北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题五 三角函数与解三角形
一、单项选择题
cosα
1.(2023届黑龙江牡丹江绥芬河高级中学月考,4)已知tan α= ,则sin α= (
2−sinα
)
√15 1 √3 1
A. B. C. D.
4 2 2 4
cosα sinα
答案 B 由tan α= = ,可得cos2α=2sin α-sin2α,所以2sin α=cos2α+sin2α=1,
2−sinα cosα
1
则sin α= .故选B.
2
2.(2023届贵州联考,9)若cos α-3cos β=2√2,sin α+3sin β=1,则cos(α+β)= ( )
1 1 1 1
A.- B. C.- D.
6 6 4 4
答案 B 由cos α-3cos β=2√2,两边平方可得cos2α-6cos αcos β+9cos2β=8①.
由sin α+3sin β=1,两边平方可得sin2α+6sin αsin β+9sin2β=1②.
①+②可得1+9+6(sin αsin β-cos αcos β)=9,
1
所以cos αcos β-sin αsin β= ,
6
1
即cos(α+β)= ,故选B.
6
( π ) √2 ( 2π)
3.(2023届长春第二实验中学月考,6)已知sin α+ = ,则sin 2α+ = (
12 8 3
)
1 2 1 15
A. B. C. D.
16 3 2 16
( π ) √2
答案 D 因为sin α+ = ,
12 8
所以sin
2
( 2π) [π ( π)] ( π) ( π ) (√2) 15
2α+ =sin + 2α+ =cos 2α+ =1−2sin2 α+ =1−2× = .
3 2 6 6 12 8 16
故选D.
( π)
4.(2023届山西临汾期中,5)为了得到y=sin 3x的图象,只需将y=cos 3x− 的图象(
4
)
3π
A.向左平移 个单位长度
4北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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7π
B.向左平移 个单位长度
12
5π
C.向右平移 个单位长度
4
π
D.向右平移 个单位长度
4
( π)
答案 B 设f(x)=cos 3x− ,
4
( 3π) [ ( 3π) π]
则f x+ =cos 3 x+ − =cos(3x+2π)=cos 3x, f
4 4 4
( 7π) [ ( 7π) π] ( 3π)
x+ =cos 3 x+ − =cos 3x+ =sin 3x, f
12 12 4 2
( 5π) [ ( 5π) π] ( π) [ ( π) π]
x− =cos 3 x− − =cos(3x-4π)=cos 3x,f x− =cos 3 x− −
4 4 4 4 4 4
( π) 7π
=cos(3x-π)=-cos 3x,所以只需将y=cos 3x− 的图象向左平移 个单位长度,即可
4 12
得到y=sin 3x的图象.故选B.
1−cosx( [π π])
5.(2023届昆明一中双基检测三,4)若函数f(x)= x∈ , ,则f(x)的值域
sinx 3 2
为( )
[√3 )
A.[√3,+∞) B. ,+∞
3
[√3 ]
C.[1,√3] D. ,1
3
x x
1−1+2sin2 sin
1−cosx 2 2 x [π π]
答案 D f(x)= = = =tan ,∵x∈ , ,∴
sinx x x x 2 3 2
2sin ·cos cos
2 2 2
x [π π] π x π [√3 ]
∈ , ,∴tan ≤tan ≤tan ,即f(x)∈ ,1 ,故选D.
2 6 4 6 2 4 3
( π)
6.(2023届皖南八校开学考,9)函数f(x)=tan 2x− 的图象的一个对称中心为 (
3
)
( π ) (7π )
A. ,0 B. ,0
12 12北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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( 5π ) ( π )
C. − ,0 D. − ,0
12 12
π kπ π kπ
答案 D 令2x- = ,k∈Z,则x= + ,k∈Z,当k=-1时, f(x)的一个对称中心为
3 2 6 4
( π )
− ,0 .故选D.
12
π
7.(2023届赣南五校期中,6)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,A=
4
5π
,C= ,则b= ( )
12
A.2√3 B.2√5 C.2√6 D.6
π √3
4×sin 4×
π asinB 3 2
答案 C 由已知得B=π-A-C= ,由正弦定理得b= = = =2√6.
3 sin A π √2
sin
4 2
故选C.
8.(2022哈尔滨三中二模,12)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, ABC的
2S 1
面积为S,若sin(A+C)= ,则tan A+ 的取值范围为( ) △
b2−a2 3tan(B−A)
[2√3 ) [2√3 4]
A. ,+∞ B. ,
3 3 3
(2√3 4) [2√3 4)
C. , D. ,
3 3 3 3
1
答案 C 在△ABC中,sin(A+C)=sin B,S= acsin B,
2
2S
故由sin(A+C)= 得b2-a2=ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得c=2acos B+a,
b2−a2
所以由正弦定理得sin C=2sin Acos B+sin A,
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin(B-A)=sin A,
故B-A=A或B-A=π-A(舍去),得B=2A.
π
{ 0<A< ,
2
π π π √3
又△ABC为锐角三角形,所以 0<2A< , 解得 <A< ,故 <tan A<1,
2 6 4 3
π
0<π−3A< ,
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1 1 (2√3 4)
故tan A+ =tan A+ ∈ , ,故选C.
3tan(B−A) 3tan A 3 3
二、多项选择题
9.(2022河北仿真模拟卷(二),9)已知tan θ=2,则下列结论正确的是 ( )
A.tan(π-θ)=-2
B.tan(π+θ)=-2
sinθ−3cosθ 1
C. =−
2sinθ+3cosθ 7
4
D.sin 2θ=
5
答案 ACD 对于A,tan(π-θ)=-tan θ=-2,故A正确;对于B,tan(π+θ)=tan
sinθ−3cosθ tanθ−3 2−3 1
θ=2,故B错误;对于C, = = =− ,故C正确;对于D,sin
2sinθ+3cosθ 2tanθ+3 4+3 7
2θ=
2sinθcosθ 2tanθ 4 4
2sin θcos θ= = = = ,故D正确.故选ACD.
sin2θ+cos2θ tan2θ+1 4+1 5
√5 4
10.(2022重庆巴蜀中学3月适应性月考(八),10)已知cos(α+β)=- ,cos 2α=- ,其中
5 5
α,β为锐角,则以下命题正确的是 ( )
3 2√5
A.sin 2α= B.cos(α-β)=
5 5
√5 1
C.cos αcos β= D.tan αtan β=
10 3
√5 4 2√5
答案 ABC 因为cos(α+β)=- ,cos 2α=- (α,β为锐角),故sin(α+β)= ,
5 5 5
3
sin 2α=√1−cos22α= ,故A正确;cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+
5
( 4) ( √5) 3 2√5 2√5
sin 2αsin(α+β)= − × − + × = ,故B正确;由cos(α-β)=cos αcos β+
5 5 5 5 5
2√5 √5 1
sin αsin β= ,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=- ,得cos αcos β= ·[cos(α+β)+cos(α-
5 5 2
1 ( √5 2√5) √5
β)]= × − + = ,故C正确;
2 5 5 10
1 1 [2√5 ( √5)] 3√5
sin αsin β= ×[cos(α-β)-cos(α+β)]= × − − = ,所以tan αtan β=
2 2 5 5 10
sinαsinβ
=3,故D错误,故选ABC.
cosαcosβ北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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π
11.(2022山东烟台、德州一模,9)将函数y=sin 2x的图象向右平移 个单位长度后得到
6
函数f(x)的图象,则 ( )
( π)
A. f(x)=cos 2x+
6
(π )
B. ,0 是f(x)图象的一个对称中心
6
π
C.当x=- 时, f(x)取得最大值
12
[ 5π]
D.函数f(x)在区间 π, 上单调递增
4
π
答案 BD A,将函数y=sin 2x的图象向右平移 个单位长度后得到函数f(x)=sin 2
6
( π) ( π) ( π)
x− =sin 2x− =−cos 2x+ ,错误;
6 3 6
(π) ( π π) (π )
B,f =sin 2× − =0,则 ,0 是f(x)图象的一个对称中心,正确;
6 6 3 6
( π ) ( π π) π
C,f − =sin −2× − =-1,故当x=- 时, f(x)取得最小值,错误;
12 12 3 12
[ 5π] π [5π 13π] [3π 5π]
D,由x∈ π, ,可得2x- ∈ , ⫋ , ,易知函数y=sin x在
4 3 3 6 2 2
[3π 5π] ( π) [ 5π]
, 上单调递增,则函数f(x)=sin 2x− 在区间 π, 上单调递增,正确.故
2 2 3 4
选BD.
12.(2022新高考信息检测原创卷(七),12)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
且a=2,a(cos C-2cos B)=cos A(ab-c),则以下四个结论中正确的是 ( )
A.b=2c
( 4]
B. ABC面积的取值范围为 0,
3
△
C.已知M是BC边的中点,则⃗MA·⃗MB的取值范围为
(1
,3
]
3
D.当A=2C时, ABC的周长为2+2√3
答案 ABD 对于A,∵a(cos C-2cos B)=cos A(ab-c),a=2,∴a(cos C-2cos B)=cos A(2b-
△
c),∴sin Acos C+cos Asin C=2(sin Acos B+cos Asin B),
即sin(A+C)=2sin(A+B),所以sin B=2sin C,∴b=2c,故A正确;对于B,如图,以BC的中
点O为坐标原点,BC所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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则B(-1,0),C(1,0),设A(m,n),因为b=2c,所以√(m−1) 2+n2=2√(m+1) 2+n2,化简得
( 5) 2 16 ( 5 ) 4
m+ +n2= ,所以点A在以 − ,0 为圆心, 为半径的圆上运动(B、C除外),所
3 9 3 3
4 1 4 4
以点A到BC边的距离的最大值为 ,所以△ABC面积的最大值为 ×2× = ,
3 2 3 3
( 4]
∴△ABC面积的取值范围为 0, ,故B正确;对于C,由上述分析知,点A在以
3
( 5 ) 4 5 4 5 4 1
− ,0 为圆心, 为半径的圆上运动(B、C除外),则- − <m<− + ,即-3<m<- ,
3 3 3 3 3 3 3
又⃗MA=(m,n),⃗MB=(-1,0),所以⃗MA·⃗MB=−m∈ (1 ,3 ) ,故C错误;
3
b c
对于D,由A=2C,可得B=π-3C,由A中分析得b=2c,由 = ,得
sinB sinC
2c c
= ,所以sin 3C=2sin C,即sin C·cos 2C+2cos2Csin C=2sin C,
sin(π−3C) sinC
3 √3 1
易知sin C≠0,所以化简得cos2C= ,因为b=2c,所以B>C,所以cos C= ,则sin C= ,所
4 2 2
π π π
以sin B=2sin C=1,所以B= ,C= ,A= ,即△ABC为直角三角形,
2 6 3
2√3 4√3
所以c= ,b= ,所以△ABC的周长为2+2√3,故D正确.故选ABD.
3 3
三、填空题
1
13.(2023届山西临汾期中,13)已知sin θcos θ= ,则sin4θ+cos4θ= .
3
7
答案
9
1 (1) 2 7
解析 因为sin θcos θ= ,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2× = .
3 3 9
( π) (π)
14.(2018北京,11,5分)设函数f(x)=cos ωx− (ω>0).若f(x)≤f 对任意的实数x
6 4
都成立,则ω的最小值为 .
2
答案
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(π)
解析 ∵f(x)≤f 对任意的实数x都成立,
4
(π) π π 2
∴f =1,∴ ·ω− =2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+ ,k∈Z.又ω>0,∴当k=0时,ω取得最
4 4 6 3
2
小值 .
3
( π)
15.(2022西宁一模,15)函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< 的部分图象如图所示,
2
则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)= .
答案 √2
2π
解析 由题中图象可得A=2, =2×(6-2),
ω
π π
解得ω= ,由图象过原点,且|φ|< ,得φ=0,
4 2
π
∴f(x)=2sin x,这是一个周期为8的周期函数,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0,
4
则f(1)+f(2)+…+f(2 022)=252×[f(1)+f(2)+…+f(8)]+f(1)+f(2)+…+f(6)=
√2+2+√2+0−√2−2=√2.
16.(2020课标Ⅰ,16,5分)如图,在三棱锥P-ABC的平面展开图中,AC=1,AB=AD=√3
,AB⊥AC,AB⊥AD,∠CAE=30°,则cos∠FCB= .
1
答案 -
4
解析 将平面图形还原成三棱锥P-ABC(如图),
