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通州区 2023 年高三年级模拟考试
数学试卷
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】全集 ，集合 ，
由补集定义可知： 或 ，即 ，
故选：D．
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出共轭复数，根据复数减法计算即可.
【详解】 ， .
故选：A
3. 下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数、指数函数、正切函数的单调性及奇偶性逐一判断即可.【详解】对于A，函数 在 上递减，故A不符题意；
对于B，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，所以函数为奇函数，
又函数在 单调递增，故B符合题意；
对于C，函数 的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，所以函数为偶函数，故C不符合题意；
对于D，函数 ，
因为 ，所以函数不是增函数，故D不符题意.
故选：B.
4. 在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. 80 B. 10 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式分析运算即可.
【详解】 的展开式的通项公式 ，
令 ，解得 ，
可得 ，即 的系数为 .
故选：D.
5. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则其焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】根据双曲线方程求出渐近线，得出b，继而求出焦点坐标.
【详解】令 ，解得双曲线渐近线为 ，即 ，
，由此可得双曲线焦点坐标为 .
故选：B
6. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥， ， ， ，则该几
何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥 的高，再根据棱柱与棱锥的体积公式即可得解.
【详解】在正四棱锥 中，连接 交于点 ，连接 ，
则 即为正四棱锥 的高，
， ，
所以 ， ，
所以该几何体的体积为 ..
故选：B
7. 声强级 （单位： ）与声强x（单位： ）满足 ．一般噪音的声强级
约为80 ，正常交谈的声强级约为50 ，那么一般噪音的声强约为正常交谈的声强的（ ）
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
【答案】A
【解析】
【分析】根据题中公式，分别求出一般噪音的声强和正常交谈的声强，从而可得出答案.
【详解】当 时，即 ，解得 ，
即一般噪音的声强约 ，
当 时，即 ，解得 ，
即正常交谈的声强约 ，
所以一般噪音的声强约为正常交谈的声强的 倍.
故选：A.
8. 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 的解析式为（
）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由三角函数的图象与性质求解即可.
【详解】由图知： ，则 ，故 ，
则 ，
由 ，则 ，
所以 ， ，
又 ，故 ，
综上， ，
故选：C.
9. 若不同直线a，b，l与平面 ，且满足 ，则“a与b异面”是“b与l相交”
的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C【解析】
【分析】根据充要条件的定义即可判断.
【详解】因为 ，又因为a与b异面，所以b与l相交；
因为 ，又因为b与l相交，所以a与b异面.
所以“a与b异面”是“b与l相交”的充要条件.
故选：C
10. 在平面直角坐标系内，点O是坐标原点，动点B，C满足 ， ，A为线段
中点，P为圆 任意一点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得A为圆 任意一点，设圆 的圆心为M，从而得到
为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，进而即可求解．
【详解】由 ，则 ，
又 ，且A为线段 中点，则 ，
所以A为圆 任意一点，
设圆 的圆心为M，则 ，
又 ，所以圆O与圆M相离，
所以 的几何意义为圆O与圆M这两圆上的点之间的距离，
所以 ，
，所以 的取值范围为 ．
故选：A．
【点睛】关键点点睛：依题意得 的几何意义为圆 与圆 这两圆上的
点之间的距离是解答此题的关键．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 已知向量 ， ，若 ，则 __________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】直接根据平面向量共线的坐标公式计算即可.
【详解】因为向量 ， ， ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
12. 已知等差数列 的公差 ，且 ，则 的前5项和 __________．
【答案】0
【解析】
【分析】根据等差数列的定义结合下标和性质分析运算.
【详解】由题意可得： ，
所以 .故答案为：0.
13. 抛物线C： 的焦点为F，点 在抛物线C上，且点A到直线 的距离是线段
长度的2倍，则 __________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意结合抛物线的定义分析运算.
【详解】由题意可得：抛物线C： 的焦点为 ，准线为 ，
注意到 ，可得 ，点A到直线 的距离为 ，
则 ，解得 .
故答案为：2.
14. 设函数 ，若函数 有且只有一个零点，则实数a的一个取值为__________；
若函数 存在三个零点，则实数a的取值范围是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，直接解方程，结合图象分类讨论即可；第二空，由图象分析即可.
【详解】 ，解得 在 上单调递增，在
和 上单调递减，
解方程 可得：其根依次记为 ，而 的根记为 ，可
得其草图如下：第一空：若函数 有且只有一个零点，由函数解析式可知该零点只能为 或 .
（i）若零点为 只需 ，即函数左半段无零点，零点在右半段，即直线段部分上，如图所示；
（ii）若函数零点为 由函数解析式及图象可知，只需 ，如图所示，
第二空：若函数 存在三个零点，则零点为 ，只需 ，如图所示，故答案为： ；
15. 两个数互素是指两个正整数之间除了1之外没有其他公约数．欧拉函数 （ ）的函数值等于
所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数，例如 ， ．
关于欧拉函数给出下面四个结论：
① ；
② ，恒有 ；
③若m，n（ ）都是素数，则 ；
④若 （ ），其中 为素数，则 ．
（注：素数是指除了1和它本身以外不再有其他因数，且大于1的正整数．）
则所有正确结论的序号为___________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据欧拉函数 的函数值的定义，求出 ， ，即可判断①②；若m是素数，m与前
m－1个正整数均互素，可得 ，同理得 ，又不超过正整数 且与 互素的正整数共有
个，可得 ，即可判断③；若 ，其中 为素数，不超过 的正整数共有 ，其中 的倍数有 个，则不超过 且与 互素的正整数有 个，可得 ，即
可判断④．
【详解】不超过7且与7互素的正整数有1，2，3，4，5，6，共6个，则 ，故①正确；
不超过8且与8互素的正整数有1，3，5，7，共4个，则 ，则 ，故②错误；
若m是素数，m与前m－1个正整数均互素，则 ；
同理，若n是素数，则 ，
故 ；
若m，n（ ）都是素数，则不超过 的正整数中，除去 与 及
外，其他的正整数均与 互素，共有 个，则
，
所以 ，故③正确；
若 （ ），其中 为素数，不超过 的正整数共有 ，其中 的倍数有 个，则不超
过 且与 互素的正整数有 个，则 ，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
16. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ．
（1）求 的值；
（2）若 ，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得 存在且唯一确定，求 的面
积．条件①： ；条件②： ；条件③： 的周长为9．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换分析运算即可；
（2）由（1）可得 ，若选条件①：利用余弦定理可求得 ，进而面积公式分析运算；若选条件②：
分 为锐角和 为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求 ，结合题意分析判断；若选条件③：根据题
意可求得 ，利用余弦定理结合面积公式运算求解.
【小问1详解】
∵ ，则 ，
∴ .
【小问2详解】
由（1）可得 ，由正弦定理可得 ，
若选条件①：由余弦定理 ，即 ，
注意到 ，解得 ，则 ，
的
由三角形 性质可知此时 存在且唯一确定，
∵ ，则 ，
可得 ，
∴ 的面积 .若选条件②：∵ ，可得 ，则有：
若 为锐角，则 ，
由余弦定理 ，即 ，
整理得： ，且 ，解得 ，则 ；
若 为钝角，则 ，
由余弦定理 ，即 ，
整理得： ，且 ，解得 ，则 ；
综上所述：此时 存在但不唯一确定，不合题意.
若条件③：由题意可得： ，即 ，
解得 ，则 ，
由三角形的性质可知此时 存在且唯一确定，
由余弦定理可得 ，
则 ，可得 ，
∴ 的面积 .
17. 如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 是边长为2的正方形，
， 为 的中点，D为棱 上一点， 平面 ．（1）求证：D为 中点；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行推出线线平行，由此证明四边形 为平行四边形，根据边长关系即可
求证；
（2）根据勾股定理得到 ，再根据线线垂直证明出线面垂直，再以D为坐标原点， 为z轴，
为x轴， 为y轴的空间直角坐标系，利用直线方向向量和平面法向量求出正弦值.
【小问1详解】
⸪ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
⸫ ，又因为 ，
的
⸫四边形 为平行四边形，且因为 为 中点，
⸫ ，
⸫ D为 中点.
【小问2详解】
根据勾股定理可知 ， ，且 ，再根据勾股定理可得 ，故 ，
又因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
如图建立以D为坐标原点， 为z轴， 为x轴， 为y轴的空间直角坐标系，
， ， ，
， ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，解得 ，
，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18. 某企业有7个分行业，2020年这7个分行业的营业收入及营业成本情况统计如下表：
营业情况
营业收入单位（亿元） 营业成本单位（亿元）
分行业
分行业1 41 38
分行业2 12 9
分行业3 8 2分行业4 6 5
分行业5 3 2
分行业6 2 1
分行业7 0.8 0.4
（一般地，行业收益率 ．）
（1）任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率；
（2）从7个分行业中任选3个，设选出的收益率高于50%的行业个数为X，求X的分布列及期望；
（3）设7个分行业营业收入的方差为 ，营业成本的方差为 ，写出 与 的大小关系．（结论不要
求证明）
【答案】（1） ；
（2）分布列见解析； ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）求出7个分行业的行业收益率即可求出所需概率；
（2）根据X的取值，利用超几何分布即可计算求出分布列和数学期望；
（3）根据方程公式计算即可求出方差比较大小.
【小问1详解】
分行业1行业收益率： ，
分行业2行业收益率： ，
分行业3行业收益率： ，分行业4行业收益率： ，
分行业5行业收益率： ，
分行业6行业收益率： ，
分行业7行业收益率： ，
行业收益率不低于50%的有4个行业，
故任选一个分行业，求行业收益率不低于50%的概率为 .
【小问2详解】
的
有（1）可知X 取值有0、1、2、3，
， ，
， ，
分布列如下：
X 0 1 2 3
P
【小问3详解】
7个分行业营业收入的平均值为： ，7个分行业营业成本的平均值为： ，
故 .
19. 已知椭圆C： （ ）过点 ，离心率为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点A关于y轴的对称点为B，直线l与 平行，且与椭圆C相交于 ，N两点，直线 ，
分别与y轴交于P，Q两点．求证：四边形 为菱形．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意列出关于 的方程组求解即可；
（2）求出直线OA的斜率为 ，设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，设
，则 ．由直线AM的方程 得 点
的纵坐标为 ， 点的纵坐标为 ，结合韦达定理求得 ，进而可得线段AB，PQ垂直且平
分，从而得证.
【小问1详解】由题意可知 ，解得 ．
所以椭圆 的标准方程为 ．
【小问2详解】
点 关于 轴的对称点为点 的坐标为 ．
直线OA的斜率为 ．
因为直线 与OA平行，设直线 的方程为 ．
由 得 ,
由 ，得 ，且 ,
设 ，则 ,
直线AM的方程为 ，
令 ，得 点的纵坐标为 ．同理可得 点的纵坐标为 ．
，
所以线段PQ中点坐标为 ．
又线段AB中点坐标也为 ，
所以线段AB，PQ垂直且平分．
所以四边形APBQ为菱形．
20. 已知函数 ， （ ）．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，请判断 是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）当 时，若对于任意 ，不等式 恒成立，求k的取值范
围．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）先求得 ，从而得到 ， ，再根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可
求出切线方程；
（2）先求 ，要判断 是否存在极值，即判断 在 上单调情况，即判断 在
上的符号情况；（3）将原恒成立条件转化为对于任意 ，不等式 恒成立，从而构造函数，再根据函数在定义
域上的最值即可求得k的取值范围．
【小问1详解】
由 ，则 ，所以 ， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【小问2详解】
由 ， ，
则 ， ，
令 ， ，
则 ， ，
当 ，即 时， ，此时 单调递减；
当 ，即 时， ，此时 单调递增，
所以 ，
所以对任意 ，都有 ，
所以 在 上单调递增，即 不存在极值．
【小问3详解】
当 时， ，
对于任意 ，不等式 恒成立，
等价于对于任意 ，不等式 恒成立，等价于函数 在 上单调递增，
等价于导函数 在 上恒成立，
等价于对于任意 ，不等式 恒成立，
令 ，则 ， ，
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减，
所以 ，即 ，
故k的取值范围为 ．
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定的不等式等价转化，构造函数，进而通过导函数使
问题得到解决是解答此类问题的关键．
21. 设集合A为含有n个元素的有限集．若集合A的m个子集 ， ，…， 满足：
① ， ，…， 均非空；
② ， ，…， 中任意两个集合交集为空集；
③ ．
则称 ， ，…， 为集合A的一个m阶分拆．
（1）若 ，写出集合A的所有2阶分拆（其中 ， 与 ， 为集合A的同一个2阶分拆）；
（2）若 ， ， 为A的2阶分拆，集合 所有元素的平均值为P，集合 所有元素的
平均值为Q，求 的最大值；
（3）设 ， ， 为正整数集合 （ ， ）的3阶分拆．若 ， ， 满足任取集合A中的一个元素 构成 ，其中 ，且 与 中元素的和相等．求证：
n为奇数．
【答案】（1） ； ； ；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义直接写出所有2阶分拆作答.
（2）令 ，设出集合 及所其元素和，根据定义求出 的元素和，求出 结合不等式性质求解
作答.
（3）设 、 及 中元素的和，按 为奇数、偶数推理判断作答.
【小问1详解】
，集合A的所有2阶分拆是： ； ； .
【小问2详解】
依题意，不妨设 ， ，
则 ，
而 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最大值是 .
【小问3详解】
依题意， ， ， 与 中元素的和相等，设 与 中元素的和为 ，集合 中所有元素之和为 ，于是 ，
①当集合 中存在元素 为奇数时，
因为 是偶数，于是 是奇数，对于任意 ，均有 ，
因此此时集合 中的元素均为奇数，因为 为奇数，且只有奇数个奇数的和为奇数，
所以n为奇数；
为
②当集合 中存在元素 偶数时，
因为 是偶数，于是 是偶数，对于任意 ，均有 ，
因此此时集合 中的元素均为偶数，对于一个偶数 ，均存在正整数 和奇数 ，使得
，
显然集合 中的元素除以2，仍然满足条件，将集合 中的元素不断除以2，直至有一个奇数，
此时，由①可得n为奇数，
综上得：n为奇数.
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义进行集合的分
拆并结合集合元素的性质，分类讨论，进行推理判断解决.
