北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题八 立体几何
一、单项选择题
1.(2023届河南荥阳摸底,6)某圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥的侧面展开图的
圆心角为 ( )
3π π
A.2π B. C.π D.
2 2
答案 C 设圆锥的母线长为l,底面圆半径为r,则底面圆面积S=πr2,底面圆周长为
1
1
2πr,圆锥侧面积S= ×2πrl=πrl,所以πrl=2πr2,所以l=2r,所以该圆锥的侧面展
2 2
2πr 2πr
开图的圆心角为 = =π,故选C.
l 2r
2.(2023届成都八中月考,10)已知正方形ABCD的边长为2,点E为边AB中点,点F为
边BC中点,将△AED, DCF, BEF分别沿DE,DF,EF折起,使A,C,B三点重合于P
点,则三棱锥P-DEF外接球的表面积为( )
△ △
3π
A. B.3π C.6π D.12π
2
答案 C 如图,由题意可知PE⊥PF,PE⊥PD,PD⊥PF,且PE=PF=1,PD=2,故可把三
棱锥P-DEF补全成长方体,则长方体的外接球即为三棱锥P-DEF的外接球.设外接球半
径为R,则(2R)2=PE2+PF2+PD2=1+1+4=6.∴三棱锥P-DEF外接球的表面积为6π.故选
C.
3.(2023届河南焦作调研一,11)已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,AB和CD分别
8√2
是该圆柱上、下底面的一条直径,若四面体ABCD的体积为 ,则异面直线AB与CD
9
所成角的余弦值为 ( )
2√2 √2 1 1
A. B. C. D.
3 2 2 3
答案 D 如图,设上底面圆心为O ,下底面圆心为O ,连接O C,O D,O O .由圆柱的轴
1 2 1 1 1 2
截面是边长为2的正方形,可知圆柱的底面半径为1,高为2.
1
在△O CD中,CD=2,O O =2,则S = ×2×2=2.
1 1 2 △O 1 CD 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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1 8√2
设A到平面O CD的距离为h,则V =2V =2× ·S ·ℎ = ,解得h=
1 A-BCD A−CO 1 D 3 △O 1 CD 9
2√2
.过O 作EF∥AB交圆O 于点E、F,则异面直线AB与CD所成角为∠EO C或其补
3 2 2 2
2√2
角,过E作EH⊥CD于点H,则EH=h= ,
3
1
所以O H=
√1−EH2=
,
2 3
HO 1 1
所以cos∠EO C= 2= ,即异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .故选D.
2 EO 3 3
2
4.(2023届黑龙江大庆月考一,5)m,n为不重合的直线,α,β,γ为互不相同的平面,下列说
法错误的是 ( )
A.若m∥n,则经过m,n的平面存在且唯一
B.若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n
C.若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,则m⊥γ
D.若m α,n α,m∥β,n∥β,则α∥β
答案 D 对于A,若m∥n,则由公理2的推论可得经过m,n的平面存在且唯一,故A中
⊂ ⊂
说法正确;
对于B,若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则由面面平行的性质定理得m∥n,故B中说法正确;
对于C,如图,设α∩γ=a,β∩γ=b,在α内作c⊥a于点A,在β内作d⊥b于点B,因为
α⊥γ,β⊥γ,所以c⊥γ,d⊥γ,所以c∥d,所以c∥β,因为α∩β=m,c α,所以c∥m,所以
m⊥γ,故C中说法正确;
⊂
对于D,若m α,n α,m∥β,n∥β,则α与β相交或平行,故D中说法错误.故选D.
⊂ ⊂北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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5.(2023届昆明一中双测二,4)在正方体ABCD-A B C D 中,O为底面ABCD的中心,E,F
1 1 1 1
分别为棱A B ,B C 的中点,经过E,F,O三点的平面与正方体相交所成的截面为 (
1 1 1 1
)
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.正方形
答案 A 如图,在△A B C 中,因为E,F分别为棱A B ,B C 的中点,所以
1 1 1 1 1 1 1
1
EF∥A C ,EF= A C .
1 1 2 1 1
由正方体的性质可知A C ∥AC,A C =AC,所以EF∥AC,因为点O在直线AC上,所以点
1 1 1 1
A,C,F,E确定一个平面,所以经过E,F,O三点的平面与正方体相交所成的截面为平面
ACFE,即确定的平面是梯形,故选A.
方法总结:立体几何中截面的作法
①若已知两点在同一平面内,只要连接这两点,就可以得到截面与多面体的一个面的截
线.
②若平面上只有一个已知点,应设法在同一平面上再找出第二个确定的点.
③若两个已知点分别在相邻的面上,应找出这两个平面的交线与截面的交点.
④若两平行平面中一个平面与截面有交线,另一个面上只有一个已知点,则按两个平行
平面与第三个平面相交,它们的交线互相平行的性质,可得截面与另一平面的交线.
⑤若有一点在面上而不在棱上,则可通过作作辅助平面转化为棱上的点的问题;若已知
点在体内,则可通过辅助平面使它转化为面上的点,再转化为棱上的点的问题来解决.
6.(2023届山西大同联考一,10)如图,在四棱柱ABCD-A B C D 中,
1 1 1 1
AB=AD=AA =1,AD⊥AA ,AD⊥AB,∠A AB=60°,M,N分别是棱AB和BC的中点,则下列
1 1 1
说法中不正确的是 ( )北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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A.A ,C ,M,N四点共面
1 1
B.B N与AB共面
1
C.AD⊥平面ABB A
1 1
D.A M⊥平面ABCD
1
答案 B 连接MN,因为AA ∥CC ,且AA =CC ,所以四边形AA C C是平行四边形,所
1 1 1 1 1 1
以AC∥A C .
1 1
又M,N分别是棱AB和BC的中点,所以MN∥AC,所以MN∥A C ,故A ,C ,M,N四点
1 1 1 1
共面,A正确.
因为A、B、B 在平面ABB A 内 ,而N不在该平面内,故B N与AB不共面,B错误.
1 1 1 1
因为AD⊥AA ,AD⊥AB,AA ∩AB=A,
1 1
所以AD⊥平面ABB A ,C正确.
1 1
连接A B,因为∠A AB=60°,AB=AD=AA =1,
1 1 1
所以△ABA 是等边三角形,所以A M⊥AB.
1 1
因为AD⊥平面ABB A ,A M 平面ABB A ,所以A M⊥AD,因为AB∩AD=A,所以A M⊥
1 1 1 1 1 1 1
平面ABCD,D正确.故选B.
⊂
7.(2022新高考Ⅰ,8,5分)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球
的体积为36π,且3≤l≤3√3,则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )
[ 81] [27 81]
A. 18, B. ,
4 4 4
[27 64]
C. , D.[18,27]
4 3
答案 C 如图,S-ABCD是正四棱锥,连接AC,BD,交于点O,设正方形ABCD的边长为
4π
a,SO=h,SE是外接球的直径,由 R3=36π得R=3,则SE=2R=6.
3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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a2 a2 l2 l2
(
l2
)
由AO2=SO·OE,得 =h(6-h),又l2= +h2,∴l2=6h,∴h= .则a2=2h(6-h)= 6− ,
2 2 6 3 6
1 1 l2 ( l2 ) l2
∴正四棱锥的体积V= a2ℎ = · 6− ·
3 3 3 6 6
1 l6 4 l5
= l4− ,∴V'= l3− ,令V'=0,得l=2√6.
9 324 9 54
V在[3,2√6)上单调递增,在(2√6,3√3]上单调递减,
27 81 64
而l=3时,V= ,l=3√3时,V= ,l=2√6时,V= ,
4 4 3
[27 64]
∴该正四棱锥体积的取值范围是 , .
4 3
8.(2023届南昌零模,7)已知正方体ABCD-A B C D 的棱AB,AD,D C ,C B 的中点分别
1 1 1 1 1 1 1 1
为E,F,G,H,则下列直线中与两平面ACD ,BDC 交线平行的一条直线是 ( )
1 1
A.EH B.HG C.EG D.FH
答案 C 如图,连接DC 与CD 交于点O,设AC,BD交于点K,连接OK,则平面ACD ∩
1 1 1
平面BDC =OK,又O、K分别是CD 、AC的中点,则OK∥AD ,因为G,E分别是
1 1 1
D C ,AB的中点,所以AD ∥GE,则GE∥OK,故选C.
1 1 1
二、多项选择题
9.(2023届辽宁六校期初,11)已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,则 ( )
1 1 1 1
A.直线BC 与DA 所成的角为90°
1 1
B.直线BC 与 CA 所成的角为90°
1 1
√2
C.点C到平面ABC D 的距离为
1 1 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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D.直线BC 与平面ABCD所成的角为45°
1
答案 ABD 连接B C,与BC 相交于点E,因为DA ∥B C,所以直线BC 与B C所成的
1 1 1 1 1 1
角即为直线BC 与DA 所成的角,因为四边形BB C C为正方形,则B C⊥BC ,故直线
1 1 1 1 1 1
BC 与DA 所成的角为90°,故A正确;
1 1
因为A B ⊥平面BB C C,BC 平面BB C C,所以A B ⊥BC ,因为
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B C⊥BC ,A B ∩B C=B ,A B 平面A B C,B C 平面A B C,所以BC ⊥平面A B C,又
1 1 1 1 1 1 1 1⊂ 1 1 1 1 1 1 1 1
A C 平面A B C,所以BC ⊥CA ,即直线BC 与CA 所成的角为90°,故B正确;
1 1 1 1 ⊂ 1 1 ⊂ 1
因为AB⊥平面BB C C,B C 平面BB C C,所以AB⊥B C,又
⊂ 1 1 1 1 1 1
B C⊥BC ,AB∩BC =B,AB 平面ABC D ,BC 平面ABC D ,所以B C⊥平面ABC D ,则
1 1 1 ⊂ 1 1 1 1 1 1 1 1
CE的长为点C到平面ABC D 的距离,由题意可得CE=√2,即点C到平面ABC D 的距
⊂1 1 ⊂ 1 1
离为√2,故C错误;因为CC ⊥平面ABCD,所以∠C BC为直线BC 与平面ABCD所成的
1 1 1
角,易知∠C BC=45°,故D正确.故选ABD.
1
10.(2022河北邯郸一模,10)如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,
G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,则 ( )
A.BD∥平面EGHF
B.FH∥平面ABC
C.AC∥平面EGHF
D.直线GE,HF,AC交于一点
答案 AD 因为BG∶GC=DH∶HC,所以GH∥BD.
1
又E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF= BD,则EF∥GH,所以E,G,H,F四点共面.
2
易知BD∥平面EGHF,FH与AC为相交直线,即A正确,B,C错误.
因为四边形EFHG为梯形,所以EG与FH必相交,设交点为M,因为EG 平面
ABC,FH 平面ACD,
⊂
⊂北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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所以M是平面ABC与平面ACD的一个交点,所以M∈AC,即直线GE,HF,AC交于一点,
即D正确.故选AD.
11.(2022重庆巴蜀中学3月适应考(八),12)如图甲,在边长为2的正方形ABCD中,点
E,F分别是AB,BC的中点,点M是AD上靠近A的四等分点.现将△AED, DCF分别沿
DE,DF折起,使A,C两点重合于P,连接PB,如图乙所示,则下列说法正确的是 (
△
)
A.PB∥平面EFM
B.PD⊥PB
√6
C.平面EFM与平面BFDE所成角的余弦值为
3
2
D.点P到平面BFDE的距离为
3
MD DG 3
答案 ACD 如图,连接BD,交EF于G,连接PG,MG. = = ,所以MG∥PB,
PD DB 4
因为PB 平面EFM,MG 平面EFM,所以PB∥平面EFM,A正确;因为
PD⊥PE,PD⊥PF,PE∩PF=P,所以PD⊥平面PEF,故PD与PB不垂直,B错误;易得平
⊄ ⊂
3√2 3
面EFM与平面BFDE所成角为∠MGD.在△MGD中,GD= ,MD= ,
2 2
√ (√5) 2 (√2) 2 √3 √6
MG= − = ,由余弦定理的推论,得cos∠MGD= ,C正确;由
2 2 2 3
√6 √3
cos∠MGD= 知sin∠MGD= ,作MN⊥BD,易证MN⊥平面BFDE,易知点P到平面
3 3
4
BFDE的距离是点M到平面BFDE的 倍,设点P到平面BFDE的距离为d,d=
3
4 4 2
MN= MG·sin∠MGD= ,D正确,故选ACD.
3 3 3
