北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题二 不等式
2.1 不等式及其解法
一、选择题
1.(2022届河南期中,3)已知a,b,c,d∈R,则下列命题中,正确的是( )
A.若a4>b4,则a>b
a b
B.若 > ,则a>b
c c
C.若a>b,c>d,则ac>bd
a b
D.若 < ,则a<b
c2 c2
a b
答案 D 对于A,当a=-2,b=1时,满足a4>b4,但a<b,所以A错误;对于B,当c<0,a<b<0时,满足 > ,但不满足
c c
a
a>b,所以B错误;对于C,若a=-1,b=-2,c=-3,d=-4,满足a>b,c>d,而此时ac=3<bd=8,所以C错误;对于D,因为 <
c2
b
,c2>0,所以a<b,所以D正确.故选D.
c2
1 1 1 1
2.(2022届兰州西北师大附中期中,6)若b<a<0,给出下列不等式:① < ;②|a|+b>0;③a- >b- ;④ln
a+b ab a b
a2>ln b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
1 1
答案 C 因为b<a<0,所以a+b<0,ab>0,所以 < ,所以①正确;当b=-4,a=-2时,满足b<a<0,此时|a|
a+b ab
+b<0,所以②不正确;由a-1-( 1)=(a-b)+(1 1)=(a-b)( 1 ),由b<a<0,可得a-b>0,ab>0,所以(a-b)
b- - 1+
a b b a ab
( 1 )>0,所以a-1>b-1,所以③正确;由b<a<0,可得a2<b2,所以ln a2<ln b2,所以④不正确.故选C.
1+
ab a b
x y
3.(2021四川绵阳诊断,11)已知正实数x,y满足ln >lg ,则( )
y x
第 1 页 共 9 页第 1 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.ln x>ln(y+1) B.ln(x+1)<lg y
C.3x<2y-1 D.2x-y>1
x y
答案 D 因为正实数x,y满足ln >lg ,所以ln x-ln y>lg y-lg x,所以ln x+lg x>ln y+lg y,因为函数
y x
f(x)=ln x+lg x在(0,+∞)上单调递增,所以x>y.
对于A,取x=4,y=3,此时ln x=ln(y+1),故A错误;
对于B,取x=2,y=1,此时ln(x+1)>lg y,故B错误;
对于C,取x=3,y=2,此时3x>2y-1,故C错误;
对于D,因为x>y,所以2x-y>20=1,故D正确.故选D.
4.(2022届湖北襄阳五中10月月考,6)已知x,y是正数,且x+2y=1,下列叙述正确的是( )
A.x+y的最大值为1
B.x2+y2的最大值为1
1
C.(x+y)y的最大值为
4
x+2y
D. 的最小值为4
2xy
{
x>0, {0<x<1,
答案 D 由 得 对于A,x+y=1-2y+y=1-y,∵0<y<1,∴1<x+y<1,不存在最大值,A中
y>0, 1
0<y< . 2 2
x+2y=1 2
叙述错误;
1 1
对于B,x2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1,∵0<y< ,∴ <x2+y2<1,不存在最大值,B中叙述错误;
2 5
1 1
对于C,(x+y)y=(1-y)y=-y2+y,∵0<y< ,∴0<(x+y)y< ,不存在最大值,C中叙述错误;
2 4
对于D,x+2y= 1 +1=(1 1 )(x+2y)=2+2y+ x ≥2+2√2y x =4,当且仅当2y= x ,即x=
+ ·
2xy 2y x x 2y x 2y x 2y x 2y
1 1 x+2y
,y= 时取等号,∴ 的最小值为4,D中叙述正确.故选D.
2 4 2xy
{log x,x≥1,
2
5.(2022届长春重点高中月考一,8)已知函数f(x)= 则不等式f(x)≤1的解集为 ( )
1
,x<1,
1-x
A.(-∞,2] B.(-∞,0]∪(1,2]
第 2 页 共 9 页第 2 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
C.[0,2] D.(-∞,0]∪[1,2]
1 x
答案 D 当x≥1时,logx≤1=log2,可得x≤2,所以1≤x≤2;当x<1时, ≤1,即 ≤0,解得x≤0或x>1,所
2 2 1-x 1-x
以x≤0.综上所述,不等式f(x)≤1的解集为(-∞,0]∪[1,2],故选D.
6.(2020陕西汉中二模,12)对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使得不等式4[x]2-36[x]+45<0成
立的x的取值范围是 ( )
A.(3 15) B.[2,8]
,
2 2
C.[2,8) D.[2,7]
3 15
答案 C 因为4[x]2-36[x]+45<0,所以 <[x]< ,所以2≤x<8,故选C.
2 2
7.(2021安徽名校期末,4)已知使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x,都满足不等式3x-1≤0,则实数a的取
值范围为( )
A.( 1 ) B.[ 1 )
- ,+∞ - ,+∞
3 3
C.( 1) D.( 1]
-∞,- -∞,-
3 3
答案 B 解3x-1≤0,得x≤1,故解集为( 1].
-∞,
3 3
由不等式x2+(a+1)x+a≤0,得(x+1)(x+a)≤0,
因为使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x,都满足不等式3x-1≤0,
所以若a=1,则不等式(x+1)(x+a)≤0的解集为{-1},满足{-1}⊆( 1],符合题意;
-∞,
3
若a<1,则不等式(x+1)(x+a)≤0的解集为[-1,-a],则[-1,-a]⊆( 1],所以-a≤1,解得-1≤a<1;
-∞,
3 3 3
若a>1,则不等式(x+1)(x+a)≤0的解集为[-a,-1],则[-a,-1]⊆( 1],所以a>1.
-∞,
3
综上知,实数a的取值范围是[ 1 ).故选B.
- ,+∞
3
第 3 页 共 9 页第 3 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8.(2022届贵阳一中10月月考,12)已知函数f(x)={2ln(x+1),x>0,
若|f(x)|≥ax对任意的x∈R恒成立,
-x2+4x,x≤0,
则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.[-4,0]
C.[-2,0] D.(-∞,1]
答案 B 画出y=|f(x)|的大致图象,如图.由图可知,当a>0时,不符合题意.当a=0时,|f(x)|≥ax恒成立,符合题意.
当a<0时,当直线y=ax与曲线y=x2-4x(x≤0)相切时,a有最小值,联立{y=x2-4x,得x2-
y=ax,
(4+a)x=0,Δ=(4+a)2=0,解得a=-4,所以-4≤a≤0.故选B.
9.(2020海南天一大联考一,11)已知a>1,若存在x∈[1,+∞),使不等式3xln a<(x+1)·ln aa成立,则a的取值范围
是( )
A.(1,+∞) B.(5 )
,+∞
4
C.(3 ) D.(2,+∞)
,+∞
2
3x
答案 C 因为a>1,所以3xln a<(x+1)·ln aa⇔3xln a<a(x+1)ln a⇔3x<a(x+1)⇔a> .因为存在x∈[1,+∞),
x+1
使不等式3xln a<(x+1)ln aa成立,所以a>( 3x ) ,又y= 3x =3- 3 在区间[1,+∞)上单调递增,所以
x+1 x+1 x+1
min
( 3x ) =( 3 ) =3,所以a>3,故选C.
3-
x+1 x+1 2 2
min min
第 4 页 共 9 页第 4 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
10.(2022届湖南联考,9)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,当x∈[-1,1]
时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( )
A.(-1,0)
B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,-1)
a
答案 C 因为对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,由1= ,解得
2
a=2.
又因为函数f(x)的图象开口向下,所以函数f(x)在[-1,1]上单调递增,而f(x)>0恒成立,所以f(x) =f(-1)=b2-
min
b-2>0,解得b<-1或b>2.故选C.
11.(2022届江西上饶月考,9)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是(
)
A.[-2,-1)∪(3,4] B.(-2,-1)∪(3,4)
C.(3,4] D.(3,4)
答案 A x2-(a+1)x+a<0即(x-1)(x-a)<0,当a>1时,解得1<x<a;当a<1时,解得a<x<1.
∵不等式的解集中恰有两个整数,∴3<a≤4或-2≤a<-1,∴a的取值范围是[-2,-1)∪(3,4].故选A.
12.(2021东北三省模拟,7)关于x的不等式ax-b>0的解集是(-1,+∞),则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0的解集是
( )
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)
B.(-1,3)
C.(1,3)
D.(-∞,1)∪(3,+∞)
b
答案 C ∵关于x的不等式ax-b>0,即ax>b的解集是(-1,+∞),∴ =-1,且a>0,即a=-b>0.
a
则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0,即(-ax+a)(x-3)>0,也即a(x-1)(x-3)<0,解得1<x<3.故选C.
cosx-2
13.(2021新疆第二次适应性检测,3)若关于x的不等式 >0的解集为(-2,3),则mn=( )
x2-mx-n
A.5 B.-5 C.6 D.-6
cosx-2
答案 C 因为cos x-2<0, >0的解集为(-2,3),
x2-mx-n
所以x2-mx-n<0的解集为(-2,3),故-2+3=m,-2×3=-n,所以m=1,n=6,则mn=6.故选C.
14.(多选题)下列说法正确的是( )
第 5 页 共 9 页第 5 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.不等式2x2-x-1>0的解集是{x|x>2或x<1}
B.不等式-6x2-x+2≤0的解集是 {
x
|
x≤-
2
或x≥
1}
3 2
C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7<x<-1},则a的值是3
D.若关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为-1
答案 BCD 对于A,∵2x2-x-1=(2x+1)(x-1),
∴由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<- 1 ,∴不等式的解集为 { x | x>1或x<- 1}.故A错误;
2 2
对于B,∵-6x2-x+2≤0,∴6x2+x-2≥0,
1 2
∴(2x-1)(3x+2)≥0,∴x≥ 或x≤- .
2 3
∴不等式的解集为{ 1 2}.故B正确;
x|x≥ 或x≤-
2 3
对于C,由题意可知-7和-1是关于x的方程ax2+8ax+21=0的两个根.
21
∴-7×(-1)= ,∴a=3.故C正确;
a
对于D,依题意知q,1是方程x2+px-2=0的两根,则q+1=-p,即p+q=-1,故D正确.
15.(2020山东德州期中,11)对于实数a,b,c,下列命题中正确的是( )
A.若a>b,则ac<bc B.若a<b<0,则a2>ab>b2
a b 1 1
C.若c>a>b>0,则 > D.若a>b, > ,则a>0,b<0
c-a c-b a b
答案 BCD 对于A,当c>0时,由a>b,可得ac>bc,故A不正确;
对于B,a2-ab=a(a-b),∵a<b,∴a-b<0,又a<0,∴a(a-b)>0,∴a2>ab.ab-b2=b(a-b),∵a<b,∴a-b<0,又b<0,∴b(a-b)>0,∴ab-
b2>0,∴a2>ab>b2,故B正确;
1 1 a b
对于C,∵c>a>b>0,∴c-a>0,c-b>0,且c-b>c-a,∴ > ,又∵a>b>0,∴ > ,故C正确;
c-a c-b c-a c-b
1 1
对于D,∵a>b,∴a-b>0,又∵ - >0,
a b
b-a
∴ >0,又b-a<0,∴ab<0,即a,b异号,
ab
又∵a>b,∴a>0,b<0,故D正确,故选BCD.
16.(多选)(2022届重庆巴蜀中学月考一,9)已知实数a,b,c满足a>b>0>c,则下列不等式中一定正确的有( )
第 6 页 共 9 页第 6 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
c c
A.ac>bc B. >
a b
c a
C.ac2>bc2 D. + ≤-2
a c
1 1 }
BCD 对于选项A:
f(x)=xc(c<0)在(0,+∞)上是减函数,所以ac<bc,A错误;对于选项B:a>b>0⇒ <
⇒
a b
c<0
c > c ,B正确;对于选项C:a>b>0,c2>0⇒ac2>bc2,C正确;对选项D: c + a =-( - c - a)≤-2·√( - c) · ( - a)
a b a c a c a c
=-2(当且仅当a=-c时等号成立),D正确.故选BCD.
二、填空题
2x-a
17.(2022届上海二模,7)不等式 >0的解集为M,且2∉M,则实数a的取值范围是 .
x+a
答案 (-∞,-2]∪[4,+∞)
4-a
解析 由题意可知, ≤0或2+a=0,解得a≥4或a≤-2.
2+a
1
18.(2021河南新乡一模,16)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,当x≥0时, f(x)=x2.若不等式 f(ax2)+f(3-
4
x)≥0对任意x∈R恒成立,则实数a的最小值为 .
1
答案
6
解析 由已知得f(x)={ x2,x≥0, 所以f(x)f(y)={x2y2,xy≥0, ={(xy)2,xy≥0, =f(xy),所以不
-x2,x<0, -x2y2,xy<0 -(xy)2,xy<0
等式1f(ax2)+f(3-x)≥0可化为f(1)f(ax2)+f(3-x)≥0,即f(1 ax2)≥f(x-3).因为f(x)是R上的增函数,所以1
4 2 2 2
ax2≥x-3,即ax2-2x+6≥0对任意x∈R恒成立,当a=0时显然不满足-2x+6≥0对任意x∈R恒成立,所以
{ a>0, 1
即a≥ .
Δ=4-24a≤0, 6
第 7 页 共 9 页第 7 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
19.(2021河南部分重点高中联考,15)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时, f(x)=-√x+e-2x-1,则不等式
f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0的解集为 .
答案 ( 2)∪(6,+∞)
-∞,-
3
解析 易知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,因为函数f(x)为奇函数,所以函数f(x)在R上为减函数,不等式f(2x2-
10x)+f(x2-6x-12)<0可化为f(2x2-10x)<f(-x2+6x+12),所以2x2-10x>-x2+6x+12,即3x2-16x-12>0,解得x∈
( 2)∪(6,+∞).
-∞,-
3
20.(2022届通州期中,12)不等式-x2+x+42>0的解集为 .
答案 (-6,7)
解析 由-x2+x+42>0得x2-x-42<0,即(x-7)(x+6)<0,解得-6<x<7.
21.(2022届北京一零一中学统考二,12)若关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x<x<x},且x-x=15,
1 2 2 1
则a的值为 .
5
答案
2
解析 由题意,x,x 是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的两个实数根,
1 2
所以Δ=4a2+32a2=36a2>0,且x+x=2a,xx=-8a2.
1 2 1 2
25 5
因为x-x=15,所以152=(x +x )2-4xx=4a2+32a2=36a2,所以a2= .又a>0,所以a= .
2 1 1 2 1 2 4 2
22.(2022届北京九中10月月考,12)命题“∀x∈R,使得关于x的不等式mx2+mx+1≥0”是真命题,则m的取值
范围是 .
答案 [0,4]
解析 当m=0时,1≥0恒成立,满足题意;
当m≠0时,则{ m>0, 解得0<m≤4,
m2-4m≤0,
综上可得0≤m≤4,即m∈[0,4].
23.(2022届清北学堂全国高中数学联赛,1)已知关于x的不等式(x-1)2>ax2有且仅有三个整数解,则实数a的取
值范围是 .
答案 [16 9)
,
9 4
第 8 页 共 9 页第 8 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
解析 由已知得a>0,因为x=0是不等式的一个解,x=1不是不等式的解,所以不等式的三个整数解只能是-2,-
1,0.不等式(x-1)2>ax2化为(a-1)x2+2x-1<0.
{f (-3)=9(a-1)-7≥0,
设f(x)=(a-1)x2+2x-1,则依题意得f(x)=0的两根满足-3≤x<-2,0<x≤1,所以
1 2 f (-2)=4(a-1)-5<0,
{ f (0)=-1<0,
且
f (1)=(a-1)+1≥0,
解得16≤a<9,所以a的取值范围是[16 9).
,
9 4 9 4
24.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为 .
答案 ( 2)
-1,
3
解析 3x2+x-2<0⇔(x+1)(3x-2)<0,
2
所以-1<x< .
3
第 9 页 共 9 页
