北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
9.3 双曲线及其性质
一、选择题
1.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为x2 -y2
=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若
a2 b2
C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为( )
x2 y2 y2
A. - =1 B.x2- =1
4 4 4
x2
C. -y2=1 D.x2-y2=1
4
答案 D 由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直,∴双曲线C为等轴双曲线,渐近线的斜率分别为1和-1,∵
b-0
直线l与一条渐近线平行,抛物线y2=4x的焦点为(1,0),∴ =-1,即b=1.∴双曲线C的方程为x2-y2=1.故选
0-1
D.
y2
2.(2022届河南平顶山月考,11)已知F、F 为双曲线x2- =1的左、右焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任
1 2
3
意一点,若A为△PF
1
F
2
内切圆上一动点,当AF
1
的最大值为4时,△PF
1
F
2
的内切圆半径为( )
3 1 7 5
A. B. C. D.
4 2 8 6
答案 C 设△PFF 的内切圆分别与PF,PF 切于N,B,与FF 切于M,如图,
1 2 1 2 1 2
则|PN|=|PB|,|FN|=|FM|,|FB|=|FM|,又点P在双曲线右支上,所以|PF|-|PF|=2a,故|FM|-|FM|=2a,设M的坐标
1 1 2 2 1 2 1 2
为(x,0),可得(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a=1.设内切圆半径为r,则内切圆圆心为(1,r),则|AF|的最大值为|CF|+r=4,
1 1
7
即√(1+2)2+(r-0)2=4-r,解得r= .故选C.
8
3.(2021南昌一模,11)许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋
漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
分图象,上、下底面与地面平行.现测得下底直径AB=20√10米,上底直径CD=20√2米,AB与CD间的距离
为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为( )
A.10米 B.20米 C.10√3米 D.10√5米
答案 B 取DC的中点E,以EG所在直线为y轴,EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示.
因为点G处的直径等于CD,所以由双曲线的对称性可知,点O即双曲线的对称中心,设双曲线的标准方程为
x2 -y2
=1(a>0,b>0),由题意可知,C(10 ,20),B(10 ,-60),代入双曲线的标准方程得
√2 √10
a2 b2
200 400
{ - =1,
a2 b2
1 000 3 600
- =1,
a2 b2
解得
{a2=100,
所以最细部分处的直径为2a=20(米).
b2=400,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
4.(2022届甘肃嘉峪关第一中学开学考,3)如果双曲线x2 -y2 =1的离心率为√5+1,那么称该双曲线为黄金
a2 b2 2
分割双曲线,简称为黄金双曲线.现有一黄金双曲线C:
x2 -y2
=1(b>0),则该黄金双曲线C的虚轴长为(
√5-1 b2
)
A.2 B.4 C.√2 D.2√2
答案 D 由题意可得c2 =a2+b2 =1+ b2 =(√5+1) 2 ,解得b2=2,则b= ,故该黄金双曲线C的虚轴
√2
a2 a2 √5-1 2
长为2b=2√2.
5.(2022届陕西渭南月考,5)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的右焦点到它的一条渐近线的距离为4,且焦距
a2 b2
为10,则C的离心率为( )
4 8 5 5
A. B. C. D.
3 5 3 4
答案 C ∵焦距为2c=10,∴c=5,右焦点坐标为(5,0),a2+b2=25,由双曲线的对称性不妨令渐近线方程为bx-
ay=0,∴右焦点到它的一条渐近线的距离为d= |5b| =|5b|=b,∴b=4,a= = =3,故离心
√c2-b2 √52-42
√a2+b2 5
c 5
率e= = ,故选C.
a 3
6.(2022届广西玉林第十一中学月考,10)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F,F,在双曲线上存
1 2
a2 b2
在点P满足2| + |≤| |,则此双曲线的离心率e的取值范围是 ( )
⃗PF ⃗PF ⃗F F
1 2 1 2
A.1<e≤2 B.e≥2 C.1<e≤√2 D.e≥√2
答案 B 由OP为△FPF 的中线,可得 + =2 .
1 2 ⃗PF ⃗PF ⃗PO
1 2
c
由2|⃗PF +⃗PF |≤|⃗F F |可得4|⃗PO|≤|⃗F F |,由|⃗PO|≥a,|⃗F F |=2c,可得4a≤2c,可得e= ≥2.故选B.
1 2 1 2 1 2 1 2 a北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
7.(2022届江西景德镇模拟,9)已知双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0),直线l过双曲线的右焦点且斜率为a,直线l
a2 b2 b
|OM|
与双曲线C的两条渐近线分别交于M、N两点(M点在x轴的上方),且 =2,则双曲线C的离心率为(
|ON|
)
2
A.2 B. √3 C.√2 D.√3
3
答案 B 如图所示,
b |OM|
由题意可知,直线l与渐近线y=- x垂直,则ON⊥MN,又 =2,则∠OMN=30°,故∠MON=60°,则
a |ON|
∠MOF=30°,则 b =tan 30°=√3,所以e= c =√a2+b2 =√ (b) 2 =2√3.故选B.
1+
a 3 a a2 a 3
8.(2021河南、山西4月联考,10)已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,P为双曲线C
1 2
a2 b2
1
上的一点,若线段PF 与y轴的交点M恰好是线段PF 的中点,⃗M F ·⃗MO= b2,其中O为坐标原点,则双曲
1 1 1 4
线的渐近线方程为( )
1
A.y=± x B.y=±x C.y=±√3x D.y=±2x
2
答案 B 设双曲线C的半焦距为c,则点F
1
(-c,0),由题意知PF 2⊥x轴,所以点P的横坐标为c,由双曲线的对
称性不妨设点P(c,y
0
)(y
0
>0),所以
c2
-
y2
0=1,解得y
0
=b2
,所以点P(
c,
b2
),所以点M的坐标为(
0,
b2
),
a2 b2 a a 2a北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
所以 =( b2 ), =( b2 ),故 · =( b2 )·( b2 )= b4 =1b2,
⃗M F -c,- ⃗MO 0,- ⃗M F ⃗MO -c,- 0,-
1 2a 2a 1 2a 2a 4a2 4
所以a2=b2,所以a=b.所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选B.
9.(2022届广东省实验中学月考,3)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围
是( )
A.( √15 √15) B.( √15)
- , 0,
3 3 3
C.( √15 ) D.( √15 )
- ,0 - ,-1
3 3
答案 D
由{y=kx+2,
消去y整理得(k2-1)x2+4kx+10=0,设该方程的两实根为x,x,由题意得
1 2
x2- y2=6
4k
{ x +x =- >0,
1 2 k2-1
10 √15
x x = >0, 解得- <k<-1.故选D.
1 2 k2-1 3
k2-1≠0,
Δ=(4k)2-40(k2-1)>0,
y2
10.(2022届河北大名一中月考,8)过点A(1,1)作直线l与双曲线x2- =1交于P,Q两点,使得A是PQ的中点,
2
则直线l的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0
C.x=1 D.不存在
答案 D 设点P(x 1 ,y 1 ),Q(x 2 ,y 2 )(x 1 ≠x 2 ),因为点A(1,1)是PQ的中点,所以
{x
1
+x
2
=2,
由点P、Q在双曲线
y + y =2,
1 2
{2x2- y2=2,
上得 1 1 两式相减得2(x+x)(x-x)-(y+y)(y-y)=0,即2(x-x)-(y-y)=0,故直线l的斜率为
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2x2- y2=2,
2 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
y
1
- y 2=2.则直线l的方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.由{y=2x-1,
消去y并整理得2x2-4x+3=0,此时
x -x 2x2- y2=2
1 2
Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,即方程组{y=2x-1,
无解,所以直线l不存在.故选D.
2x2- y2=2
11.(2021四川南充二模,10)双曲线C:x2 -y2 =1(a>0,b>0)的离心率e=2√3,右焦点为F,点A是双曲线C的一
a2 b2 3
条渐近线上位于第一象限内的点,∠AOF=∠OAF,△AOF的面积为3√3,则双曲线C的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. - =1 B. - =1
36 12 18 6
x2 y2 x2
C. - =1 D. -y2=1
9 3 3
答案 C 因为∠AOF=∠OAF,所以△OAF为等腰三角形,过F作FB⊥OA,则焦点到渐近线的距离为|BF|=b,则|
1 2√3
OB|=√c2-b2=a,即|OA|=2|OB|=2a,则△OAF的面积为S= ×2a×b=ab=3√3,又知双曲线的离心率为 ,所
2 3
以e2=1+b2 =4,即b2 =1,解得a=3,b= ,所以双曲线C的方程为x2 -y2 =1,故选C.
√3
a2 3 a2 3 9 3
12.
(2022届湘豫名校联盟11月联考,9)如图,已知双曲线C:x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F、F,
1 2
a2 b2
过点F 作直线l交双曲线C的右支于A,B两点.若|AB|=|AF|,且△FAB∽△FFB,则双曲线C的离心率为(
2 1 1 2 1
)
3
A.2 B.√15 C. D.4
2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 A 设|AF|=m,由题意可得|AF|=2a+m,|AB|=|AF|,则|BF|=|AB|-|AF|=2a,所以|BF|=4a,因为
2 1 1 2 2 1
△FAB∽△FFB,所以|FF|=|BF|,即2c=4a,故e=2.故选A.
1 2 1 2 1 1
13.(2022届河南省实验中学11月月考,12)已知双曲线x2 -y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F、F,过F
1 2 1
a2 b2
的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P、Q,若点P是线段F
1
Q的中点,且QF 1⊥QF
2
,则此双曲线的离心率
为( )
A.√6 B.√5 C.2 D.√3
答案 C 如图所示,
由题意得△FFQ是直角三角形,易知FO=OQ,所以△FOQ是等腰三角形,因为P是线段FQ的中点,所以
1 2 1 1 1
π
∠F
1
OP=∠POQ.由双曲线渐近线的对称性可知,∠F
1
OP=∠F
2
OQ,所以∠F
1
OP=∠POQ=∠F
2
OQ= .因为双曲线渐
3
b b π
近线的方程为y=± x,所以 =tan =√3⇒b2⇒3a2⇒c2-a2=3a2⇒c=2a⇒e=2.故选C.
a a 3
二、填空题
x2 y2
14.(2022届甘肃靖远开学考,15)已知双曲线C: - =1(m>0)的渐近线方程为y=±√2x,F、F 分别是C的
1 2
4 m
左、右焦点,P为C右支上一点.若|PF|=m-1,则△PFF 的面积为 .
1 1 2
答案 2√26
√m
解析 由题意得 =√2,∴m=8.∵|PF|-|PF|=2a=4,|PF|=m-1=7,∴|PF|=3,又|FF|=4√3,∴由余弦定理的推论
1 2 1 2 1 2
4
5 4√26 1 21 4√26
得cos∠F
1
PF
2
=
21
,∴sin∠F
1
PF
2
=
21
,则△PF
1
F
2
的面积S=
2
×3×7×sin∠F
1
PF
2
=
2
×
21
=2√26.
