北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题三 函数概念与基本初等函数
3.1 函数及其性质
一、选择题
1.(2022届黑龙江适应性测试,2)托马斯说:“函数是近代数学思想之花.”根据函数的概念判断,下列对应关系是
从集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是( )
A.y=2x B.y=x+2 C.y=x2 D.y=2x
答案 C A.当x=-1时,y=2x=-2,集合N中没有对应值,不满足条件.
B.当x=4时,y=x+2=6,集合N中没有对应值,不满足条件.C中函数满足条件.
1
D.当x=-1时,y= ,集合N中没有对应值,不满足条件.故选C.
2
2.(2022届西安期中,4)下列各图中,一定不是函数图象的是( )
答案 A 对于A选项,由图可知,存在一个x同时有两个y值与之对应,A选项中的图不是函数图象;对于B
选项,由图可知,对于每个x,有唯一的y值与之对应,B选项中的图是函数图象,同理可知CD选项中的图是函
数图象,故选A.
3.(2022届江西顶级名校9月月考,2)下列四组函数中,表示同一函数的是( )
A.f(x)=|x|,g(x)=
√x2
B.f(x)=lg x2,g(x)=2lg x
x2-1
C.f(x)= ,g(x)=x+1
x-1北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
D.f(x)= · ,g(x)=
√x+1 √x-1 √x2-1
答案 A A.f(x)=|x|,g(x)= =|x|,两函数的定义域都为R,且表达式相同,故表示同一函数;B.f(x)=lg x2的定
√x2
x2-1
义域为(-∞,0)∪(0,+∞),g(x)=2lg x的定义域为(0,+∞),定义域不相同,不表示同一函数;C.f(x)= 的定义域
x-1
为(-∞,1)∪(1,+∞),g(x)=x+1的定义域为R,定义域不相同,不表示同一函数;D.f(x)=√x+1·√x-1的定义域为
[1,+∞),g(x)= 的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域不相同,不表示同一函数.故选A.
√x2-1
4.(2022届长春重点高中月考,10)已知函数f(x)={x2+1(x≤0),若f(a)=10,则a的值是(
)
2x(x>0),
A.3或-3 B.-3或5
C.-3 D.3或-3或5
答案 B 若a≤0,则f(a)=a2+1=10,∴a=-3(a=3舍去);若a>0,则f(a)=2a=10,∴a=5.综上可得,a=5或a=-3,故选B.
5.(2021山西吕梁一模,7)函数f(x)={ 2x+7(x≤0), 若f(a)≤5,则实数a的取值范围是( )
1+log x(x>0),
2
A.(-∞,-1]∪(0,16]
B.[-1,16]
C.(-∞,-2]∪[16,+∞)
D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
答案 A f(a)≤5可化为{2a+7≤5, 或{1+log a≤5,
2
a≤0 a>0,
解得a≤-1或0<a≤16.故选A.
6.(2022届安徽六安质检,3)定义在R上的函数f(x)=x5+ex+1,若a=f(1),b=f(ln ),c=f( 1),则a,b,c的大小关
2
√2
e3
系为( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.b>a>c北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 C 对函数f(x)=x5+ex+1求导得f '(x)=5x4+ex,易知∀x∈R,f '(x)>0,故函数f(x)为增函数,又ln √2<ln
1 1
√e= <1< ,则有c>a>b,故选C.
2
e3
f (x )-f (x )
7.(2022届山西忻州月考,9)设f(x)是定义域为R的偶函数,若∀x 1 ,x 2∈(0,+∞)(x 1 ≠x 2 ),都有 1 2 >0,
x -x
1 2
则( )
A.f(log 3.1)<f(log
2
3)=f(3)
1
2 2
B.f(log
2
3)<f(log 3.1)<f(3)
1
2 2
C.f(3)<f(log 3.1)<f(log
2
3)
1
2 2
D.f(3)<f(log
2
3)<f(log 3.1)
1
2 2
f (x )-f (x )
答案 D 因为∀x 1 ,x 2∈(0,+∞)(x 1 ≠x 2 ),都有 1 2 >0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)是定
x -x
1 2
g 3 3
义域为R的偶函数,所以f(lo 13.1)=f(-log
2
3.1)=f(log
2
3.1),又因为
22
=2√2,所以
22
<3<3.1,而y=log
2
x在(0,+∞)
2
上单调递增,所以3<log
2
3<log
2
3.1,故f(3)<f(log
2
3)<f(log
2
3.1),即f(3)<f(log
2
3)<f(log 3.1),故选D.
1
2 2 2 2
8.(2021四川宜宾月考,11)已知函数f(x)为R上的偶函数,对任意x
1
,x 2∈(-∞,0),均有(x
1
-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]<0成立,若
1 1
a=f(ln √2 ),b=f(
33
),c=f(
e3
),则a,b,c的大小关系是( )
A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b
答案 B ∵对任意x
1
,x 2∈(-∞,0),均有(x
1
-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]<0成立,∴函数f(x)在区间(-∞,0)上为减函数,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 1 1
∵f(x)是偶函数,∴当x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数,又y= 在(0,+∞)上为增函数,0<e<3,所以1< < ,又0<ln
x3 e3 33
1 1 1 1
√2<1,所以ln √2< < ,所以f(ln √2)<f( )<f( ),即a<c<b.故选B.
e3 33 e3 33
9.(2022届河南三市联考,7)若函数f(x)=3x2+x+3的最大值为a,最小值为b,则a+b=(
)
x2+1
A.4 B.6 C.7 D.8
答案 B f(x)=3x2+x+3=3(x2+1)+x=3+ x ,由于y= x 为奇函数,故f(x)的图象关于点
x2+1 x2+1 x2+1 x2+1
(0,3)对称,故a+b=6.
10.(2022届合肥联考,12)已知f(x)是定义在R上的奇函数,∀x∈R,恒有f(x+4)=-f(x),且当x∈[-2,0)时,f(x)=-x-1,
则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)+f(2 021)=( )
A.1 B.-1 C.0 D.2
答案 B 因为f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期是8.因为f(0)=0,f(2)=-f(-2)=-1,f(3)=-
f(-1)=0,f(4)=-f(0)=0,f(1)=-f(-3)=f(3)=0,f(5)=-f(1)=0,f(6)=-f(2)=1,f(7)=-f(3)=0,f(8)=-f(4)=0,又f(x)是周期为8的
周期函数,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+f(2
013)+f(2 014)+f(2 015)=0.f(2 016)+f(2 017)+f(2 018)+f(2 019)+f(2 020)+f(2
021)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0+0+(-1)+0+0+0=-1.所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 020)+f(2 021)=-1.故选B.
11.(2022届广西玉林育才中学10月月考,8)函数g(x)=2x-√x+1的最小值为( )
17 19 9
A.- B.-2 C.- D.-
8 8 4
答案 A 设t= (t≥0),则x=t2-1,则原函数可化为y=2(t2-1)-t=2t2-t-2=2( 1) 2 -17(t≥0),当t=1时,有
√x+1 t-
4 8 4
17
最小值- .故选A.
8
12.(2022届黑龙江八校期中联考,8)已知函数f(x)=x·|x|-2x,则下列结论正确的是( )
A. f(x)是偶函数,单调增区间是(-∞,0)
B. f(x)是偶函数,单调减区间是(-∞,1)
C. f(x)是奇函数,单调减区间是(-1,1)
D. f(x)是奇函数,单调增区间是(0,+∞)北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 C 将函数f(x)=x·|x|-2x去掉绝对值得f(x)={ x2-2x,x≥0, 画出函数f(x)的图象,如图.
-x2-2x,x<0,
观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上单调递减,故选C.
13.(2021广州番禺象贤中学期中,4)已知函数f(x)={(2a-1)x-1,x≤1,
若函数f(x)在定义域R上单调
log x+1,x>1,
a
递增,则实数a的取值范围为( )
A.{ 3} B.{ 3}
a|1<a< a|1<a≤
2 2
C.{ 3} D.{ 3}
a|a> a|a≥
2 2
答案 B
∵函数f(x)={(2a-1)x-1,x≤1,
在定义域R上单调递增,∴
log x+1,x>1
a
{
2a-1>0,
解得1<a≤3,故选B.
a>1,
2
(2a-1)-1≤log 1+1,
a
14.(2022届江西新余第一中学模拟,3)已知f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,且f(x)
+g(x)=2x3+x2+3x+1,则f(1)+g(2)=( )
A.5 B.6 C.8 D.10
答案 D 因为f(x)+g(x)=2x3+x2+3x+1,所以f(-x)+g(-x)=-2x3+x2-3x+1.又f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以-
f(x)+g(x)=-2x3+x2-3x+1,则f(x)=2x3+3x,g(x)=x2+1,故f(1)+g(2)=5+5=10.故选D.
15.(2022届河南重点中学调研一,9)若函数f(x)=
2x2+1+a
的定义域为R,则实数a的取值范围是( )
ln(2x2+1+a)
A.(-2,+∞) B.(-1,+∞)北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
C.(-2,-1) D.(-2,-1)∪(-1,+∞)
答案 B ∵
2x2+1
+a≥2+a, f(x)的定义域为R,∴2+a>0成立,∴a>-2.由ln(
2x2+1
+a)≠0⇒
2x2+1
+a≠1,即
2x2+1
≠1-
a,∵ ∈[2,+∞),∴1-a<2,∴a>-1,综上所述,a>-1.故选B.
2x2+1
16.(2022届湖南名校10月联考,7)已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x2+2x+6,则( )
A. f(x)的最小值为2
2x2+4x+3
B.∃x∈R, >2
f (x)
C. f(x)的最大值为2
2x2+4x+5
D.∀x∈R, >2
f (x)
答案 D 因为2f(x)+f(-x)=3x2+2x+6①,
所以用-x代换x得2f(-x)+f(x)=3x2-2x+6②.
①×2-②得3f(x)=3x2+6x+6,即f(x)=x2+2x+2=(x+1)2+1,从而f(x)有最小值,没有最大值,且最小值为1.
2x2+4x+3=2x2+4x+3=2(x2+2x+2)-1=2- 1 <2,
f (x) x2+2x+2 x2+2x+2 x2+2x+2
2x2+4x+5=2x2+4x+5=2(x2+2x+2)+1=2+ 1 >2.故选D.
f (x) x2+2x+2 x2+2x+2 x2+2x+2
17.(多选)(2020福建泉州适应性测试)已知f(x)是定义在R上的奇函数, f(1+x)=f(1-x),若f(1)=1,则下列结论正
确的有( )
A. f(x)是周期函数
B.当n为偶数时, f(n)=0
C. f(1)+22f(2)+32f(3)+…+62f(6)=16
D. f(1)+22f(2)+32f(3)+…+(4n+2)2f(4n+2)=8n2+8n+1
ABD 因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).又f(1+x)=f(1-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可
得函数f(x)的周期为4,选项A正确; f(-2)=-f(2)=-f(0)=0,即f(-2)=f(2)=f(0),又因为函数f(x)的周期为4,所以当
n为偶数时, f(n)=0,选项B正确;因为f(-1)=-f(1)=-1,周期T=4,所以f(1)+22f(2)+32f(3)+…+62f(6)=1-32+52=17,所
以选项C错误; f(1)+22f(2)+32f(3)+…+(4n+2)2f(4n+2)=1-32+52-72+92-…+(4n+1)2=1+(52-32)+(92-72)+…+北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
2n(3+4n+1)
[(4n+1)2-(4n-1)2]=1+2[3+5+7+9+…+(4n-1)+(4n+1)]=1+2× =1+2n(4n+4)=8n2+8n+1,所以选项
2
D正确,故选ABD.
二、填空题
18.(2022届山西忻州顶级名校联考,16)在下列命题中,正确命题的序号为 .(写出所有正确命题的序
号)
a
①函数f(x)=x+ (x>0)的最小值为2√a;
x
②已知定义在R上周期为4的函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),则f(x)一定为偶函数;
③定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f(1)+f(4)+f(7)=0;
④已知函数f(x)=x3,若a+b>0,则f(a)+f(b)>0.
答案 ②③④
解析 ①当a=0时,f(x)=x(x>0)无最小值,故①错误;②因为f(2-x)=f(2+x),所以f(x)的图象关于直线x=2对称,
又f(x)的周期为4,所以f(-x)=f(-x+4)=f(4-(-x+4))=f(x),故函数f(x)一定为偶函数,故②正确;③因为f(x)是定义
在R上的奇函数,又是以2为周期的周期函数,所以f(0)=0,f(-1)=-f(1),f(-1)=f(-1+2)=f(1),故f(1)=0,又
f(4)=f(0+2×2)=f(0)=0,f(7)=f(1+2×3)=f(1)=0,所以f(1)+f(4)+f(7)=0,故③正确;④f(x)=x3为奇函数,且在R上单调
递增,若a+b>0,则a>-b,有f(a)>f(-b)=-f(b),所以f(a)+f(b)>0,故④正确.
19.(2021河南安阳模拟,14)定义在R上的函数f(x)满足:①对任意的x,y∈R,都有f(x-y)=f(x)-f(y);②当x<0
时,f(x)>0,则函数f(x)的解析式可以是 .
答案 f(x)=-x或-2x(答案不唯一)
解析 因为定义在R上的函数f(x)满足对任意的x,y∈R,都有f(x-y)=f(x)-f(y),所以当x=y=0时, f(0)=0,当x=0
时, f(-y)=-f(y),所以函数f(x)为奇函数,又因为当x<0时, f(x)>0,所以当x>0时, f(x)=-f(-x)<0,所以函数的解析
式可以为f(x)=-x或-2x(答案不唯一).
思路分析 直接利用赋值法和函数的性质求出函数为奇函数,进一步举出例子即可.
20.(2021天津南开中学模拟,13)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f(1) -1,则f(x)= .
√x
x
2 1
答案 √x+
3 3
