北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题九 平面解析几何
一、单项选择题
1.(2022山西晋城重点中学4月月考,6)以(a,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0与2x-
y-6=0同时相切的圆的标准方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=5
B.(x+1)2+(y+1)2=5
C.(x-1)2+y2=5
D.x2+(y-1)2=5
|2a−1+4| |2a−1−6|
答案 A 由已知得圆心到两直线的距离d= = ,解得a=1,d=
√5 √5
√5,所以半径r=√5,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.
x2 y2
2.(2023届广西桂林月考,11)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的右焦点为F(4,0),过点F
a2 b2
的直线交椭圆于A、B两点,若M(1,-1),且⃗OA+⃗OB=2⃗OM,则E的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
48 32 36 20
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
24 8 20 4
答案 C ∵⃗OA+⃗OB=2⃗OM,∴M为AB的中点.
−1−0 1
∵过点F的直线交椭圆于A、B两点,且M(1,-1),∴k =k = = .
AB MF 1−4 3
设A(x ,y ),B(x ,y ),其中x ≠x ,则
1 1 2 2 1 2
{x2 y2
1+ 1=1,
a2 b2 b2 y −y y + y −2
由点差法得- = 1 2· 1 2=k AB· ,
x2 y2 a2 x −x x +x 2
2+ 2=1, 1 2 1 2
a2 b2
b2 1
∴ = ,
a2 3
又∵a2=b2+c2,c=4,
x2 y2
∴b2=8,a2=24,∴E的方程为 + =1.故选C.
24 8
3.(2020课标Ⅲ,5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两
点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )
(1 ) (1 )
A. ,0 B. ,0 C.(1,0) D.(2,0)
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{ x=2,
答案 B 由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.由 得D(2,2
y2=2px
(1 )
√p),E(2,-2√p),∵OD⊥OE,∴⃗OD·⃗OE=4-4p=0,∴p=1,∴C的焦点坐标为 ,0 ,故
2
选B.
x2 y2
4.(2023届南宁三中摸底,10)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点为A,
a2 b2
上顶点为B,点P(a,b)满足∠OBF=∠BPO(O是坐标原点),则椭圆C的离心率是( )
√5+1 √5−1 √2 √2
A. B. C. D.
2 2 2 4
答案 B 依题意可得B(0,b),F(c,0),A(a,0),P(a,b),所以OB⊥BP,又
OB OF b c
∠OBF=∠BPO,∠BOF=∠OBP=90°,所以△OBF∽△BPO,所以 = ,即 = ,所
BP OB a b
−1+√5 −1−√5
以b2=ac,又b2=a2-c2,所以a2-c2=ac,所以1-e2=e,解得e= 或e= (舍去).故
2 2
选B.
x2 y2
5.(2023届山西大同调研一,12)已知F ,F 为双曲线E: − =1(a>0,b>0)的左、右焦
1 2 a2 b2
π
点,点P在E上,∠F PF 的平分线交x轴于点D,若∠F PF = ,|PF |+|PF |=8,且PD=√3
1 2 1 2 3 1 2
,则双曲线的方程为 ( )
x2 y2 x2 y2
A. − =1 B. − =1
2 8 8 2
x2 y2 x2 y2
C. − =1 D. − =1
6 4 4 6
答案 B 不妨设点P在双曲线的右支上,设|PF |=n,|PF |=m,则n-m=2a,又m+n=8,所以
1 2
n=a+4,m=4-a.
π π
由∠F PF = ,PD平分∠F PF ,得∠F PD=∠F PD= ,又PD=
1 2 3 1 2 1 2 6
√3,S =S +S ,∴
△PF F △PF D △PF D
1 2 1 2
1 π 1 π 1 π
·|PF1|·|PF2|·sin = |PF1|·|PD|·sin + |PF2|·|PD|·sin ,整理得
2 3 2 6 2 6
π
m·n=m+n,即(4-a)(4+a)=8,解得a2=8.在△PF F 中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos
1 2 3
x2 y2
=(m+n)2-3mn=40.∴c2=10,则b2=c2-a2=2,故所求的双曲线方程为 − =1.故选B.
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6.(2023届山西大学附中9月诊断,4)若直线x=4y+7与双曲线C:ax2-y2=1(a>0)的一条渐
近线平行,则a的值为 ( )
1 1
A. B. C.4 D.16
16 4
1
答案 A 由题意可得双曲线C的渐近线方程为y=±√ax,直线x=4y+7的斜率为 .
4
1 1
∵直线x=4y+7与双曲线C的一条渐近线平行,∴√a= ,解得a= .故选A.
4 16
7.(2023届河南洛阳期中,9)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,其准线与x轴的交点为A,
点P在抛物线C上,且PA⊥PF,则|PF|= ( )
√5−1
A. B.√5-2 C.√5-1 D.3-√5
2
(
y2
)
答案 C 因为点P在抛物线C:y2=4x上,所以设P 0,y .
4 0
由抛物线C:y2=4x可得焦点F(1,0),准线方程为x=-1,故A(-1,0).因为PA⊥PF,所以
⃗PA⊥⃗PF.
(
y2
) (
y2
)
因为⃗PA= −1− 0,−y ,⃗PF= 1− 0,−y ,
4 0 4 0
y4
所以⃗PA·⃗PF= 0 −1+ y2=0,解得y2=4√5-8(舍负),所以P的横坐标为√5-2.
16 0 0
由抛物线的定义可得|PF|=√5−2+1=√5-1.故选C.
8.(2022安徽安庆二模,4)抛物线y2=4x的焦点为F,点A在抛物线上.若|AF|=3,则直线AF
的斜率为 ( )
A.±√2 B.±2√2 C.√2 D.2√2
答案 B 设点A(x ,y ),则|AF|=x +1=3,故x =2,所以y =±2√2,故点A的坐标为(2,2√2
0 0 0 0 0
)或(2,-2√2),又F(1,0),所以直线AF的斜率为±2√2.故选B.
一题多解:设直线AF的倾斜角为θ(0<θ<π),点F,A在抛物线准线l:x=-1上的射影分
别为F,A,则|AA|=|FF|+|AF||cos θ|=2+3|cos θ|,又|AA|=|AF|,所以2+3|cos
1 1 1 1 1
1 sinθ √1−cos2θ
θ|=3,得cos θ=± ,所以tan θ= = =±2√2.故选B.
3 cosθ cosθ
二、多项选择题
9.(2022江苏阜宁中学期中,10)已知圆C:x2+y2-4x=0和直线l:kx-y+1-2k=0,则 (
)
A.直线l与圆C的位置关系无法判断
√2
B.当k=1时,圆C上的点到直线l的最远距离为2+
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C.当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时,k=0
D.如果直线l与圆C相交于M,N两点,那么弦MN的中点的轨迹是一个圆
答案 BCD 圆C:x2+y2-4x=0的圆心为C(2,0),半径r=2,直线l:kx-y+1-2k=k(x-2)+(1-
y)=0,故直线l过定点P(2,1).对于A,由于点P(2,1)在圆C:x2+y2-4x=0内,故直线l与圆
C相交,A错误;
1 √2
对于B,当k=1时,直线l:x-y-1=0,圆心C(2,0)到直线的距离d= = ,故圆C上的点
√2 2
√2
到直线l的最远距离为2+ ,B正确;对于C,当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离
2
1
等于1时,圆心到直线的距离d= =1,解得k=0,C正确;对于D,由于直线l过定点
√1+k2
P(2,1),设弦MN的中点为Q(x,y),则CQ⊥PQ,即点Q的轨迹是以CP为直径的圆,故
D正确,故选BCD.
x2 y2
10.(2022福州一模,9)已知椭圆C: + =1的左、右焦点分别为F ,F ,P为C上一点,
4 3 1 2
则 ( )
√2
A.C的离心率为
2
B. PF F 的周长为5
1 2
C.∠F PF <90°
△ 1 2
D.1≤|PF |≤3
1
c 1
答案 CD 对于A,因为a=2,c=√4−3=1,∴离心率e= = ,A错误;对于B,由椭圆的
a 2
定义知|PF |+|PF |=2a=4,又|F F |=2c=2,∴△PF F 的周长为4+2=6,B错误;对于C,当P
1 2 1 2 1 2
∠F PF c √3
为椭圆短轴端点时,tan 1 2= = ,
2 b 3
∠F PF 2√3
2tan 1 2
2 3
∴tan∠F PF = = =√3,∴∠F PF =60°,即(∠F PF )
1 2 ∠F PF 1 1 2 1 2 max
1−tan 2 1 2 1−
2 3
=60°,∴∠F PF <90°,C正确;对于D,
1 2
∵|PF | =a-c=1,|PF | =a+c=3,∴1≤|PF |≤3,D正确,故选CD.
1 min 1 max 1
x2 y2
11.(2022山东烟台、德州一模,12)已知双曲线C: − =1,F ,F 为C的左、右焦点,
4 5 1 2
则 ( )
x2 y2
A.双曲线 − =1(m>0)和C的离心率相等
4+m 5+m北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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B.若P为C上一点,且∠F PF =90°,则△F PF 的周长为6+2√14
1 2 1 2
√6 √6
C.若直线y=tx-1与C没有公共点,则t<- 或t>
2 2
D.在C的左、右两支上分别存在点M,N,使得4⃗F M=⃗F N
1 1
x2 y2 3 x2 y2
答案 BC 对于A,双曲线C: − =1的离心率e= ,双曲线 − =1(m>0)
4 5 2 4+m 5+m
√4+m+5+m √9+2m
的离心率e= = ,它们的离心率不相等,A错误;对于B,有
4+m 4+m
{|PF |2+|PF |2=36,
1 2 整理得|PF |+|PF |=2√14,则△F PF 的周长为6+2√14,B正确;
||PF |−|PF ||=4, 1 2 1 2
1 2
{x2 y2
− =1,
对于C,由 4 5 可得(5-4t2)x2+8tx-24=0,由题意知方程(5-4t2)x2+8tx-24=0无解,
y=tx−1
{ 5−4t2≠0,
当5-4t2=0时,方程(5-4t2)x2+8tx-24=0有解;当5-4t2≠0时,则有 解
(8t) 2+96(5−4t2 )<0,
√6 √6
之得t<- 或t> ,故C正确;对于D,当直线MN不与x轴平行时,设直线MN的方程
2 2
{x2 y2
− =1,
为x=ty-3,M(x ,y ),N(x ,y ),由4⃗F M=⃗F N,可得y =4y ,由 4 5 可得(5t2-
1 1 2 2 1 1 2 1
x=ty−3,
30t 30t
{y + y = , {5 y = ,
1 2 5t2−4 1 5t2−4
4)y2-30ty+25=0,则 即 整理得19t2+100=0,显然不成立,
25 25
y y = , 4 y2= ,
1 2 5t2−4 1 5t2−4
当过双曲线C的左焦点F 的直线MN与x轴重合时,方程为y=0,
1
则M(-2,0),N(2,0),⃗F M=(1,0),⃗F N=(5,0),即5⃗F M=⃗F N,D错误.故选BC.
1 1 1 1
12.(2022辽宁名校联盟3月联考,12)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的准线l的方程为y=-1,
过C的焦点F的直线与C交于A,B两点,以A,B为切点分别作C的两条切线,且两切线
交于点M,则下列结论正确的是 ( )
A.C的方程为x2=2y
B.∠AMB=90°
C.M恒在l上
D.|MF|2=|AF|·|BF|北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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p
答案 BCD 由题意得- =-1,所以p=2,因此C的方程为x2=4y,A项错误;由题意可知
2
{y=kx+1,
直线AB的斜率存在,F(0,1),设AB的方程为y=kx+1,A(x ,y ),B(x ,y ),由
1 1 2 2 x2=4 y
1 1 1
得x2-4kx-4=0,所以x +x =4k,x x =-4.由y= x2得y'= x,所以AM的斜率为k = x ,所以
1 2 1 2 4 2 AM 2 1
1 1 1 1
AM的方程为y-y = x (x-x ),即y-
x2=
x (x-x )①,同理BM的斜率为k = x ,所以
1 2 1 1 4 1 2 1 1 BM 2 2
1 1 1
BM的方程为y-
x2=
x (x-x )②,所以k k = x x =-1,即AM⊥BM,所以
4 2 2 2 2 AM BM 4 1 2
1
∠AMB=90°,B项正确;由①②得(x -x )y= x x (x -x ),因为x ≠x ,所以y=-1,将y=-1代入
2 1 4 1 2 2 1 1 2
x +x
①②得x= 2 1=2k,所以点M的坐标为(2k,-1),又C的准线l的方程为y=-1,所以M恒
2
−1−1 1
在l上,C项正确;当AB的斜率k不为零时,k = =− ,所以k ·k =-1,所以
MF 2k k AB MF
AB⊥MF,当AB的斜率k=0时,点M的坐标为(0,-1),显然AB⊥MF,由△AMF∽△MBF
|MF| |BF|
得 = ,所以|MF|2=|AF|·|BF|,D项正确,故选BCD.
|AF| |MF|
三、填空题
13.(2022全国乙,14,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程
为 .
8 14 16 16
x− x−2y−
答案 (x-2)2+(y-1)2=5 或x2+y2-4x-6y=0或x2+y2-3 3 y=0或x2+y2- 5 5
=0
解析 选取(0,0),(4,0),(4,2)时,不妨设这三点分别为O,A,B,则线段OA的垂直平分
线的方程为x=2,线段AB的垂直平分线的方程为y=1,所以经过这三点的圆的圆心坐标
为(2,1),记为C,圆的半径r=|CO|=√22+12=√5,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
选取(0,0),(4,0),(-1,1)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
{
F=0, {D=−4,
16+4D+F=0, 解得 E=−6,所以所求圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.
1+1−D+E+F=0, F=0.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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选取(0,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
8
{D=− ,
{ F=0, 3
1+1−D+E+F=0, 解得 14
E=− ,
16+4+4D+2E+F=0, 3
F=0.
8 14
所以所求圆的方程为x2+y2- x− y=0.
3 3
选取(4,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
16
{D=− ,
{ 16+4D+F=0, 5
16 16
1+1−D+E+F=0, 解得 E=−2, 所以所求圆的方程为x2+y2- x−2y−
5 5
16+4+4D+2E+F=0, 16
F=− .
5
=0.
x2 y2
14.(2022贵阳五校联考,15)设F ,F 分别是椭圆 + =1的左、右焦点,P为椭圆上任
1 2 25 16
一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF |的最大值为 .
1
答案 15
解析 如图所示.
x2 y2
在椭圆 + =1中,a=5,b=4,c=3,所以焦点坐标分别为F (-3,0),F (3,0).
25 16 1 2
|PM|+|PF |=|PM|+(2a-|PF |)=10+(|PM|-|PF |).
1 2 2
∵|PM|-|PF |≤|MF |,当且仅当P在MF 的延长线上(P与P 重合)时取等号,
2 2 2 0
∴(|PM|-|PF |) =|MF |=√(6−3) 2+(4−0) 2=5,故|PM|+|PF |的最大值为10+5=15.
2 max 2 1
解后反思:解题关键是转化为一动点到两定点距离之和或距离之差的最值问题,可以结
合图形利用三角形三边的关系解决.
15.(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为
C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为
.
