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2024版《5年高考3年模拟》A版
专题四 导数及其应用
一、单项选择题
1.(2023届西南“三省三校”联考一,9)已知函数f(x)=
1 1 1 1
C0+C1x+ C3x3+ C5x5+…+ Ckxk+…+ Cn xn(k,n为正奇数), f '(x)是f(x)的导函
n n 3 n 5 n k n n n
数,则f '(1)+f(0)= ( )
A.2n B.2n-1
C.2n+1 D.2n-1+1
答案 D 由已知得f(0)=C0=1,f '(x)=C1+C3x2+C5x4+…+Ckxk−1+…+Cnxn-1(k,n为
n n n n n n
正奇数),所以f '(1)=C1+C3+C5+…+Ck+…+Cn (k,n为正奇数),又
n n n n n
C1+C3+C5+…+Ck+…+Cn =2n-1(k,n为正奇数),
n n n n n
所以f '(1)=2n-1,所以f '(1)+f(0)=2n-1+1.故选D.
a
2.(2022郑州外国语中学调研二,5)已知函数f(x)=x+ (a>0),则曲线y=f(x)过点P(2,0)的切
2x
线有 ( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
a
答案 C 设切点为A(x ,y )(x ≠0),直线AP的斜率为k,则f '(x )=k,由题意得f '(x )=1-
0 0 0 0 0 2x2
0
a
,k= y x 0 + 2x 2x2+a ,∴1- a = 2x2 0 +a (x ≠0),化简得2x2+ax -
0 = 0 = 0 2x2 2x2−4x 0 0 0
x −2 x −2 2x2−4x 0 0 0
0 0 0 0
a=0(*),Δ=a2+8a,
∵a>0,∴方程(*)有两个不同的解,∴曲线y=f(x)过点P(2,0)的切线有2条,故选C.
3.(2021湘豫名校联盟4月联考,9)设曲线y=ln x与y=(x+a)2有一条斜率为1的公切线,则
a= ( )
3 1 3
A.-1 B.- C. D.
4 4 4
1
答案 B 设切线与曲线y=ln x的切点坐标为(m,n),y=ln x的导函数为y'= ,由切线的斜
x
1
率为1,可得 =1,即m=1,则切点为(1,0),切线方程为y=x-1,与y=(x+a)2联立,可得
m
3
x2+(2a-1)x+a2+1=0,由Δ=(2a-1)2-4(a2+1)=0,解得a=- ,故选B.
4
方法总结:利用导数的几何意义求两曲线的公切线.北京曲一线图书策划有限公司
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①切点为两曲线的公共点,即f(x)=g(x);
0 0
②切线斜率相同,即f '(x)=g'(x)
0 0
分别写出两曲线的切线方程,由于重合,则对应系数相等,解方程得结果
1
4.(2023届四川内江零模,4)函数f(x)= x2-ln x的单调递减区间为 ( )
2
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(0,2)
1
答案 B 由题意可知f(x)的定义域为(0,+∞), f '(x)=x- .
x
1 (x−1)(x+1)
解不等式f '(x)=x- = <0,可得0<x<1,
x x
1
故函数f(x)= x2-ln x的递减区间为(0,1).故选B.
2
1
5.(2023届河南部分重点中学测试,3)已知点M在函数f(x)= x3-8x-9的图象上,且在第二象
3
限内,若f(x)的图象在点M处的切线斜率为1,则点M的坐标为( )
A.(-3,6) B.(-3,12)
( 1)
C. −2, D.(-2,13)
3
答案 A f '(x)=x2-8.设点M(x ,y ),则f '(x )=x2-8=1,即x2=9,又M在第二象限内,所以x <0,
0 0 0 0 0 0
所以x =-3,因为f(-3)=6,所以点M(-3,6),故选A.
0
6.(2023届广西桂林七星田家炳中学月考,8)已知函数f(x)=a√x+ln x在x=1处取最大值,则
实数a=( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
a 1
答案 C 由题意得f '(x)= + ,x>0,因为函数f(x)=a√x+ln x在x=1处取最大值,此时
2√x x
1 1 1 1−√x
也是极大值,所以f '(1)= a+1=0,所以a=-2,此时f '(x)= − = ,当x>1时, f '(x)<0,
2 x √x x
函数单调递减,当0<x<1时, f '(x)>0,函数单调递增,符合题意.故选C.北京曲一线图书策划有限公司
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m f(b)−f(a)
7.(2023届山西临汾期中,8)设函数f(x)=ln x+ ,若对任意的b>a>1, <1恒成立,
x b−a
则m的取值范围是 ( )
A.[0,+∞) B.(0,+∞)
[1 ) (1 )
C. ,+∞ D. ,+∞
4 4
f(b)−f(a) m
答案 A 当b>a>1时, <1恒成立等价于f(b)-b<f(a)-a.令g(x)=f(x)-x=ln x+ -
b−a x
1 m x2−x+m
x,x>1,则g(b)<g(a),故g(x)在x∈(1,+∞)上单调递减,所以g '(x)= − −1=− ≤0
x x2 x2
在x∈(1,+∞)上恒成立,即m≥x-x2在x∈(1,+∞)上恒成立,
( 1) 2 1
又y=x-x2=- x− + 在x∈(1,+∞)上的值域为(-∞,0),所以m≥0.故选A.
2 4
8.(2023届河南洛阳六校月考,10)定义在[0,+∞)上的函数f(x)≠0恒成立,其导函数为f '(x),若
f(x)-(x+1)f '(x)ln(x+1)<0,则 ( )
A.2f(1)>f(3)>0 B.2f(1)<f(3)<0
C.2f(3)>f(1)>0 D.2f(3)<f(1)<0
ln(x+1)
答案 B 构造函数g(x)= (x≥0),∴g'(x)=
f(x)
f(x)
−ln(x+1)f '(x)
x+1 f(x)−(x+1)f '(x)ln(x+1),由f(x)-(x+1)f '(x)ln(x+1)<0,可
=
[f(x)] 2 (x+1)[f(x)] 2
ln4 ln2 ln1
得g'(x)<0,得g(x)在[0,+∞)上单调递减,∴g(3)<g(1)<g(0),则 < < =0,∵ln 4>ln
f(3) f(1) f(0)
2>0,∴f(3)<0, f(1)<0,∴f(3)f(1)>0,∴2f(1)<f(3)<0.故选B.
二、多项选择题
9.(2022山东烟台二中期末,11)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得f(x)的图象在这两点
处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ( )
A.y=sin2x
B.y=tan x
|x−1|
C.y= ,x∈(-2,+∞)
x+2
D.y=ex-ln x北京曲一线图书策划有限公司
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1−cos2x π 3π
答案 ACD 对于A,y=sin2x= ,则y'=sin 2x∈[-1,1],当x = ,x = 时,满足条件;
2 1 4 2 4
1 |x−1|
对于B,y=tan x,则y'= >0恒成立,不存在满足条件的两点;对于C,y=
cos2x x+2
,x∈(-2,+∞),
−3
{ ,x∈(−2,1),
(x+2) 2
则y'= 0,x=1,
3
,x∈(1,+∞),
(x+2) 2
5 1 1
当x =- ,x =2时,满足条件;对于D,y=ex-ln x,则y'=ex- (x>0),函数y'=ex- 在(0,+∞)上单调递
1 4 2 x x
增,且y' | x=
3
1 =√3 e -3<-1,y'| x=1 =e-1>1,所以存在y'| x=x
1
=-1,y'| x=x
2
=1,满足条件.故选ACD.
3lnx
10.(2022福建龙岩一模,12)已知函数f(x)= ,a=f(log 5),b=f(log 4),c=f(3ln π),则 (
x−3 4 3
)
A.当x∈(3,+∞)时, f(x)>0恒成立
B.函数f(x)在区间(1,3)上单调递增
C.a,b,c中最大的是c
D.a,b,c中最小的是a
答案 AC 当x∈(3,+∞)时,x-3>0,ln x>0,所以f(x)>0恒成立,故A正确;
( 3 )
3 1− −lnx 3 3 1 3−x
f '(x)= x ,令g(x)=1- -ln x,x∈(1,3),则g'(x)= − = >0,则函数g(x)在区
x x2 x x2
(x−3) 2
间(1,3)上单调递增,所以g(x)<g(3)=-ln 3<0,即f '(x)<0在(1,3)上恒成立,则函数f(x)在区间
1
(1,3)上单调递减,故B错误;因为log 4= ∈(1,2),log 5∈(1,2),所以
3 log 3 4
4
log 3+log 5=log 15<log 16=2,且log 3+log 5>2√log 3×log 5,所以log 3×log 5<1,所以
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1
1<log 5< =log 4<2,因为函数f(x)在区间(1,3)上单调递减,所以
4 log 3 3
4
0>a=f(log 5)>f(log 4)=b,而c=f(3ln π)>0,所以c>a>b,故C正确,D错误.故选AC.
4 3
方法点拨 比较大小问题一般是借助函数的单调性得出大小关系.
11.(2022届福州八县(市、区)一中期中,12)已知函数f(x)的定义域、值域都是(0,+∞),且满
1
足 f(x)<f '(x),则下列结论一定正确的是 ( )
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3
A.若f(1)=e,则f(2)>
e2
B.f(2)<f(3)
C.3f(2)>2f(4)
1
D.7f
(1)
<6f
(1)
e8
4 3
1
f(x) f '(x)− f(x)
2
答案 ABD 令g(x)= 1 ,则函数g(x)的定义域为(0,+∞),g'(x)= ,由题意
e2 x 1 x
e2
知g'(x)>0,
所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,
f(1) =e 1 2 f(2) 1 3
对于A,g(2)>g(1)=
1
,即 >e2,则f(2)> e2,A中结论正确;
e
e2
f(3) f(2)
>
对于B,因为g(3)>g(2),即 3 e ,
e2
1
所以f(3)>
e2
f(2)>f(2),B中结论正确;
f(4) f(2) 3
对于C,因为g(4)>g(2),即 > ,所以f(4)>ef(2)> f(2),故2f(4)>3f(2),C中结论不正确;
e2 e 2
对于D,构造函数h(x)=ex-x-1,其中x>0,则h'(x)=ex-1>0,所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递增,故
h(x)>h(0)=0,即当x>0时,ex>x+1,
f
(1)
f
(1)
f
(1)
f
(1)
(1) (1) 3 4 1 1 7 3 3
因为g >g ,即 > ,由ex>x+1可得e6> +1= ,则 > ,所以
3 4 1 1 6 6 7 1
e6 e8
6
e6
(1) (1)
f f
3 4
> ,
7 1
e8
6
1
故7f
(1)
<6f
(1)
e8,D中结论正确.故选ABD.
4 3
x 1
12.(2022届湖湘教育三新探索协作体11月期中,12)已知函数f(x)=ex,g(x)=ln + ,下列说
2 2
法正确的是 ( )
A. m∈R,h(x)=f(x)-g(x)+m都存在零点
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1 1
B.若∀x>1, f(ax)-ax≥x-g(2x)+ 恒成立,则正实数a的最小值为
2 e
C.若f(x),g(x)的图象与直线y=m分别交于A,B两点,则|AB|的最小值为2+ln 2
D.存在直线y=m与f(x),g(x)的图象分别交于A,B两点,使得曲线f(x)在A处的切线与曲线
g(x)在B处的切线平行
1 1
答案 BCD 对于A,因为h'(x)=ex- ,存在x 使得ex 0= ,故h(x)在(0,x )上递减,在区间
x 0 x 0
0
x 1 x 1
(x ,+∞)上递增,h(x)的最小值为h(x )=ex 0−ln 0− +m,当m>ln 0+ −ex 0时,h(x)不存在
0 0
2 2 2 2
零点,A错误.
对于B,不等式化为eax-ax≥x-ln x=eln x-ln x,因为函数y=ex-x在(0,+∞)上递增,所以ax≥ln x,即
lnx lnx 1−lnx lnx
a≥ ,令y= ,x>0,则y'= ,令y'=0,得x=e,所以y= 在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)
x x x2 x
上单调递减,
1 1
所以y≤ ,故a≥ 成立,B正确.
e e
1 1 1
对于C,由题意可知A(ln m,m),B(2
e
m− 2,m),|AB|=2
e
m−
2
-ln m,令φ(x)=2
e
x−
2
-ln x,则φ'(x)=2
x− 1 1 (1) ( 1) (1 )
e 2− 在(0,+∞)上递增,且φ' =0,当x∈ 0, 时,φ'(x)<0,当x∈ ,+∞ 时,φ'(x)>0,所
x 2 2 2
(1)
以,φ(x) =φ =2+ln 2,C正确.
min 2
1
1 1 1
对于D,设A(ln m,m),B(2
e
m− 2,m), f '(x)=ex,g'(x)=
x
, f '(ln m)=eln m=m,g'(2
e
m− 2)=
m−
1,因为曲
2e 2
线f(x)在A处的切线与曲线g(x)在B处的切线平行,
1
1 1
所以有m=
m−
1,即2m
e
m− 2=1,得m=
2
,故存在直线y=m符合题意,D正确.
2e 2
三、填空题
x3
13.(2023届河南洛阳模拟,13)若函数f(x)= -f '(1)·x2-1,则f '(1)的值为 .
3
1
答案
3
1
解析 f '(x)=x2-2xf '(1),令x=1,得f '(1)=1-2f '(1),解得f '(1)= .
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1
14.(2023届黑龙江牡丹江二中段考一,13)若曲线y=ax2-ln x在x= 处取得极值,则a=
2
.
答案 2
1 | 1
解析 ∵y'=2ax- ,∴y' 1=a-2.∵曲线y=ax2-ln x在x= 处取得极值,∴a-2=0,故a=2.
x x= 2 2
15.(2021新高考Ⅰ,15,5分)函数f(x)=|2x-1|-2ln x的最小值为 .
答案 1
1 2 2x−2 (1 )
解析 ①当x> 时, f(x)=2x-1-2ln x,∴f '(x)=2- = ,∴当x∈ ,1 时, f '(x)<0,当
2 x x 2
(1 )
x∈(1,+∞)时, f '(x)>0,∴f(x)在 ,1 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴f(x) =f(1)=1.②当
2 min
1 2 ( 1]
0<x≤ 时, f(x)=1-2x-2ln x,此时f '(x)=-2- <0恒成立,∴f(x)在 0, 上单调递减,∴f(x) =f
2 x 2 min
(1)
=2ln 2.∵2ln 2>1,∴f(x) =1.
2 min
16.(2022全国乙,16,5分)已知x=x 和x=x 分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点
1 2
和极大值点.若x <x ,则a的取值范围是 .
1 2
(1 )
答案 ,1
e
解析 ∵f(x)=2ax-ex2,
∴f '(x)=2axln a-2ex.
根据题意,得x ,x 是f '(x)=0的两个不相等的实根.
1 2
由f '(x)=0得,axln a=ex.
由题意得 函数 y = a x ln a 与 y = e x 的图象有两个不同的交点 .
当a>1时,画出函数y=axln a与y=ex的图象,如图①所示,
当x∈(-∞,x )时,f '(x)=2axln a-2ex>0,
1
f(x)在(-∞,x )上单调递增;
1
当x∈(x ,x )时,f '(x)=2axln a-2ex<0,
1 2
f(x)在(x ,x )上单调递减;
1 2
当x∈(x ,+∞)时,f '(x)=2axln a-2ex>0,
2
f(x)在(x ,+∞)上单调递增.
2
∴x=x 和x=x 分别是f(x)的极大值点和极小值点,这与已知矛盾.∴当a>1时,不满足题意,
1 2
舍去.
