北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
7.3 等比数列
基础篇
考点一 等比数列及其前n项和
1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,4)已知正项等比数列{a }的前n项和为
n
S ,若S =26,a =18,则S = ( )
n 3 3 5
A.80 B.81 C.243 D.242
答案 D
2.(2022全国乙,理8,文10,5分)已知等比数列{a }的前3项和为168,a -a =42,则a =
n 2 5 6
( )
A.14 B.12 C.6 D.3
答案 D
3.(2022山东联考,4)在正项等比数列{a }中,a =3,且3a 是a 和a 的等差中项,则a =
n 1 2 3 4 2
( )
3
A.8 B.6 C.3 D.
2
答案 B
4.(2022辽宁渤海大学附中考试)已知递增等比数列{a }中,a +a =18,a a =32,若a =128,
n 2 5 3 4 n
则n= ( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 D
S
5.(2020课标Ⅱ文,6,5分)记S 为等比数列{a }的前n项和.若a -a =12,a -a =24,则 n =
n n 5 3 6 4 a
n
( )
A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1
答案 B
6.(2022 辽宁大连一中期中,4)等比数列{a }的前n项和为S ,若S =t·2n-1-1,则t= (
n n n
)
A.2 B.-2 C.1 D.-1
答案 A
7.(2020课标Ⅱ理,6,5分)数列{a }中,a =2,a =a a .若a +a +…+a =215-25,则k=
n 1 m+n m n k+1 k+2 k+10
( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
8.(2020课标Ⅰ文,10,5分)设{a }是等比数列,且a +a +a =1,a +a +a =2,则a +a +a =(
n 1 2 3 2 3 4 6 7 8
)
A.12 B.24 C.30 D.32
答案 D
9.(2022福建龙岩一中期中,5)已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某
等比数列的第4,6,8项,则该等比数列的公比是 ( )
A.√3B.−√3
C.√3或-√3D.√2
答案 C
10.(多选)(2022湖北新高考联考,9)已知等比数列{a }的公比为q,前4项的和为a +14,
n 1
且a ,a +1,a 成等差数列,则q的值可能为 ( )
2 3 4
1
A. B.1 C.2 D.3
2
答案 AC
11.(2019课标Ⅲ,文6,理5,5分)已知各项均为正数的等比数列{a }的前4项和为15,且
n
a =3a +4a ,则a = ( )
5 3 1 3
A.16 B.8 C.4 D.2
答案 C
12.(2022新高考Ⅱ,17,10分)已知{a }是等差数列,{b }是公比为2的等比数列,且a -
n n 2
b =a -b =b -a .
2 3 3 4 4
(1)证明:a =b ;
1 1
(2)求集合{k|b=a +a ,1≤m≤500}中元素的个数.
k m 1
解析 (1)证明:设等差数列{a }的公差为d.
n
由a -b =a -b 得a +d-2b =a +2d-4b ,故d=2b ,①
2 2 3 3 1 1 1 1 1
由a -b =b -a 得a +2d-4b =8b -a -3d,故2a +5d=12b ,② 由①②得2a +10b =12b ,即
3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1
a =b .
1 1
(2) 由(1)知d=2b =2a ,由b=a +a ,1≤m≤500得b ×2k-1=2a +(m-1)d,
1 1 k m 1 1 1
即a ×2k-1=2a +2(m-1)a ,其中a ≠0,∴2k-1=2m,即2k-2=m,∴1≤2k-2≤500,∴0≤k-2≤8,
1 1 1 1
∴2≤k≤10.故集合{k|b=a +a ,1≤m≤500}中元素个数为9个.
k m 1
13.(2020新高考Ⅰ,Ⅱ,18,12分)已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)(新高考Ⅰ)记b 为{a }在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b }的前100项
m n m
和S .
100
(新高考Ⅱ)求a a -a a +…+(-1)n-1a a .
1 2 2 3 n n+1北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
1
解析 (1)设{a }的公比为q.由题设得a q+a q3=20,a q2=8.解得q = (舍去),q =2.由题设
n 1 1 1 1 2 2
得a =2.
1
所以{a }的通项公式为a =2n.
n n
(2)(新高考Ⅰ)由题设及(1)知b =0,且当2n≤m<2n+1时,b =n.
1 m
所以S =b +(b +b )+(b +b +b +b )+…+(b +b +…+b )+(b +b +…+b )
100 1 2 3 4 5 6 7 32 33 63 64 65 100
=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100-63)=480.
(新高考Ⅱ)a a -a a +…+(-1)n-1a a
1 2 2 3 n n+1
=23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1
23 [1−(−22 ) n ] 8 22n+3
= = -(-1)n .
1−(−22 ) 5 5
14.(2020课标Ⅲ文,17,12分)设等比数列{a }满足a +a =4,a -a =8.
n 1 2 3 1
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)记S 为数列{log a }的前n项和.若S +S =S ,求m.
n 3 n m m+1 m+3
解析 (1)设{a }的公比为q,则a =a qn-1.
n n 1
{a +a q=4,
1 1
由已知得 解得a =1,q=3.
a q2−a =8. 1
1 1
所以{a }的通项公式为a =3n-1.
n n
n(n−1)
(2)由(1)知log a =n-1.故S = .
3 n n 2
由S +S =S 得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0.解得m=-1(舍去)或
m m+1 m+3
m=6.
考点二 等比数列的性质
考向一 等比数列前n项和的性质
1.(2022江苏镇江期中,5)已知等比数列{a }的前n项和为S ,且S =1,S =13,则S =(
n n 10 30 40
)
A.-51 B.-20 C.27 D.40
答案 D
2.(2021全国甲理,7,5分)等比数列{a }的公比为q,前n项和为S .设甲:q>0,乙:{S }是
n n n
递增数列,则 ( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
考向二 下标和性质、有关项的性质
12 2
1.(2022湖南炎德英才联考,6)在等比数列{a }中,a +a +a +a +a +a +a +a = ,a a =- ,
n 1 2 3 4 5 6 7 8 5 4 5 5
1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + +
则 = ( )
a a a a a a a a
1 2 3 4 5 6 7 8
24 14
A.-6 B.- C. D.2
25 5
答案 A
2.(2022济南历城二中调研)在等比数列{a }中,a =-1,a =-4,则a a a = ( )
n 2 6 3 4 5
A.-8 B.8 C.±8 D.16
答案 A
3.(2022辽宁大连模拟,5)已知数列{a }是递增的等比数列,且a +a =18,a a =32,若{a }
n 1 4 2 3 n
的前n项和S 满足S -S=216-26,则正整数k等于 ( )
n k+10 k
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 A
4.(2023届黑龙江七台河勃利高级中学开学考,15)在等比数列{a }中,公比q>1,
n
1 1 1
+ = ,a a =18,则q2= .
a a 2 3 5
2 6
答案 √2
5.(2022海南三亚华侨学校月考,16)若数列{a }为等比数列,且a +a =1,a +a =4,则
n 1 2 3 4
a +a = .
9 10
答案 256
综合篇
考法 等比数列的判定与证明
1.(2022广州调研)已知数列{a }满足a2 =a a (n∈N*),若a =1,a =4,则a =( )
n n+1 n n+2 3 7 5
A.±2 B.-2 C.2 D.8
答案 C
2.(2022长沙雅礼中学月考,6)数学家也有许多美丽的错误,如法国数学家费马于1640
年提出了F =22n +1(n=0,1,2,…)是质数的猜想,直到1732年才被善于计算的大数学家
n
欧拉算出F =641×6 700 417,不是质数.现设a =log (F -1)(n=1,2,…),S 表示数列{a }的
5 n 4 n n n
前n项和,若32S =63a ,则n= ( )
n n
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
3.(多选)(2022重庆西南大学附中开学考,11)“内卷”是指一类文化模式达到最终的形
态以后,既没有办法稳定下来,也没有办法转变为新的形态,而只能不断地在内部变
得更加复杂的现象.热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线.连接嵌套的各个正方形
的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,具体作法是在边长为1的正方形ABCD中,
作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,
且使得∠FMN=15°;依此进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形
的边长为a (其中第1个正方形ABCD的边长为a =AB,第2个正方形EFGH的边长为
n 1
a =EF,……),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为S (其中第1个直角三角形AEH的
2 n
面积为S ,第2个直角三角形EQM的面积为S ,……),则
1 2
( )
2
A.数列{a }是公比为 的等比数列
n 3
1
B.S =
1 12
4
C.数列{a }是公比为 的等比数列
n 9
1
D.数列{S }的前n项和T <
n n 4
答案 BD
5 1 1
4.(2022湖南益阳一模,16)已知数列{a }中,a =1,a = − ,若b = ,则数列{b }
n 1 n+1 2 a n a −2 n
n n
的前n项和S = .
n
4n+6n−1
答案 -
9
5.(2022福建漳州一中段考,13)已知等比数列{a }的前n项和为S ,公比
n n
q>0,a =1,a =9a ,若数列{t+S }为等比数列,则实数t= .
1 12 10 n
1
答案
2
6.(2022河北衡水中学三模,17)已知数列{a }满足a =2,a =2a -n+1(n∈N*).
n 1 n+1 n
(1)证明:数列{a -n}是等比数列,并求出数列{a }的通项公式;
n n北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
n
(2)数列{b }满足:b = (n∈N*),求数列{b }的前n项和S .
n n 2a −2n n n
n
解析 (1)因为数列{a }满足a =2,a =2a -n+1,所以a -(n+1)=2(a -n),而a -1=1,于是
n 1 n+1 n n+1 n 1
数列{a -n}是首项为1,公比为2的等比数列,a -n=1·2n-1,即a =2n-1+n.
n n n
n n 1 2 3 n
(2)由(1)知b = = ,S = + + +…+ ,则
n 2(2n−1+n)−2n 2n n 2 22 23 2n
1 1 2 3 n−1 n
Sn= + + +…+ +
,于是得
2 22 23 24 2n 2n+1
1[ (1) n]
1−
1 1 1 1 1 n 2 2 n 1 n n+2
Sn= + + +…+ − = − =1− − =1− ,S =2-
n
2 2 22 23 2n 2n+1 1 2n+1 2n 2n+1 2n+1
1−
2
n+2 n+2
,所以数列{b }的前n项和S =2- .
2n n n 2n
7.(2019课标Ⅱ理,19,12分)已知数列{a }和{b }满足a =1,b =0,4a =3a -
n n 1 1 n+1 n
b +4,4b =3b -a -4.
n n+1 n n
(1)证明:{a +b }是等比数列,{a -b }是等差数列;
n n n n
(2)求{a }和{b }的通项公式.
n n
解析 (1)证明:由题设得4(a +b )=2(a +b ),
n+1 n+1 n n
1
即a +b = (a +b ).
n+1 n+1 2 n n
1
又因为a +b =1,所以{a +b }是首项为1,公比为 的等比数列.由题设得4(a -b )=4(a -
1 1 n n 2 n+1 n+1 n
b )+8,
n
即a -b =a -b +2.又因为a -b =1,所以{a -b }是首项为1,公差为2的等差数列.
n+1 n+1 n n 1 1 n n
1
(2)由(1)知,a +b = ,a -b =2n-1.
n n 2n−1 n n
1 1 1
所以a = [(a +b )+(a -b )]= +n− ,
n 2 n n n n 2n 2
1 1 1
b = [(a +b )-(a -b )]= −n+ .
n 2 n n n n 2n 2
