），１０＜ ＜２０，
等实根从小到大依次为ｘ ｘ ｘ ｘ 则下列判断中错误的是
解析 作函数ｙ ｘ 及ｙ ｘ ｍ的图象如图所示， １， ２， ３， ４，
＝ ２ ＋１ ＝ ＋
则原不等式的解集等价于函数ｙ ｘ 的图象在ｙ ｘ ｍ （ ）
＝ ２ ＋１ ＝ ＋ ｘ ｘ ｘ ｘ
的图象上方部分的横坐标ｘ的取值范围． Ａ． １＋ ２＋ ３＋ ４＝４０
ｘ ｘ
{ } Ｂ． １ ２＝１
由图可知，要使原不等式的解集为 ｘ １ ｘ ， ｘ ｘ
－ ≤ ＜４ Ｃ． ３ ４＝３６１
２ ｘ ｘ ｘ ｘ
则ｘ ＝４ 是两图象的交点的横坐标，即方程 ２ ｘ ＋１ ＝ ｘ ＋ ｍ Ｄ． ３ ４－２０（ ３＋ ４）＋３９９＝０ { ｘ ， ｘ ，
的解． 解析 由题可知，函数ｆ（ｘ）
＝ ｆ
｜
（
ｌｎ ｜
ｘ）
０
，
＜ ≤１
ｘ
０ 的图象关
２０－ １０＜ ＜２０
ｍ ． {ｘ ｘ ，
∴ ＝ ２×４＋１－４＝－１ 于 直 线 ｘ 对 称， 所 以 有 １＋ ４＝２０ 且 满
＝ １０ ｘ ｘ ，
２＋ ３＝２０
{ ｘ ｘ ，
足 －ｌｎ １＝ｌｎ ２
（ ｘ ） （ ｘ ），
－ｌｎ ２０－ ４ ＝ｌｎ ２０－ ３
{ｘ ｘ ，
从而ｘ ｘ ｘ ｘ ， １ ２＝１
１＋ ２＋ ３＋ ４＝４０ （ ｘ ）（ ｘ ） ，
２０－ ３ ２０－ ４ ＝１
{ｘ ｘ ，
方法总结 利用函数的图象研究不等式 即 １ ２＝１
ｘ ｘ （ｘ ｘ ） ．
３ ４－２０ ３＋ ４ ＋３９９＝０
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时 常将 对照选项可知，选项 错误．故选 ．
， Ｃ Ｃ
不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题 ， 从而利用数形 答案 Ｃ
结合法求解．
例 （２０１８浙江镇海中学 ５ 月模拟，９）已知函数ｆ ｘ
{ ｘ ｘ （ ）＝
例４ 若函数ｆ ｘ ｌｎ （ ＞０）， 与ｇ ｘ ｘ ａ 的 { ｘ ｘ [ ]
（ ）＝ － － ｘ （ ｘ ≤０） （ ）＝ ｜ ＋ ｜＋１ ２ ｜ｌ ｘ － ｎ １ （ ＋１ － ， １ ｘ ） ≤ ｜ １ ， ， ＞１，则方程ｆ （ ｆ （ ｘ ））－２ ｆ （ ｘ ）＋ ４ ３ ＝０ 的实根个数为
图象上存在关于ｙ轴对称的点 则实数ａ的取值范围是
， （ ）
（ ）
Ｒ
Ａ． Ｂ．（－∞，－ｅ］
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６
[ ]
Ｃ．［ｅ，＋∞） Ｄ．⌀ 解析 令ｔ ｆ（ｘ），则方程ｆ（ｆ（ｘ）） ｆ（ｘ） ３ 等价于
解题导引 ＝ －２ ＋ ＝０
４
ｆ（ｔ） ｔ ３ ，作出函数ｙ ｆ（ｔ）和ｙ ｔ ３ 的图象（图略）．易
－２ － ＝０ ＝ ＝２ ＋
２ ２
知有两个不同的公共点，其横坐标分别为 ，ｔ （ ｔ ），再作出
０ ０ １＜ ０＜２
ｙ ｆ（ｘ）和ｙ ，ｙ ｔ 的图象（图略），易判断出其交点个数为 ，
＝ ＝０ ＝ ０ ４
故选 ．
解析 设ｙ ｈ（ｘ）与ｙ ｆ（ｘ）的图象关于ｙ轴对称，则ｈ（ｘ） Ｂ
＝ ＝ 答案 Ｂ
{ （ ｘ），ｘ ，
ｆ（ ｘ） ｌｎ － ＜０ 作出ｙ ｈ（ｘ）与ｙ ｇ（ｘ）的函数图象，如 例 （２０１７ 福建宁德一模，１２） 已知函数 ｆ ｘ
＝ － ＝ － ｘ，ｘ ≥０ ， ＝ ＝ {ｋｘ ｘ （ ） ＝
图所示： ＋３， ≥０，
( )ｘ 若方程ｆ ｆ ｘ 恰有三个实数根 则实数ｋ
１ ｘ （ （ ））－２＝０ ，
， ＜０，
２
的取值范围是
（ ）
Ａ．［０，＋∞） Ｂ．［１，３］
( ] [ ]
１ １
Ｃ． －１，－ Ｄ． －１，－
３ ３
解析 ｆ（ｆ（ｘ）） ， ｆ（ｆ（ｘ）） ，
∵ －２＝０ ∴ ＝２
ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的图象上存在关于ｙ轴对称的点，
∵
∴ ｙ ＝ ｈ（ｘ）与ｙ ＝ ｇ（ｘ）的图象有交点， ∴ ｆ（ｘ） ＝－１ 或ｆ（ｘ） ＝－ １ ｋ （ｋ ≠０ ）．
∴ － ａ ≤－ｅ ，即ａ ≥ｅ ．故选 Ｃ． （ １ ）当ｋ ＝０ 时，作出ｆ（ｘ）的函数图象如图所示：
答案 Ｃ
方法总结 利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本初等函数有关时 可以通过函数图象来研究
，
方程的根 方程ｆ ｘ 的根就是函数ｆ ｘ 的图象与ｘ轴的交点
， （ ）＝０ （ ）
的横坐标 方程ｆ ｘ ｇ ｘ 的根就是函数ｆ ｘ 与ｇ ｘ 图象的交
， （ ）＝ （ ） （ ） （ ）
点的横坐标．
经典例题教师用书 由图象可知ｆ（ｘ） 无解， ｋ 不符合题意；
＝－１ ∴ ＝０
例 （２０１８浙江金丽衢十二校第三次联考（５月），９）已知 （ ）当ｋ 时，作出ｆ（ｘ）的函数图象如图所示：
２ ＞０
A
版
高
考
数
学
／
３０
答案 Ｄ
例 （２０１８浙江杭州二中期中，７）函数ｆ ｘ ｘｍ ｘ ｎ 在
（ ）＝ （１－ ）
区间 上的图象如图所示 则ｍ ｎ的值可能是
［０，１］ ， ， （ ）
由图象可知ｆ（ｘ） 无解且 ｆ（ｘ） １ 无解，即ｆ（ｆ（ｘ））
＝－１ ＝－ ｋ － ｍ ｎ ｍ ｎ
Ａ． ＝１， ＝１ Ｂ． ＝１， ＝２
无解，不符合题意； ｍ ｎ ｍ ｎ
２＝０ Ｃ． ＝２， ＝１ Ｄ． ＝２， ＝２
（ ）当ｋ 时，作出ｆ（ｘ）的函数图象如图所示： 解析 由题意知ｆ ′（ｘ） ｍｘｍ －１（ ｘ）ｎ ｎｘｍ（ ｘ）ｎ －１·（ ）
３ ＜０ ＝ １－ ＋ １－ －１
［ｍ（ ｘ） ｎｘ］ｘｍ －１（ ｘ）ｎ －１，
＝ １－ － １－
ｍ
令ｍ（ ｘ） ｎｘ ，解得ｘ ．
１－ － ＝０ ＝ｍ ｎ
＋
ｍ
由图象可知，其极值点小于 １ ，即 １ ，即ｍ ｎ，故选 ．
ｍ ｎ＜ ＜ Ｂ
２ ＋ ２
答案 Ｂ
例 （２０１６浙江宁波十校联考，８）已知函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ
（ ）＝ － －
由图象可知ｆ（ｘ） 有 个实根， ｘ
＝－１ １ ４ ｘ ｇ ｘ ｘ２ ｂｘ ｘ ｂ Ｒ 若ｆ ｘ 图象上存在两
ｘ （ ＜０）， （ ）＝ ＋ －２（ ＞０）， ∈ ， （ ）
ｆ（ｆ（ｘ）） 有 个实根， ｆ（ｘ） １ 有 个实根， －１
∵ －２＝０ ３ ∴ ＝－ ｋ ２ 个不同的点Ａ Ｂ分别与ｇ ｘ 图象上Ａ′ Ｂ′两点关于ｙ轴对称
， （ ） ， ，
则ｂ的取值范围为
１ ，解得 ｋ １ ． （ ）
∴１＜－ ｋ ≤３ －１＜ ≤－
３
( ] Ａ．（－４ ２－５，＋∞） Ｂ．（４ ２－５，＋∞）
综上，ｋ的取值范围是 ， １ ．故选
－１ － Ｃ． Ｃ．（－４ ２－５，１） Ｄ．（４ ２－５，１）
３
例 已知函数ｆ （ ｘ ）（ ｘ ∈ Ｒ ） 满足ｆ （ ｘ ）＝ ｆ （２－ ｘ ）， 若函数ｙ ＝｜ 解析 设函数ｇ（ｘ）图象上任一点为（ｘ，ｘ２ ＋ ｂｘ －２ ），其关于ｙ
ｘ２
－２
ｘ
－３｜
ｍ
与 ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
图象的交点为
（
ｘ
１，
ｙ
１），（
ｘ
２，
ｙ
２），…，（
ｘ
ｍ， 轴的对称点为（
－
ｘ，ｘ２
＋
ｂｘ
－２
），所以方程ｘ２
＋
ｂｘ
－２＝
ｘ２
＋
ｘ
－
－
ｘ
４
ｘ
，
ｙ 则 ｘ － －１
ｍ）， ∑ｉ＝
１
ｉ ＝ （ ） 即（ｂ
－１
）ｘ２
＋
（ｂ
＋１
）ｘ
－２＝０
在（
０
，
＋∞
）上有两个不相等的实根，
Ａ．０ Ｂ．
ｍ
Ｃ．２
ｍ
Ｄ．４
ｍ ì
ï
Δ
＝
（ｂ
＋１
）２
＋８
（ｂ
－１
）
＞０
，
解析 由题意可知ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ
＝１
对称，而ｙ
＝｜
ïï－２
，
ｘ２
－２
ｘ
－３｜＝｜
（ｘ
－１
）２
－４｜
的图象也关于直线ｘ
＝１
对称，所以两个 因此í
ï
ｂ
－１
＞０ 解得
４ ２－５＜
ｂ
＜１
，即实数 ｂ 的取
图象的交点关于直线ｘ
＝１
对
ｍ
称，且每对关于直线ｘ
＝１
对称的交
î
ïï
－ （
ｂ
ｂ
＋１
）＞０
，
点的横坐标之和为 ，所以 ｘ ｍ，故选 ． ２ －１
２ ∑ｉ＝
１
ｉ＝ Ｂ 值范围是（
４ ２－５
，
１
），故选
Ｄ
．
答案 Ｂ 答案 Ｄ
例 （２０２０ 全国Ⅰ卷模拟，１０） 已知函数 ｆ ｘ
小题巧解 （特值法）取ｘ π， π ２ π ，得 （ ） ＝
０＝ ４ ｓｉｎ ４ ＝ ２ ＜ｔａｎ ４ ＝１ { ｅ ２ ｘ －１， ｘ ＞０， 若 ｆ ｘ ｍｘ恒成立 则实数ｍ的取值范围为
ｐ是真命题． ｘ２ ｘ ｘ ｜ （ ）｜≥ ，
－ －２ －２， ≤０，
例 （２０１８浙江教育绿色评价联盟适应性试卷（１月），８）
（ ）
已知函数ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ 的部分图象如图所示 则ａ ｂ ｃ的
（ ）＝ｌｎ（ ＋ ＋ ） ， － ＋
值是 Ａ．［２－２ ２，２］ Ｂ．［２－２ ２，１］
（ ）
Ｃ．［２－２ ２，ｅ］ Ｄ．［２－２ ｅ，ｅ］
解析 作出函数 ｆ（ｘ） 的图象如图所示．
｜ ｜
Ａ．－１ Ｂ．１
Ｃ．－５ Ｄ．５
解析 由题图可知， ， 为方程 ａｘ２ ｂｘ ｃ 的两根，且
２ ４ ＋ ＋ ＝０
ì ｂ ì ï ， ïａ １ ，
ｆ（ ） ，即í
ïï ６＝－
ｃ
ａ
解得í
ïï
ｂ
＝
３ ，因此ａ ｂ ｃ ，故选 ． 当ｘ ≤０ 时，令ｘ２ ＋２ ｘ ＋２＝ ｍｘ，即ｘ２ ＋ （ ２－ ｍ）ｘ ＋２＝０ ，令Δ ＝０ ，
１ ＝０ ï ８＝ ａ ， ï ＝－２ － ＋ ＝５ Ｄ 即（ ｍ）２ ，解得ｍ ，结合图象可知，ｍ ；
ïï ïïｃ ８ ， ２－ －８＝０ ＝２±２ ２ ＝２－２ ２ îａ ｂ ｃ ， î ＝ 当ｘ 时，令 ２ ｘ ｍｘ，考虑ｆ（ｘ） ２ ｘ 与ｈ（ｘ） ｍｘ的
＋ ＋ ＝１ ３ ＞０ ｅ －１＝ ＝ｅ －１ ＝
专
题
三
函
数
概
念
与
基
本
初
等
函
数
／
３１
图象相切时，设切点为（ｘ ０ ， ｅ ２ ｘ ０－１ ）， 先画出函数ｆ（ｘ）在ｘ ∈ （ ０ ， ２ ］上的图象，再根据 ｆ（ｘ ＋２ ） ＝
则 { ｅ ２ ｘ ０－１＝ ｍｘ ０ ， 解得ｍ ， ｆ（ｘ），即可画出函数ｆ（ｘ）在ｘ （ ， ］上的图象，又由ｆ（ｘ） １
２ｅ
２ ｘ ０＝ ｍ， ＝２
ｆ
２
（ｘ ），可画出函数ｆ（ｘ）在ｘ
∈
（
２
，
４
］上的图象，即可画出函
＝
数
２
结合图象可知，实数ｍ的取值范围为［ ， ］．故选 ＋２ ∈ －２ ０
２－２ ２ ２ Ａ． ｆ（ｘ）在ｘ （ ， ］上的图象，如图．
答案 Ａ ∈ －４ －２
思路分析 作出函数 ｆ（ｘ） 的图象，当ｘ 时，令ｘ２ ｘ
｜ ｜ ≤０ ＋２
ｍｘ，得ｘ２ （ ｍ）ｘ ，再令Δ ，可求得ｍ的值；当ｘ
＋２＝ ＋ ２－ ＋２＝０ ＝０ ＞０
时，令 ２ ｘ ｍｘ，考虑ｆ（ｘ） ２ ｘ 与ｈ（ｘ） ｍｘ的图象相切时，
ｅ －１＝ ＝ｅ －１ ＝
可设切点为（ｘ ０ ， ｅ ２ ｘ ０－１ ），由 {
２
ｅ ２
ｅ
ｘ ２ ０ ｘ － ０＝ １＝ ｍ ｍ ， ｘ ０ ， 可解得ｍ ＝２ ，观察图象
可得答案．
例 （２０２０北京西城二模，１５）已知函数ｆ ｘ 的定义域为
（ ） 令ｘ ，则 ｆ（ ） ｆ（ ） ，故ｆ（ ） １ ，故
Ｒ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ．有以下三 ＝－１ ２ －１ ＝ １ ＝２－３＝－１ －１ ＝－ ①
， （ ＋２）＝２（ ）， ∈（０，２］ ， （ ）＝２ －３ ２
个结论 中的结论正确；
：
由图可知 中的结论正确；
ｆ １ ②
①（－１）＝－ ； 由图可知零点有无数个，当ｘ （ ， ］时，令ｆ（ｘ） ，则ｘ
２ ∈ ０ ２ ＝０ ＝
( ] ，故在Ｒ上，ｘ ｋ ，ｋ Ｚ，所以ｘ取不到整数，故 中
②
当ａ
∈
１
，
１ 时
，
方程ｆ
（
ｘ
）＝
ａ在区间
［－４，４］
上有三 ｌ
的
ｏｇ
结
２３
论错误．
＝２ ＋ｌｏｇ２３ ∈ ③
４ ２
个不同的实根 综上，正确结论的序号为 ．
； ①②
函数ｆ ｘ 有无穷多个零点 且存在一个零点ｂ Ｚ． 答案
③ （ ） ， ∈
其中 所有正确结论的序号是 ． ①②
， 解题方法 由函数图象、方程的根、函数零点之间的关系
解析 本题考查函数图象，考查学生分析问题、解决问题的
即可求解．
能力，渗透直观想象、逻辑推理的核心素养．
