北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.4 对数与对数函数
一、选择题
1.(2020课标Ⅰ,8,5分)设alog4=2,则4-a=( )
3
1 1 1 1
A. B. C. D.
16 9 8 6
1 1
答案 B ∵alog 3 4=2,∴a=2log 4 3=log 2 3,∴4-a=4 -log 2 3=2 -2log 2 3= 2 log 29 = 9 ,故选B.
2.(2021湖南张家界武陵校级月考,4)设(1) a =5b=m,且1-1=2,则m=( )
2 a b
1 √10
A. B.10 C.√10 D.
10 10
答案 D ∵(1) a =5b=m,∴a=log m,b=log
5
m,m>0,
1
2 2
1 1 1 √10
∴ - =log -log 5=-log 2-log 5=-(log 2+log 5)=-log 10=2,则m-2=10,解得m= ,故选D.
a b m2 m m m m m m 10
3.(2022届成都期中,4)已知函数f(x)=logx+2(a>0,且a≠1)在区间[1 ]上的最大值为4,则a的值为( )
a ,4
2
1 √2 √2
A. B.2 C. D.2或
2 2 2
答案 D 当a>1时,f(x)
max
=f(4)=log
a
4+2=4,所以a=2.当0<a<1时,f(x)
max
=f(1)=log
a
1+2=4,所以a=√2.故选
2 2 2
D.
4.(2021陕西宝鸡一模,4)很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”,“64片金片在三根金针上移动的寓
言”)都涉及264这个数.请你估算264大致所在的范围是( )
(参考数据:lg 2=0.30,lg 3=0.48)
A.(1012,1013) B.(1019,1020)
C.(1020,1021) D.(1030,1031)
答案 B 设x=264,则lg x=lg 264=64lg 2=64×0.30=19.2,所以x=1019.2,所以x∈(1019,1020),故选B.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.(2021河南焦作二模,11)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+3)=f(x+1),当0<x<1时, f(x)=2-x,则f
( 1 )=( )
log
2257
1 256 256
A.-8 B.- C. D.-
256 257 257
1
答案 D ∵f(x+3)=f(x+1),∴f(x)是周期函数,周期T=2,又f(x)是奇函数,log
2
=-log
2
257∈(-9,-8),∴f
257
( log 225 1 7 )=f log 2 25 1 7 +8 =f( log 22 2 5 5 7 6)=-f( -log 22 2 5 5 7 6)=-f( log 2 2 2 5 5 7 6 )=- 2 -log 2 2 2 5 5 7 6 =- 2 2 5 5 7 6 .故
选D.
6.(2022届安徽淮南第一中学月考,7)已知log3=a,3b=7,则log 56=( )
2 21
ab+3 3a+b ab+3 b+3
A. B. C. D.
a+ab a+ab a+b a+ab
答案 A 由3b=7,可得log 3 7=b,由log 2 3=a得log 3 2=1,所以log 21 56= log 3 (7×23) = log 3 7+log 3 23 =
a log (3×7) log 3+log 7
3 3 3
1
b+3× ab+3
a= .故选A.
a+ab
1+b
7.(2022届河南安阳月考,9)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=3x-1,则函数
g(x)=f(x)-log|x|的零点个数是( )
2
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B f(x+2)=-f(x+1)=f(x),则f(x)的周期为2.当x∈[0,1]时,f(x)=3x-1,且函数f(x)的图象关于y轴对称,在同
一直角坐标系中画出y=f(x)和y=log|x|的图象,如图,观察可得两函数图象交点个数为4,即函数g(x)=f(x)-log|
2 2
x|的零点个数是4,故选B.
8.(2022届江西顶级名校调研,8)下列说法正确的是( )
A.若函数f(x)对于任意x∈R都有f(x)=f(4-x)成立,则f(x+2)是偶函数北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
B.若函数f(x)=alog
3
x+blog
2
x+1,f(2 016)=3,则f( 1 )=-3
2 016
C.对于函数f(x)=ln x,其定义域内任意x
1
≠x
2
都满足f(x
1
+x
2
)≤ f (x
1
)+f (x
2
)
2 2
D.函数f(x)=ax(a>0,a≠1)满足对定义域内任意实数m,b都有f(m+b)=f(m)·f(b),且f(x)为增函数
答案 A A选项,因为f(x)=f(4-x),所以f(x+2)=f(4-(x+2))=f(-x+2),所以f(x+2)是偶函数,正确.
B选项,因为f(2 016)=alog2 016+blog2 016+1=3,所以alog2 016+blog2 016=2.
3 2 3 2
则f( 1 )=alog
3
1 +blog
2
1 +1=-(alog
3
2 016+blog
2
2 016)+1=-2+1=-1,错误.
2 016 2 016 2 016
x +x x +x ln x +ln x
C选项,因为x>0,x>0,x≠x,所以 1 2 >√x x ,所以ln 1 2 >ln√x x = 1 2 ,即f
1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
(x
1
+x
2
)> f (x
1
)+f (x
2
) ,错误.
2 2
D选项,当0<a<1时,f(x)为减函数,错误.
故选A.
9.(2022届广西玉林育才中学10月月考,10)函数f(x)=log(x2-ax+2)在区间(1,+∞)上恒为正值,则实数a的取值
a
范围是( )
A.(1,2) B.(1,2]
C.(0,1)∪(1,2) D.( 5)
1,
2
答案 B 函数f(x)=log(x2-ax+2)在(1,+∞)上恒为正值,
a
当0<a<1时,log(x2-ax+2)>0=log1,即0<x2-ax+2<1在区间(1,+∞)上恒成立,此式显然不恒成立;
a a
1
当a>1时,log(x2-ax+2)>0=log1,即x2-ax+2>1在区间(1,+∞)上恒成立,即a<x+ 在区间(1,+∞)上恒成立,
a a
x
{a>1,
解得1<a≤2.故选B.
a≤2,
10.(2022届河南期中联考,11)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=-ln x,则(
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A. f(
log
1)>f(34)>f(log
3
4)
43
B. f(34)>f(
log
1)>f(log
3
4)
43
C. f(
log
1)>f(log
3
4)>f(34)
43
D. f(34)>f(log
3
4)>f(
log
1)
43
答案 A 因为偶函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),
所以f(x)=-f(x+2)=f(x+4),即f(x)的周期为4,
所以f(34)=f(81)=f(1)=-ln 1=0.
f(
log
1)=f(-log
4
3)=f(log
4
3),
43
x∈(0,1]时, f(x)=-ln x>0,
因为log
4
3∈(0,1),所以f(log
4
3)>0.
f(log4)=-f(log4-2)=-f(2-log4),
3 3 3
因为2-log
3
4∈(0,1),所以-f(2-log
3
4)<0.
综上可得, f(
log
1)>f(34)>f(log
3
4).故选A.
43
二、填空题
11.(2022届江西新余月考,13)函数y=log(3x-1)+2(a>0,a≠1)的图象过定点 .
a
答案 (2 )
,2
3
解析 对于函数y=log
a
(3x-1)+2(a>0,a≠1),令3x-1=1,得x=2,则y=2,可得该函数的图象过定点(2
,2
).
3 3
12.(2022届四川名校联盟联考,14)函数f(x)=log (x2-4x-45)的单调递减区间为 .
√7北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 (-∞,-5)
解析 要使函数有意义,则x2-4x-45>0,
即x<-5或x>9.
当x<-5时,函数t=x2-4x-45单调递减,
当x>9时,函数t=x2-4x-45单调递增,
因为函数y=log t在定义域内是增函数,
√7
所以根据复合函数的单调性之间的关系可知,当x<-5时,函数f(x)单调递减,
即f(x)的单调递减区间为(-∞,-5).
13.(2021河南顶级名校月考,14)若函数f(x)=log(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是
2
.
答案 (-4,4]
解析 ∵函数f(x)=log(x2-ax+3a)在区间[2,+∞)上是增函数,∴函数y=x2-ax+3a在区间[2,+∞)上是增函数,且x2-
2
{ a
≤2,
ax+3a>0在区间[2,+∞)上恒成立,∴ ∴-4<a≤4,即实数a的取值范围是(-4,4].
2
22-a×2+3a>0,
g
14.(2021三省三校“3+3+3”二模,14)已知函数y=lo 1(1-ax)在[0,2]上单调递减,则实数a的取值范围是
a
.
答案 ( 1)
0,
2
g 1 1
解析 ∵a>0,∴t=1-ax是减函数,又y=lo 1(1-ax)在[0,2]上单调递减,所以 >1,且1-2a>0,∴0<a< .
a a 2
15.(2022届吉林重点高中月考,14)已知a=log3,则4a+4-a= .
2
82
答案
9
1 1 82
解析 由题意得,4a=22a=22log 2 3=2log 2 9=9,同理,4-a= ,则4a+4-a=9+ = .
9 9 9
三、解答题
16.(2022届陕西咸阳期中,17)计算:北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
g
(1)log15-log3+lo 5;
2 2 1
2
lg2
(2)(log 4 3+log 8 3) +22-log 2 6.
lg3
15
解析 (1)原式=log -log5=0.
2 2
3
(2)原式=(lo 3+lo 3)·log2+22·
g 22 g 23 3 2 -log 2 6
=(1
log 3+
1
log 3
)·log
3
2+22·
log
1=5log
2
3·log
3
2+22·1=5+4=9=3.
2 2 3 2 2 26 6 6 6 6 6 2
