文档文本内容
3.2 函数的基本性质
考点清单
学生用书P11 知识结构化 考点清单化
考点一 函数的单调性与最值
１.单调函数的定义
增函数 减函数
一般地ꎬ设函数ｆ(ｘ)的定义域为Ｉꎬ区间Ｄ Ｉꎬ对于任意的
⊆
ｘ ꎬｘ Ｄꎬ且ｘ ｘ
１ ２∈ １< ２
定义 都有ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ ) 都有ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ )
１ < ２ １ > ２
ｆ(ｘ)在区间Ｄ上是增函数 ｆ(ｘ)在区间Ｄ上是减函数
图象
描述
自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的
如果函数ｙ ｆ ｘ 在区间Ｄ上是增函数或减函数 那么就
＝ ( ) ꎬ
说函数ｙ ｆ ｘ 在这一区间具有 严格的 单调性 区间Ｄ叫做
＝ ( ) ( ) ꎬ
函数ｙ ｆ ｘ 的单调区间.
＝ ( )
拓展 单调函数的定义有以下两种等价形式
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２２
２.函数的最值
前提 设函数ｙ ｆ(ｘ)的定义域为Ｉꎬ如果存在实数Ｍꎬ满足 ＝
( )对于任意ｘ Ｉꎬ都有
１ ∈ ( ) 对于任意 ｘ Ｉꎬ 都有
ｆ(ｘ) Ｍꎻ １ ∈
条件 ≤ ｆ(ｘ) Ｍꎻ
( )存在 ｘ Ｉꎬ使得 ≥
２ ０∈ ( )存在ｘ Ｉꎬ使得ｆ(ｘ) Ｍ
ｆ(ｘ) Ｍ ２ ０∈ ０ ＝
０ ＝
结论 Ｍ是ｙ ｆ(ｘ)的最大值 Ｍ是ｙ ｆ(ｘ)的最小值
＝ ＝
考点二 函数的奇偶性与周期性
１.函数的奇偶性及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
一般地ꎬ设函数ｆ(ｘ)的定义域为
Ｉꎬ如果 ｘ Ｉꎬ都有 ｘ Ｉꎬ且 ｆ 偶函数 ∀ ∈ － ∈ 关于ｙ轴对称
( ｘ) ｆ(ｘ)ꎬ那么函数ｆ(ｘ)是偶
－ ＝
函数
一般地ꎬ设函数ｆ(ｘ)的定义域为
Ｉꎬ如果 ｘ Ｉꎬ都有 ｘ Ｉꎬ且 ｆ
奇函数 ∀ ∈ － ∈ 关于原点对称
( ｘ) ｆ(ｘ)ꎬ那么函数ｆ(ｘ)是
－ ＝－
奇函数
２.与奇偶性有关的几个结论 ｘ ꎬｘ [ａꎬｂ]ꎬ且ｘ ｘ ꎬ
∀ １ ２∈ １≠ ２ 若ｆ ｘ 是奇函数 且ｆ 有意义 则ｆ . 若ｆ ｘ 是
ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ ) (１) ( ) ꎬ (０) ꎬ (０)＝０(２) ( )
１ － ２ ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上是增函数ꎻ １ － ２ 偶函数 则ｆ ｘ ｆ ｘ . 奇函数在关于原点对称的区间上
① ｘ ｘ >０⇔ ｘ ｘ ꎬ ( )＝ (｜ ｜) (３)
１－ ２ １－ ２ 的单调性相同 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性
ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上是减函数. ꎻ
<０⇔ 相反.
(ｘ ｘ )[ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ )] ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上是增函数ꎻ
② １－ ２ １ － ２ >０⇔ ３.对于函数ｙ ｆ ｘ 如果存在一个非零常数Ｔ 使得当ｘ取定
(ｘ ｘ )[ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ )] ｆ(ｘ)在[ａꎬｂ]上是减函数. ＝ ( )ꎬ ꎬ
１－ ２ １ － ２ <０⇔ 义域内的任何值时 ꎬ 都有ｆ ( ｘ ＋ Ｔ )＝ ｆ ( ｘ )ꎬ 那么就称函数ｙ ＝ ｆ ( ｘ )
为周期函数 Ｔ为这个函数的周期.如果在周期函数ｆ ｘ 的所
ꎬ ( )
有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小的正数就叫做它
ꎬ
的最小正周期.
题型方法
学生用书P12 题型经典 方法实用
一、函数的单调性及其应用 用 和 或 连接 不能用 连接.
“ ” “ꎬ” ꎬ “∪”
１.判断函数单调性 单调区间 的常用方法 ３.单调性的应用
( )
定义法 先求定义域 再根据取值 作差 变形 定号的顺序 比较大小 将自变量转化到同一个单调区间内 利用函数
(１) : ꎬ 、 、 、 (１) : ꎬ
得结论. 的单调性比较大小
ꎻ
图象法 若函数是以图象形式给出的 或者函数的图象可 解函数型不等式 例如ｆ ｇ ｘ ｆ ｈ ｘ 利用函数的单
(２) : ꎬ (２) : ( ( ))≥ ( ( ))ꎬ
作出 可由图象的升 降判断它的单调性或写出单调区间. 调性脱去 ｆ 转化为具体的不等式 组 此时要注意ｇ ｘ 与
ꎬ 、 “ ”ꎬ ( )ꎬ ( )
复合函数法 根据 同增异减 判断 即内外层函数的单调 ｈ ｘ 的取值应在外层函数的定义域内
(３) : “ ” ꎬ ( ) ꎻ
性相同时 为增函数 单调性不同时为减函数. 求参数值或取值范围 利用函数的单调性构建参数满足的
ꎬ ꎬ (３) :
导数法 先求导 再利用导数的正负 确定函数的单调性 方程 组 不等式 组 从而求解.
(４) : ꎬ ꎬ ( )、 ( )ꎬ
区间 . ４.分段函数的单调性
( )
性质法 在公共定义域内 增 增 增 减 减 减 增 减 分段函数在定义域上单调时 不但要求各段上函数的单调性一
(５) :① ꎬ ＋ ＝ ꎬ ＋ ＝ ꎬ － ꎬ
增 减 增 减 致 而且要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致 即如
＝ ꎬ － ＝ ꎻ ꎬ ꎬ
已知ｆ ｘ 单调递增 若ｋ 则ｋｆ ｘ 单调递增 若ｋ 则 {ｇ ｘ ｘ ｘ
② ( ) ꎬ >０ꎬ ( ) ꎻ <０ꎬ 果ｆ ｘ ( )ꎬ < ０ꎬ 若ｆ ｘ 在Ｒ上递增 则在满足ｇ ｘ 在
ｋｆ ｘ 单调递减. ( )＝ ｈ ｘ ｘ ｘ ( ) ꎬ ( )
( ) ( )ꎬ ≥ ０ꎬ
２.求函数的单调区间 ｘ 上递增 ｈ ｘ 在 ｘ 上递增的同时还应满足 (－∞ꎬ ０) ꎬ ( ) [ ０ꎬ＋∞)
先求定义域 再在定义域内求单调区间.单调区间不连续时 要 ｇ ｘ ｈ ｘ 若ｆ ｘ 在Ｒ上递减 则在满足ｇ ｘ 在
ꎬ ꎬ ( ０)≤ ( ０)ꎻ ( ) ꎬ ( ) (－∞ꎬ
ｘ 上递减 ｈ ｘ 在 ｘ 上递减的同时还应满足ｇ ｘ 解析 设 ｇ ｘ ａ ｘ ｂ ３ｘ ｃｘ ｘ Ｒ 则 ｇ ｘ
０) ꎬ ( ) [ ０ꎬ＋∞) ( ０)≥ (１) ( )＝ ｓｉｎ ＋ ＋ ꎬ ∈ ꎬ (－ )＝
ｈ ｘ .
例
(
1
０)
(１) 已知定义在Ｒ上的函数ｆ ( ｘ )＝２ ｜ ｘ － ｍ ｜ ＋１( ｍ ∈ Ｒ ) 为偶
ａ
ｓｉｎ ｇ (－ ｘ
ｘ
)＋
ｂ ３
－
ｘ
＋
ｃ
(－
ｘ
)＝－
ａ
ｓｉｎ
ｘ
－
ｂ３ｘ
－
ｃｘ
＝－(
ａ
ｓｉｎ
ｘ
＋
ｂ３ｘ
＋
ｃｘ
)
＝－ ( )ꎬ
函数 记ａ ｆ ｂ ｆ ｃ ｆ ｍ 则ａ ｂ ｃ的大小关
ꎬ ＝ (ｌｏｇ２２)ꎬ ＝ (ｌｏｇ２４)ꎬ ＝ (２ )ꎬ ꎬ ꎬ 故ｇ
(－
ｘ
)＝－
ｇ
(
ｘ
)ꎬ
即函数ｇ
(
ｘ
)
为奇函数.
系为
( ) 又因为ｆ ｇ
(ｌｎ２)＝ (ｌｎ２)＋１＝４ꎬ
ａ ｂ ｃ ｃ ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ ｂ ａ
Ａ. < < Ｂ. < < Ｃ. < < Ｄ. < < 所以ｇ .
(ｌｎ２)＝３
( )
(２)
(２０２０课标
Ⅱ
文ꎬ１０ꎬ５分)设函数ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ３
－ｘ
１
３ꎬ
则ｆ
(
ｘ
) 又因为
ｌｎ
１
＝－ｌｎ ２ꎬ
故 ｆ
ｌｎ
１
＝
ｆ
(－ｌｎ ２)＝
ｇ
(－ｌｎ ２)＋１＝
２ ２
( )
( ) ｇ 即ｆ １ 故选 .
是奇函数 且在 单调递增 － (ｌｎ２)＋１＝－３＋１＝－２ꎬ ｌｎ ＝－２ꎬ Ｃ
Ａ. ꎬ (０ꎬ＋∞) ２
Ｂ. 是奇函数 ꎬ 且在 (０ꎬ＋∞) 单调递减 (２) 解法一 : 当ｘ <０ 时 ꎬ－ ｘ >０ꎬ 则ｆ (－ ｘ )＝ｅ － ｘ －１ꎬ 又 ∵ ｆ ( ｘ ) 是奇
Ｃ. 是偶函数 ꎬ 且在 (０ꎬ＋∞) 单调递增 函数 ꎬ∴ ｆ ( ｘ )＝－ ｆ (－ ｘ )＝－(ｅ － ｘ －１)＝－ｅ － ｘ ＋１ .故选 Ｄ.
Ｄ. 是偶函数 ꎬ 且在 (０ꎬ＋∞) 单调递减 解法二 :( 特值法 ) 令 ｘ ＝－１ꎬ 则 ｆ (－１)＝ － ｆ (１)＝ －(ｅ １ －１)＝
解析 定义在Ｒ上的函数ｆ ｘ ｜ ｘ － ｍ ｜ ｍ Ｒ 为 结合选项知 只有 正确.
(１)∵ ( )＝２ ＋１( ∈ ) －ｅ＋１ꎬ ꎬ Ｄ
偶函数 ꎬ∴ ｍ ＝０ꎬ∴ ｆ ( ｘ )＝２ ｜ ｘ ｜ ＋１ꎬ 易知当ｘ ∈(－∞ꎬ０) 时 ꎬ ｆ ( ｘ ) (３)∵ｌｎ２>０ꎬ∴－ｌｎ２<０ꎬ∴ ｆ (－ｌｎ２)＝－ｅ ａ (－ｌｎ２) ＝－ｅ － ａ ｌｎ２.又ｆ ( ｘ ) 是奇
是减函数 ꎻ 当ｘ ∈(０ꎬ＋∞) 时 ꎬ ｆ ( ｘ ) 是增函数. ∵ ａ ＝ ｆ (ｌｏｇ２２)＝ 函数 ꎬ∴ ｆ (－ｌｎ２)＝－ ｆ (ｌｎ ２)＝－８ꎬ 即 ｅ － ａ ｌｎ２ ＝８ꎬ∴ － ａ ｌｎ ２＝ｌｎ ８＝
ｆ ｂ ｆ ｆ ｃ ｆ ｍ ｆ 且 ｃ ａ ｂ
(１)ꎬ ＝ (ｌｏｇ２４)＝ (２)ꎬ ＝ (２ )＝ (０)ꎬ ０<１<２ꎬ∴ < < ꎬ ３ｌｎ２ꎬ
故选 . ａ .
Ｂ ∴ ＝－３
答案 Ｃ Ｄ
解法一 由函数ｙ ｘ３ 和ｙ １ 都是奇函数 知函数ｆ ｘ (１) (２) (３)－３
(２) : ＝ ＝－ｘ３ ꎬ ( )＝ 三、函数的周期性问题的求解策略
１.周期函数的几个结论
ｘ３ １ 是奇函数.由函数ｙ ｘ３ 和ｙ １ 都在区间 上单
－ｘ３ ＝ ＝－ｘ３ (０ꎬ＋∞) 周期函数ｙ ｆ ｘ 满足
＝ ( ) :
若ｆ ｘ ａ ｆ ｘ ａ 则函数的周期为 ａ
调递增 知函数ｆ ｘ ｘ３ １ 在区间 上单调递增 故函 (１) ( ＋ )＝ ( － )ꎬ ２ ꎻ
ꎬ ( )＝ －ｘ３ (０ꎬ＋∞) ꎬ 若ｆ ｘ ａ ｆ ｘ 则函数的周期为 ａ
(２) ( ＋ )＝－( )ꎬ ２ ꎻ
数ｆ ｘ ｘ３ １ 是奇函数 且在区间 上单调递增.故 若ｆ ｘ ａ １ ｆ ｘ 则函数的周期为 ａ
( )＝ －ｘ３ ꎬ (０ꎬ＋∞) (３) ( ＋ )＝－ｆ ｘ ( ( )≠０)ꎬ ２ ꎻ
( )
选 . 函数ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ａ与ｘ ｂ ａ ｂ 对称 那么
Ａ (４) ( ) ＝ ＝ ( ≠ ) ꎬ
解法二 函数ｆ ｘ 的定义域为 关于原点对称 函数ｆ ｘ 的周期为 ｂ ａ
: ( ) (－∞ꎬ０)∪(０ꎬ＋∞)ꎬ ꎬ ( ) ２｜ － ｜ꎻ
若函数ｆ ｘ 的图象关于点 ａ 对称 且关于点 ｂ 对
ｆ ｘ ｘ ３ １ ｘ３ １ ｆ ｘ 故ｆ ｘ ｘ３ １ 是奇函 (５) ( ) ( ꎬ０) ꎬ ( ꎬ０)
(－ )＝(－ ) － ｘ ３ ＝－ ＋ｘ３ ＝－ ( )ꎬ ( )＝ －ｘ３ 称 则函数ｆ ｘ 的周期是 ｂ ａ
(－ ) ꎬ ( ) ２｜ － ｜ꎻ
若函数ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ａ对称 且关于点 ｂ 对
数. ｆ′ ｘ ｘ２ ３ ｆ ｘ 在区间 上单调递增.故选 . (６) ( ) ＝ ꎬ ( ꎬ０)
∵ ( )＝３ ＋ｘ４>０ꎬ∴ ( ) (０ꎬ＋∞) Ａ 称 则函数ｆ ｘ 的周期是 ｂ ａ
ꎬ ( ) ４｜ － ｜ꎻ
答案 Ｂ Ａ 若函数ｆ ｘ 是偶函数 其图象关于直线ｘ ａ对称 则其周
(１) (２) (７) ( ) ꎬ ＝ ꎬ
二、函数奇偶性的判断及应用 期为 ａ
２ ꎻ
１.函数奇偶性的判断方法 若函数ｆ ｘ 是奇函数 其图象关于直线ｘ ａ对称 则其周
(８) ( ) ꎬ ＝ ꎬ
定义法 利用定义或定义的等价关系式ｆ ｘ ｆ ｘ 奇 期为 ａ.
(１) : ( )＋(－ )＝０( ４
函数 与ｆ ｘ ｆ ｘ 偶函数 判断. ２.涉及函数周期性的问题 一般先确定函数的周期 再根据周
) ( )－(－ )＝０( ) ꎬ ꎬ
性质法 在公共定义域内 有 奇 奇 奇 偶 偶 偶 奇 奇 期性及函数的其他性质 将所求量由待求区间转化到已知区
(２) : ꎬ “ ＋ ＝ ꎬ ＋ ＝ ꎬ × ꎬ
偶 偶 偶 偶 奇 偶 奇 . 间 再利用给定解析式求解.
＝ ꎬ × ＝ ꎬ × ＝ ” ꎬ
图象法 利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. 例3 (２０１８课标 ꎬ文１２ꎬ理１１ꎬ５ 分)已知 ｆ ｘ 是定义域为
(３) : Ⅱ ( )
２.函数奇偶性的应用 的奇函数 满足 ｆ ｘ ｆ ｘ .若 ｆ
(－∞ꎬ＋∞) ꎬ (１－ )＝ (１＋ ) (１)＝ ２ꎬ
求函数值或函数解析式 利用奇偶性将所求值或解析式对 则ｆ ｆ ｆ ｆ
(１) : (１)＋(２)＋(３)＋＋(５０)＝ ( )
应的自变量转化到已知解析式的区间 代入已知的解析式 然
ꎬ ꎬ Ａ.－５０ Ｂ.０ Ｃ.２ Ｄ.５０
后利用函数的奇偶性求解即可. 解析 ｆ ｘ 是定义域为 的奇函数 ｆ
∵ ( ) (－∞ꎬ＋∞) ꎬ∴ (０)＝０ꎬ
求参数 由定义或定义的等价关系式ｆ ｘ ｆ ｘ 奇函 ｆ ｘ ｆ ｘ
(２) : ( )＋ (－ )＝０( (－ )＝－( )ꎬ①
数 与ｆ ｘ ｆ ｘ 偶函数 得到恒等式 再利用系数相等 又 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 第
) ( )－(－ )＝０( ) ꎬ ∵ (１－ )＝ (１＋ )ꎬ∴ (－ )＝ (２＋ )ꎬ② 三
构造方程 组 求解. 由 得ｆ ｘ ｆ ｘ
( ) ①② (２＋ )＝－( )ꎬ③ 章
例2 已知函数ｆ ｘ ａ ｘ ｂ３ｘ ｃｘ 若ｆ 则 用 ｘ代替ｘ得ｆ ｘ ｆ ｘ .
(１) ( )＝ ｓｉｎ ＋ ＋ ＋１ꎬ (ｌｎ ２)＝４ꎬ ２＋ (４＋ )＝－(２＋ ) ④ 函
( ) 由 得ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 的周期为 .
ｆ １ 的值为 ③④ ( )＝ ( ＋４)ꎬ∴ ( ) ４ 数
ｌｎ ( ) 令ｘ 得ｆ ｆ 的
２ ＝１ꎬ (０)＝ (２)＝０ꎬ 概
令ｘ 得ｆ ｆ ｆ
Ａ.４ Ｂ.－１ Ｃ.－２ Ｄ.－３ ＝２ꎬ (３)＝ (－１)＝－(１)＝－２ꎬ 念
(２０１９课标 文ꎬ６ꎬ５分)设ｆ ｘ 为奇函数 且当ｘ 时 令ｘ 得ｆ ｆ ｆ 与
(２) Ⅱ ( ) ꎬ ≥０ ꎬ ＝３ꎬ (４)＝ (－２)＝－(２)＝０ꎬ 基
ｆ ｘ ｘ 则当ｘ 时 ｆ ｘ 故ｆ ｆ ｆ ｆ
( )＝ｅ －１ꎬ <０ ꎬ ( )＝ ( ) (１)＋(２)＋(３)＋(４)＝２＋０－２＋０＝０ꎬ 本
－ ｘ － ｘ － ｘ － ｘ 所以ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ 初
Ａ.ｅ －１ Ｂ.ｅ ＋１ Ｃ.－ｅ －１ Ｄ.－ｅ ＋１ (１)＋(２)＋(３)＋＋ (５０)＝１２×０＋ (１)＋ (２)＝０＋２＋０ 等
(２０１９课标 理ꎬ１４ꎬ５ 分)已知 ｆ ｘ 是奇函数 且当 ｘ .故选 .
(３) Ⅱ ( ) ꎬ <０ ＝２ Ｃ 函
时 ｆ ｘ ａｘ.若ｆ 则ａ . 答案 Ｃ 数
ꎬ ( )＝－ｅ (ｌｎ２)＝８ꎬ ＝
２３
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 函数的单调性与最值 学生用书P130 的图象关于直线ｘ 对称 ｇ 则 ２２ ｆ ｋ
１.(２０２１全国甲文ꎬ４ꎬ５分ꎬ基础性)下列函数中是增函数的为 ＝２ ꎬ (２)＝４ꎬ ∑ｋ＝
１
( )＝ ( )
Ａ.－２１ Ｂ.－２２ Ｃ.－２３ Ｄ.－２４
( ) 答案 Ｄ
( )ｘ
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ２ ５.(多选)(２０２２新高考 ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)已知函数ｆ ｘ 及
Ａ. ( )＝－ Ｂ. ( )＝ Ⅰ ( )
３ 其导函数 ｆ ′ ｘ 的定义域均为 Ｒ 记 ｇ ｘ ｆ ′ ｘ .若
Ｃ.
ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ２
Ｄ.
ｆ
(
ｘ
)＝
３ｘ
( )
( ) ꎬ ( )＝ ( )
答案 Ｄ ｆ ３ ｘ ｇ ｘ 均为偶函数 则
－２ ꎬ (２＋ ) ꎬ ( )
２.(２０２０新高考
Ⅱ
ꎬ７ꎬ５分ꎬ综合性)已知函数ｆ
(
ｘ
)＝ｌｇ(
ｘ２
－４
ｘ
－
２
( )
在 ａ 单调递增 则ａ的取值范围是 ｆ ｇ １
５) ( ꎬ＋∞) ꎬ ( ) Ａ. (０)＝０ Ｂ. － ＝０
２
Ａ.(－∞ꎬ－１] Ｂ.(－∞ꎬ２] ｆ ｆ ｇ ｇ
Ｃ. (－１)＝ (４) Ｄ. (－１)＝ (２)
Ｃ.[２ꎬ＋∞) Ｄ.[５ꎬ＋∞) 答案 ＢＣ
答案 Ｄ
６.(２０２０新高考 ꎬ８ꎬ５分ꎬ综合性)若定义在Ｒ的奇函数ｆ ｘ
３.(２０２０课标 理ꎬ９ꎬ５ 分ꎬ综合性)设函数ｆ ｘ ｘ Ⅰ ( )
Ⅱ ( )＝ ｌｎ｜２ ＋１｜－ 在 单调递减 且ｆ 则满足ｘｆ ｘ 的ｘ的
ｘ 则ｆ ｘ (－∞ꎬ０) ꎬ (２)＝０ꎬ ( －１)≥０
ｌｎ｜２ －１｜ꎬ ( ) ( ) 取值范围是
( ) ( )
是偶函数 且在 １ 单调递增
Ａ. ꎬ ꎬ＋∞ Ａ.[－１ꎬ１]∪[３ꎬ＋∞) Ｂ.[－３ꎬ－１]∪[０ꎬ１]
２
( ) Ｃ.[－１ꎬ０]∪[１ꎬ＋∞) Ｄ.[－１ꎬ０]∪[１ꎬ３]
是奇函数 且在 １ １ 单调递减 答案 Ｄ
Ｂ. ꎬ － ꎬ
２ ２ ７.(２０１７课标 理ꎬ５ꎬ５分ꎬ综合性)函数ｆ ｘ 在 单
( ) Ⅰ ( ) (－∞ꎬ＋∞)
是偶函数 且在 １ 单调递增 调递减 且为奇函数.若ｆ 则满足 ｆ ｘ 的ｘ
Ｃ. ꎬ －∞ꎬ－ ꎬ (１)＝－１ꎬ －１≤ ( －２)≤１
２ 的取值范围是
( ) ( )
是奇函数 且在 １ 单调递减
Ｄ. ꎬ －∞ꎬ－ Ａ.[－２ꎬ２] Ｂ.[－１ꎬ１] Ｃ.[０ꎬ４] Ｄ.[１ꎬ３]
２ 答案 Ｄ
答案 Ｄ
４.(２０１７ 浙江ꎬ１７ꎬ４ 分ꎬ综合性)已知 ａ Ｒ 函数 ｆ ｘ ８.(２０２２全国乙文ꎬ１６ꎬ５分ꎬ综合性)若ｆ ｘ ａ １ ｂ是
∈ ꎬ ( )＝ ( )＝ｌｎ ＋ ｘ ＋
１－
ｘ ４ ａ ａ 在区间 上的最大值是 则 ａ 的取值范 奇函数 则ａ ｂ .
＋ ｘ － ＋ [１ꎬ４] ５ꎬ ꎬ ＝ ꎬ ＝
围是 . 答案 １ ꎻ
－ ｌｎ２
( ] ２
答案
－∞
ꎬ９ ９.(２０２１新高考
Ⅰ
ꎬ１３ꎬ５分ꎬ基础性)已知函数ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ３
(
ａ
２
ｘ
２ － ｘ 是偶函数 则ａ .
考点二 函数的奇偶性与周期性 －２ ) ꎬ ＝
学生用书P130 答案
１
１.(２０２１全国乙理ꎬ４ꎬ５ 分ꎬ基础性)设函数ｆ ｘ １－ ｘ 则下列 １０.(２０１３四川ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)已知ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的偶
( )＝ ｘꎬ ( )
１＋ 函数 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ.那么 不等式ｆ ｘ 的解集
函数中为奇函数的是 ꎬ ≥０ ꎬ( )＝ －４ ꎬ ( ＋２)<５
( ) 是 .
ｆ ｘ ｆ ｘ
Ａ. ( －１)－１ Ｂ. ( －１)＋１ 答案 ( ꎬ )
ｆ ｘ ｆ ｘ －７ ３
Ｃ. ( ＋１)－１ Ｄ. ( ＋１)＋１ １１.(２０１３江苏ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综合性)已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇
答案 Ｂ ( )
函数.当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 则不等式ｆ ｘ ｘ的解集用区间
２.(２０２１全国甲文ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)设ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的 >０ ꎬ ( )＝ －４ ꎬ ( )>
( ) 表示为 .
( ) ( )
奇函数 且ｆ ｘ ｆ ｘ .若ｆ １ １ 则ｆ ５ 答案 ( ꎬ ) ( ꎬ )
ꎬ (１＋ )＝ (－ ) － ＝ ꎬ ＝ ( ) －５ ０ ∪ ５ ＋∞
３ ３ ３ １２.(２０２０江苏ꎬ７ꎬ５分ꎬ基础性)已知ｙ ｆ ｘ 是奇函数 当ｘ
年 ＝ ( ) ꎬ ≥
高 考 Ａ.－ ３ ５ Ｂ.－ ３ １ Ｃ. １ ３ Ｄ. ５ ３ ０ 时 ꎬ ｆ ( ｘ )＝ ｘ２ ３ ꎬ 则ｆ (－８) 的值是 .
答案
答案 Ｃ －４
年 ３.(２０２２新高考 ꎬ８ꎬ５分ꎬ创新性)已知函数ｆ ｘ 的定义域为 １３.(２０１８课标 文ꎬ１６ꎬ５分ꎬ基础性)已知函数ｆ ｘ ｘ２
模 Ⅱ ( ) Ⅲ ( )＝ｌｎ( １＋
拟 Ｒ 且ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｆ ｙ ｆ 则 ２２ ｆ ｋ － ｘ )＋１ꎬ ｆ ( ａ )＝４ꎬ 则ｆ (－ ａ )＝ .
ꎬ ( ＋ )＋( － )＝ ( ) ( )ꎬ (１)＝１ꎬ ∑ｋ＝
１
( )＝ 答案
－２
１４.(２０１７山东文ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的
( ) ( )
偶函数 且ｆ ｘ ｆ ｘ .若当ｘ 时 ｆ ｘ － ｘ 则
︵ Ａ.－３ Ｂ.－２ Ｃ.０ Ｄ.１ ꎬ ( ＋４)＝ ( －２) ∈[－３ꎬ０] ꎬ ( )＝ ６ ꎬ
答案 Ａ ｆ .
教 (９１９)＝
师 ４.(２０２２全国乙理ꎬ１２ꎬ５分ꎬ综合性)已知函数ｆ ｘ ｇ ｘ 的定 答案
( )ꎬ ( ) ６
用
义域均为Ｒ 且ｆ ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ .若ｙ ｇ ｘ
书 ꎬ ( )＋ (２－ )＝５ꎬ ( )－( －４)＝７ ＝ ( )
︶
２４
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P131
考点一 函数的单调性与最值 奇函数 则实数ａ的值为
ꎬ ( )
１.(２０２２ 湖北九师联盟 ３ 月质检ꎬ１０) 设函数 ｆ ( ｘ ) ＝ Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.－１ Ｄ.±１
( ｘ ) 答案 Ｄ
ｘ ｘ２
－ｃｏｓ ＋２ (－３<
ｘ
<３)ꎬ
则不等式ｆ
(１＋
ｘ
)＋
ｆ
(２)<
ｆ
(１－
ｘ
)
的
２.(２０２２ 广东 湛江、肇庆三模ꎬ４)下列函数是奇函数 且函数值
３ ꎬ
解集是 恒小于 的是
( ) １ ( )
ｘ
Ａ.(－２ꎬ－１) Ｂ.(－２ꎬ１) ｆ ｘ ２ －１
Ａ. ( )＝ ｘ
Ｃ.(－１ꎬ２) Ｄ.(１ꎬ２) ２ ＋１
答案 Ａ ｆ ｘ ｘ２ ｘ
Ｂ. ( )＝－ ＋
２.(２０２２浙江金华十校４月模拟ꎬ９)设ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ
(
ｘ５
－１)ꎬ
ｇ
(
ｘ
)＝ Ｃ.
ｆ
(
ｘ
)＝ ｜ｓｉｎ
ｘ
｜
ｘ３ ｘ２ 则有 ｆ ｘ ｘ１ ３ ｘ－３ １
－ －１ꎬ ( ) Ｄ. ( )＝ ＋
存在ｘ Ｒ 使得ｆ ｘ ｇ ｘ 成立 答案 Ａ
Ａ. ∈ ꎬ ( )< ( )
对任意ｘ Ｒ ｆ ｘ ｇ ｘ 恒成立 ３.(２０２２江苏泰州二调ꎬ８)已知ｆ ｘ 是定义域为Ｒ的偶函数
Ｂ. ∈ ꎬ ( )> ( ) ( ) ꎬ
对任意ｘ Ｒ ｆ ｘ ｇ ｘ 恒成立 ｆ . ｇ ｘ ｘ ｆ ｘ .若ｇ ｘ 是偶函数 则ｇ .
Ｃ. ∈ ꎬ ( )≤ ( ) (５５)＝２ꎬ ( )＝( －１) ( ) ( ＋１) ꎬ (－０５)＝
存在ｘ Ｒ 使得ｆ ｘ ｇ ｘ １ 成立 ( )
Ｄ. ∈ ꎬ ( )＝ ( )＋
２ Ａ.－３ Ｂ.－２ Ｃ.２ Ｄ.３
答案 Ｂ 答案 Ｄ
３.(２０２１百校大联考第６ 次联考ꎬ５)下列函数中 在区间 ４.(２０２２福建莆田一模ꎬ４)已知ｙ ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函
ꎬ (０ꎬ ＝ ( )
＋∞)
上为减函数的是
( )
数
ꎬ
且当ｘ
≥０
时
ꎬ
ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ２
＋
ａｘ
＋
ａ
＋１ꎬ
则ｆ
(－２)＝ ( )
ｙ ｘ ｙ ｘ２ ｘ
Ａ. ＝－ｓｉｎ Ｂ. ＝ －２ ＋３ Ａ.－２ Ｂ.２ Ｃ.－６ Ｄ.６
Ｃ.
ｙ
＝ｌｎ(
ｘ
＋１) Ｄ.
ｙ
＝２０２０
－２ ｘ 答案 Ａ
答案 Ｄ ５.(２０２０广东揭阳摸底ꎬ１３)已知偶函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｘ２ － ｘ
( ) ( )＝ ＋２
４.(２０２２ 湖南三湘名校联盟联考ꎬ１５)已知函数 ｆ ｘ ｘ 则ｆ ｘ 在 上
( )＝ ( ≤０)ꎬ ( ) (０ꎬ＋∞) ( )
{ ２ ｘ － ａ ꎬ ｘ ≤０ꎬ关于ｘ 的不等式 ｆ ｘ ｆ 的解集为 Ｉ 若 Ｉ Ａ. 单调递增 Ｂ. 单调递减
２ ｘ ＋ ａ ꎬ ｘ >０ꎬ ( )≤ (２) ꎬ ⫋ Ｃ. 先递增后递减 Ｄ. 先递减后递增
则实数ａ的取值范围是 . 答案 Ａ
(－∞ꎬ２]ꎬ
答案 ( ꎬ ) ６.(２０２２湖北部分重点中学第二次联考ꎬ１３)已知函数ｆ ｘ
－∞ －１ ( )＝
５.(２０２１江苏七市第二次调研ꎬ１４)能使 函数ｆ ｘ ｘ ｘ 在 æ ａ ö
区间Ｉ上不是单调函数
ꎬ
且在区间Ｉ上的 “ 函数值 ( 的 )＝ 集合 ｜ － 为 １
[
｜
０ꎬ
è ç
５
ｘ
－１
＋６ø ÷ ｃｏｓ ｘ为奇函数 ꎬ 则实数ａ ＝ .
答案
是真命题的一个区间Ｉ为 .
２]” １２
答案 [ ꎬ ](答案不唯一)
０ ２
考点二 函数的奇偶性与周期性
ｘ ａ
１.(２０２２江苏南通如皋适应性考(二)ꎬ５)若函数ｆ ｘ ２ ＋ 为
( )＝ ｘ ａ
２ －
第
三
章
函
数
的
概
念
与
基
本
初
等
函
数
２５
B组 综合应用题组 学生用书P132
40分钟 55分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共１０分)
Ｂ.(－１ꎬ０)∪(１ꎬ＋∞)
１.(２０２２辽宁名校联盟３月联考ꎬ８)已知函数ｆ ｘ ２ ｘ３ Ｃ.(－∞ꎬ－１)∪(０ꎬ１)
( )＝ ｘ － ＋
３ ＋１ Ｄ.(－１ꎬ０)∪(０ꎬ１)
则不等式ｆ ｍ２ ｆ ｍ 的解集为 答案 Ｃ
２ꎬ ( )＋( －２)<６ ( )
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１５分)
Ａ.(－１ꎬ２) Ｂ.(－∞ꎬ－１)∪(２ꎬ＋∞)
３.(２０２２福州一模ꎬ１１)已知函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ ｆ ｘ
Ｃ.(－２ꎬ－１) Ｄ.(－∞ꎬ－２)∪(１ꎬ＋∞) ( ) ꎬ ( －１)
答案 Ｄ 为奇函数 ｆ ｘ 为偶函数 当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２
ꎬ ( ＋１) ꎬ ∈(－１ꎬ１) ꎬ ( )＝－ ＋１ꎬ
２.(２０２１山东德州二模ꎬ８)已知定义在 上 则下列结论正确的是
(－∞ꎬ０)∪(０ꎬ＋∞) ( )
的奇函数ｆ ｘ 在 上单调递增 且满足ｆ 则 ( )
( ) (－∞ꎬ０) ꎬ (－１)＝－２ꎬ ｆ ７ ３
Ａ. ＝－
关于ｘ的不等式ｆ ｘ ２ ｘ的解集为 ２ ４
( )< ｘ ＋ｓｉｎ π ( ) ｆ ｘ 为奇函数
Ｂ. ( ＋７)
ｆ ｘ 在 上为减函数
Ａ.(－∞ꎬ－１)∪(１ꎬ＋∞) Ｃ. ( ) (６ꎬ８)
方程ｆ ｘ ｘ 仅有 个实数解 ( )
Ｄ. ( )＋ｌｇ ＝０ ６ 答案 ꎬ１ [ ２ꎬ )
答案 ＡＢＤ ０ ∪ ｅ ＋∞
ｅ
４.(２０２２辽宁丹东一模ꎬ１１)设ａ ａ ｂ ｂ ｆ ′ ｘ 为 ８.(２０２２湖南新高考教学教研联盟第一次联考ꎬ１５)函数ｆ ｘ
>０ꎬ ≠１ꎬ >０ꎬ ≠１ꎬ ( ) ( )
函数ｆ ｘ ａｘ ｂｘ 的导函数 已知ｆ ｘ 为偶函数 则 ａｘ ｂｘ ａ ｂ ａ ｂ 是偶函数 则ｆ ａ ｂ ｆ ａｂ 与
( )＝ ＋ ꎬ ( ) ꎬ ( ) ＝ ＋ ( >０ꎬ >０ꎬ ≠１ꎬ ≠１) ꎬ ( ＋ )、 ( )
ｆ 的最小值为 ｆ 三者间的大小关系是 .
Ａ. (１) ２ (２)
ｆ ′ ｘ 为奇函数 答案 ｆ(ａ ｂ) ｆ( ) ｆ(ａｂ)
Ｂ. ( ) ＋ > ２ >
ｆ ′ ｘ 在Ｒ内为增函数 ９.(２０２２辽宁名校联盟二轮复习联考(一)ꎬ１６)已知函数ｆ ｘ
Ｃ. ( ) ( )
ｆ ｘ 在 内为增函数 ( )
Ｄ. ( ) (０ꎬ＋∞) ２ 若不等式ｆ ａｘ ｆ １ 对任意ｘ
答案 ＢＣＤ ＝２－ ｘ ꎬ ( )＋ ２ｌｎ ｘ ≥２ ∈(０ꎬ＋∞)
ｅ ＋１
５.(２０２２河北衡水部分学校３月联考ꎬ１０)已知函数ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ３
＋
恒成立
ꎬ
则实数ａ的取值范围为 .
[ )
ａｘ２
＋
ｂｘ的导函数为ｆ ′
(
ｘ
)ꎬ
则
( ) 答案 ２ ꎬ
若ｆ ｘ 为奇函数 则ｆ ′ ｘ 为偶函数 ＋∞
Ａ. ( ) ꎬ ( ) ｅ
若ｆ ′ 则ｆ ｘ 为奇函数 １０.(２０２２山东烟台、德州一模ꎬ１５)已知 ｆ ｘ 为 Ｒ 上的奇函
Ｂ. (０)＝０ꎬ ( ) ( )
Ｃ. 若ｆ ′ ( ｘ ) 的最小值为 ０ꎬ 则ａ２ ＝３ ｂ 数 ꎬ 且ｆ ( ｘ )＋ ｆ (２－ ｘ )＝０ꎬ 当 －１< ｘ <０ 时 ꎬ ｆ ( ｘ )＝２ ｘ ꎬ 则ｆ (２＋ｌｏｇ２５)
若ｆ ′ ｘ 为偶函数 则ｆ ｘ 为奇函数 的值为 .
Ｄ. ( ) ꎬ ( )
答案 ＡＣＤ
三、填空 题(每 小题５分ꎬ共３０分)
答案
－
５
４
６.(２０２２山东临沂一模ꎬ１６)已知函数ｆ ｘ ｘ －１ １－ ｘ ｘ 则不
１１.(２０２２辽宁名校联盟３月联考ꎬ１４)写出一个同时具有下列
( )＝ｅ －ｅ ＋ ꎬ 性质 的函数解析式ｆ ｘ .
等式ｆ ｘ ｆ ｘ 的解集是 . ①②③ ( )＝
(２－ )＋(４－３ )≤２ ｆ ｘ 的最大值为
答案 [ ꎬ ) ①( ) ２ꎬ
１ ＋∞
{ｘ ｘ ②∀ ｘ ∈ Ｒ ꎬ ｆ (２－ ｘ )＝ ｆ ( ｘ )ꎬ
７.(２０２２八省八校联考二ꎬ１６)已知ｆ ｘ ꎬ０< <１ꎬ若存在ｘ ｆ ｘ 是周期函数.
( )＝ ｘ ｘ ２ ③( )
ｅ ꎬ ≥１ꎬ
ｘ 使得ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｘ ｆ ｘ 的取值范围为 答案 πｘ(答案不唯一)
> １>０ꎬ ( ２)＝ｅ( １)ꎬ １ ( ２) ２ｓｉｎ
. ２
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
２６
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P133
１.(２０２２ ５３原创题)已知函数ｙ ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的奇函 ｘ － ｘ
＝ ( ) 双曲余弦函数 ｈｘ ｅ ＋ｅ .双曲函数在物理及生活中有着某
数 则ｆ ｘ 无最小值的充分条件是 ｃｏｓ ＝
ꎬ ( ) ( ) ２
ｆ ｘ 在 内没有最大值 些重要的应用.比如将一条均匀柔软的链条两端固定 在重力
Ａ. ( ) (０ꎬ＋∞) ꎬ
ｆ ｘ 的图象关于点 对称 的作用下它所呈现的形状叫悬链线 例如悬索桥.建立适当的
Ｂ. ( ) (１ꎬ０) ꎬ
ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称 ｘ
Ｃ. ( ) ＝１ 坐标系 可以写出悬链线的函数解析式为ｆ ｘ ａ ｈ 其
ｆ ｘ 的图象关于点 对称 ꎬ ( )＝ ｃｏｓ ａ ꎬ
Ｄ. ( ) (１ꎬ１)
答案 Ｄ 中ａ为悬链线系数.则下列结论正确的是
( )
２ｈｘ ２ｈｘ
ａ ｘ２ Ａ.ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝１
２.(多选)(２０２２ ５３原创题)已知函数ｆ ｘ － 是奇函 ｙ ｈｘ ｈｘ是偶函数
( )＝ ｘ Ｂ. ＝ｓｉｎ ｃｏｓ
１－｜ ＋１｜
ｈ ｘ ｙ ｈｘ ｈｙ ｈｘ ｈｙ
数 则ａ的可能取值为 Ｃ.ｃｏｓ[ ( － )]＝ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ
ꎬ ( )
ｈｘ ｈｘ
１ ｘ ｘ Ｒ 且ｘ ｘ ｓｉｎ １－ｓｉｎ ２
Ａ.０ Ｂ. ２ Ｃ.１ Ｄ.２ Ｄ.∀ １ꎬ ２∈ ꎬ １≠ ２ꎬ ｘ １－ ｘ ２ <１
答案 ＢＣ 答案 ＡＣ
３.(多选)(２０２２ ５３ 原创题)双曲函数是一类与三角函数类
ｘ ｘ
－
似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数 ｈｘ ｅ －ｅ 和
ｓｉｎ ＝
２
