北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题六 平面向量
一、单项选择题
1.(2022吉林第三次调研,5)已知向量a=(4,3),则与向量a垂直的单位向量的坐标为
( )
(4 3)
A. ,
5 5
(3 4)
B. ,−
5 5
( 4 3) (4 3)
C. − ,− 或 ,
5 5 5 5
(3 4) ( 3 4)
D. ,− 或 − ,
5 5 5 5
答案 D 易知b=(3,-4)是与a垂直的向量,|b|=5,
1 (3 4) 1 ( 3 4)
所以与b平行的单位向量为 b= ,− 或- b= − , ,故选D.
5 5 5 5 5 5
2.(2023届哈尔滨三中月考二,5)在△ABC中,点D是线段BC上任意一点,且满足
⃗AD=3⃗AP,若存在实数m和n,使得⃗BP=m⃗AB+n⃗AC,则m+n= ( )
2 1
A. B.
3 3
2 1
C.- D.-
3 3
答案 C 设⃗BD=μ⃗BC(0≤μ≤1),∵⃗AD=3⃗AP,∴
1 1 2 1 2 1
⃗BP=⃗BA+⃗AP=⃗BA+ ⃗AD=⃗BA+ (⃗BD−⃗BA)= ⃗BA+ μ⃗BC= ⃗BA+ μ(⃗AC−⃗AB)
3 3 3 3 3 3
= 1 μ⃗AC− (2 + 1 μ )⃗AB,
3 3 3
(2 1 ) 1 1 2 1 2
∵⃗BP=m⃗AB+n⃗AC,∴m=- + μ ,n= μ,∴m+n= μ− − μ=− .故选C.
3 3 3 3 3 3 3
3.(2023届四川内江六中9月联考,1)已知向量a=(1,2),b=(1,1),若c=a+kb,且b⊥c,则
实数k=( )
3 5 5 3
A. B.- C. D.-
2 3 3 2
答案 D 由题意可得c=a+kb=(1,2)+(k,k)=(k+1,2+k).
又b⊥c,∴b·c=k+1+k+2=2k+3=0,
3
∴k=- ,故选D.
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4.(2023届河南名校诊断测试一,10)已知△ABC中,⃗BO=2⃗OC,过点O的直线分别交射
线AB,AC于不同的两点M,N,则△AMN与△ABC的面积之比的最小值为 ( )
2√2 4 8
A. B. C. D.2
3 9 9
答案 C 设⃗AM=m⃗AB,⃗AN=n⃗AC,m>0,n>0,
1 1
则⃗AB= ⃗AM,⃗AC= ⃗AN.
m n
1 2 1 2
∵⃗BO=2⃗OC,∴⃗BA+⃗AO=2(⃗OA+⃗AC),即⃗AO= ⃗AB+ ⃗AC= ⃗AM+ ⃗AN.
3 3 3m 3n
1 2
∵M、O、N三点共线,∴ + =1.
3m 3n
1 2 √ 1 2 2√ 2
∴1= + ≥2 · = ,
3m 3n 3m 3n 3 mn
8( 1 2 1 )
∴mn≥ 当且仅当 = = 时等号成立 .
9 3m 3n 2
1
∵S = |⃗AB||⃗AC|sin∠BAC,S =
ABC 2 AMN
△ △
1 1
|⃗AM||⃗AN|·sin∠BAC= m|⃗AB|·n|⃗AC|sin∠BAC,
2 2
S 8
∴ △AMN =mn≥ ,故选C.
S 9
△ABC
( 1 √3) (√3 1)
5.(2022陕西汉中第二次质检,4)已知向量a= − , ,b= ,− ,则下列关系正确
2 2 2 2
的是( )
A.(a+b)∥(a-b) B.(a+b)⊥b
C.(a+b)⊥(a-b) D.(a+b)⊥a
1 √3 √3 ( 1) √3
答案 C 由题意得|a|=|b|=1,a·b=- × + × − =− ,
2 2 2 2 2
所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以(a+b)⊥(a-b),
√3
(a+b)·a=a2+a·b=1- ≠0,
2
√3
(a+b)·b=a·b+b2=1- ≠0,
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(√3−1 √3−1) ( √3+1 √3+1) √3−1 √3+1 √3−1 ( √3+1)
a+b= , ,a-b= − , , · − · − =1,
2 2 2 2 2 2 2 2
故a+b与a-b不平行.只有C正确.故选C.
6.(2023届南京溧水期中,5)已知菱形ABCD中,AB=2,∠ABC=120°,M为BC中点,
⃗DN=λ⃗DC,⃗AM·⃗AN=19,则λ= ( )
A.1 B.3 C.5 D.7
1
答案 B 如图,∵⃗AM=⃗AB+⃗BM=⃗AB+ ⃗AD,
2
⃗AN=⃗AD+⃗DN=⃗AD+λ⃗DC=⃗AD+λ⃗AB,
∴⃗AM·⃗AN= (⃗AB+ 1 ⃗AD ) ·(λ⃗AB+⃗AD)
2
=λ⃗AB2+ (λ +1 )⃗AB·⃗AD+ 1 ⃗AD2 .
2 2
∵在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=2,∴∠BAD=60°,AD=2,
∴⃗AM·⃗AN=4λ+ (λ +1 ) ×2×2×cos 60°+2=5λ+4=19,解得λ=3.故选B.
2
7.(2023届豫东名校联考,3)已知平面向量a,b满足a=(√3,1),|b|=√2,|a+b|=√2,则a与
b的夹角为 ( )
2π π 3π 5π
A. B. C. D.
3 4 4 6
答案 C ∵a=(√3,1),∴|a|=2.把|a+b|=√2两边平方,得
a·b −2 √2
a2+2a·b+b2=2,∴a·b=-2,∴cos<a,b>= = =− .
|a||b| 2×√2 2
3π
又<a,b>∈[0,π],∴a与b的夹角为 ,故选C.
4
( 1)
8.(2023届山西临汾期中,3)已知平面向量a= −1, ,b=(1,λ),a与b的夹角为钝角,则
2
λ的取值范围是 ( )
A.(-∞,2] B.(2,+∞)
( 1) ( 1 )
C.(-∞,2) D. −∞,− ∪ − ,2
2 2
答案 D ∵a与b的夹角为钝角,北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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a·b
∴cos<a,b>= <0,即a·b<0.
|a||b|
1
又a·b=-1+ λ,
2
1
∴-1+ λ<0,解得λ<2.
2
当a与b反向时,<a,b>=π,a·b<0,
1
此时可得-1×λ- ×1=0,
2
1
即λ=- ,不符合题意.
2
1
∴λ<2且λ≠- .故选D.
2
二、多项选择题
9.(2022海南三模,9)已知向量a=(1,√3),b=(-1,0),则 ( )
A.a-2b=(2,√3)
B.|a|=2|b|
C.(a+b)⊥b
π
D.a与b的夹角为
3
答案 BC a-2b=(3,√3);|a|=2|b|=2;(a+b)·b=(0,√3)·(-1,0)=0,∴(a+b)⊥b;设a与b
a·b 1 2π
的夹角为α,则cos α= =− ,又0≤α≤π,∴α= .故选BC.
|a||b| 2 3
10.(2022湖南新高考教学教研联盟第一次联考,9)已知a=(1,2),b=(m,-1),则下列说法
正确的是 ( )
1
A.若a∥b,则m=
2
B.若a⊥b,则m=2
C.若|a|=|b|,则m=2
3π
D.若m=-3,则a,b的夹角为
4
1
答案 BD 若a∥b,则1×(-1)-2m=0,解得m=- ,故A错误;
2
若a⊥b,则a·b=m-2=0,解得m=2,故B正确;
若|a|=|b|,则√m2+1=√5,解得m=2或m=-2,故C错误;北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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a·b −3−2 √2
若m=-3,则b=(-3,-1),设a,b的夹角为θ,则cos θ= = =− ,又
|a||b| √5×√10 2
3π
θ∈[0,π],所以θ= ,故D正确.
4
11.(2022湖北黄冈蕲春实验高级中学一模,10)已知向量a=(3,m),b=(n,1),若
a-2b=(-1,-6),则下列结论中正确的是 ( )
A.√5|b|=|a|
B.(5a-2b)⊥b
3√130
C.cos<b,a-b>=-
130
D.a∥(3a+2b)
答案 ABC 由题意得,a-2b=(3-2n,m-2)=(-1,-6),∴m=-4,n=2,故a=(3,-4),b=(2,1).
对于A,|b|=√22+12=√5,|a|=√32+(−4) 2=5,∴√5|b|=|a|,故A正确;对于B,5a-2b=(11,-
22),则(5a-2b)·b=11×2-22×1=0,∴(5a-2b)⊥b,故B正确;对于C,a-b=(1,-5),∴cos<b,a-
b·(a−b) 2×1+1×(−5) 3√130
b>= = =− ,故C正确;对于D,3a+2b=(13,-10),3×
|b||a−b| √5×√12+(−5) 2 130
(-10)-(-4)×13=22≠0,故D错误.故选ABC.
12.(2022山东潍坊一模,10)已知向量⃗OP=(1,2),将⃗OP绕原点O旋转-30°,30°,60°到
⃗OP ,⃗OP ,⃗OP 的位置,则 ( )
1 2 3
A.⃗OP ·⃗OP =0
1 3
B.|⃗PP |=|⃗PP |
1 2
C.⃗OP·⃗OP =⃗OP ·⃗OP
3 1 2
(√3−1 1+2√3)
D.点P 的坐标为 ,
1 2 2
答案 ABC 根据题意得⃗OP 与⃗OP 的夹角为90°,故⃗OP ·⃗OP =0,A正确;连接
1 3 1 3
PP ,PP ,因为△OPP ≌△OPP ,所以PP =PP ,即|⃗PP |=|⃗PP |,故B正确;因为<
1 2 1 2 1 2 1 2
⃗OP,⃗OP >=60°,<⃗OP ,⃗OP >=60°,|⃗OP|=|⃗OP |=|⃗OP |=|⃗OP |,所以
3 1 2 3 1 2
(√3−1 1+2√3)
⃗OP·⃗OP =⃗OP ·⃗OP ,故C正确;若点P 的坐标为 , ,则|
3 1 2 1 2 2
√17+2√3
⃗OP |= ≠|⃗OP|=√5,故D不正确.故选ABC.
1 2
三、填空题
13.(2023届河南名校联考诊断一,13)已知向量a=(2,2),b=(3,3m-2),c=(-2,2-2m).若
a∥(b+c),则|b|= .北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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答案 √10
解析 由已知得b+c=(1,m),∵a∥(b+c),a=(2,2),
∴1×2-2m=0,解得m=1.∴b=(3,1),即|b|=√32+12=√10.
14.(2023届河南安阳调研测试,13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a-b|2=|a|2-|b|2,则实数m=
.
答案 3
解析 由|a-b|2=|a|2-|b|2得a2-2a·b+b2=a2-b2,
即2a·b=2b2=2×(12+22)=10,又a·b=m+2,
所以m+2=5,即m=3.
15.(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
9
答案 -
2
解析 由a+b+c=0,得b+c=-a,则a·(b+c)=-a2,所以a·b+c·a=-12=-1.
7
由b+c=-a,得(b+c)2=(-a)2,则b2+2b·c+c2=a2,即22+2b·c+22=12,所以b·c=- ,则
2
9
a·b+b·c+c·a=- .
2
16.(2022新疆克拉玛依三模,16)设a,b是两个非零向量,⃗AB=a,⃗CD=b,过⃗AB的起点A
和终点B,分别作⃗CD所在直线的垂线,垂足分别为A ,B ,得到⃗A B ,则⃗A B 叫做向量a
1 1 1 1 1 1
在向量b上的投影向量.如图,已知扇形AOB的半径为1,以O为坐标原点建立平面直角
(1 √3)
坐标系,⃗OA=(1,0),⃗OB= , ,则弧AB的中点C的坐标为 ;向量
2 2
⃗CO在⃗OB上的投影向量为 .
(√3 1) ( √3 3)
答案 , ; − ,−
2 2 4 4
(1 √3)
解析 因为⃗OA=(1,0),⃗OB= , ,
2 2
1
所以cos< ⃗OA·⃗OB 2 1,
⃗OA,⃗OB>= = =
|⃗OA||⃗OB| 1×1 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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π
所以∠AOB= .
3
π
因为点C为弧AB的中点,所以∠AOC= .
6
{x=cosα,( π)
由扇形AOB的半径为1,可得弧AB满足的方程 α为参数,0≤α≤ ,
y=sinα 3
{ π √3
x=cos = ,
6 2 (√3 1)
所以弧AB中点C的坐标为 所以C的坐标为 , ,所以
π 1 2 2
y=sin = ,
6 2
( √3 1) (1 √3)
⃗CO= − ,− ,又⃗OB= , ,
2 2 2 2
√3 √3
− −
所以向量 ⃗CO·⃗OB 4 4 √3.
⃗CO在⃗OB上的投影为 = =−
|⃗OB| 1 2
( √3 3)
所以向量⃗CO在⃗OB上的投影向量为 − ,− .
4 4
