北京曲一线图书策划有限公司 22版 《5年高考3年模拟 B版》
第七章 不等式
§7.1 不等式及其解法
— 专题检测 —
一、单项选择题
1.(2021北京房山一模,3)已知a,b∈R,且a>b,则下列各式中一定成立的是 ( )
1 1
A. < B.a3>b3
a b
C.ab>b2 D.2|a|>2|b|
答案 B 本题考查函数的单调性与不等式的性质.
1 1
对于A,当a>0>b时, > ,故A不一定成立;对于B,a>b,则a3>b3,故B一定成立;对于C,当a>0>b时,
a b
ab<0<b2,故C不一定成立;对于D,当0>a>b时,|a|<|b|,则2|a|<2|b|,故D不一定成立.故选B.
2.(2021北京通州一模,7)已知a,b,c∈R,则“a>b”的一个充分而不必要条件是 ( )
A.a2>b2 B.a3>b3 C.2a>2b D.ac2>bc2
答案 D 对于A:a>b与a2>b2互相推不出,故“a2>b2”是“a>b”的既不充分也不必要条件.对于
B:a3>b3⇔a>b,故“a3>b3”是“a>b”的充要条件.对于C:a>b⇔2a>2b,故“2a>2b”是“a>b”的充要
条件.对于D:若ac2>bc2,得c≠0,a>b,反之不成立,即“ac2>bc2”是“a>b”的充分不必要条件,故选
D.
3.(2021天津河东一模,2)命题p:|x|>|y|,命题q:x2>y2,则命题p是命题q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 C |x|>|y|⇔x2>y2.故选C.
4.(2021安徽黄山期末,7)已知P=a2+4a+1,Q=-b2+2b-4,则 ( )
A.P>Q B.P<Q C.P≥Q D.P≤Q
答案 C P-Q=a2+b2+4a-2b+5=(a+2)2+(b-1)2,所以P-Q≥0,当且仅当a=-2,b=1时取等号,所以选C.
解题思路 作差法比较大小,完全平方式大于或等于0.
5.(2021河南百校联盟质量监测,12)若f(x)是奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,又f(-4)=0,则
f (x+2)-f (-x-2)
>0的解集是 ( )
x
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A.(-4,0)∪(4,+∞) B.(-6,-2)∪(0,2)
C.(-6,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-4)∪(0,4)
答案 B
因为函数f(x)为奇函数,所以f(-4)=-f(4)=0,所以f(4)=0,因为函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,所以函数
f (x+2)-f (-x-2)
f(x)在(0,+∞)上是减函数,故作出函数f(x)的大致图象如图所示, >0等价于
x
f (x+2)-f [-(x+2)] 2f (x+2) { x<0, { x>0,
>0,得 >0,则 或 则
x x f (x+2)<0 f (x+2)>0,
{ x<0, { x>0, f (x+2)-f (-x-2)
或 解得-6<x<-2或0<x<2.故 >0的解集是
-4<x+2<0 0<x+2<4, x
(-6,-2)∪(0,2).
6.(2021河南名校联盟期末,3)对任意实数a,b,c,在以下命题中,正确的个数为 ( )
①若ac2<bc2,则a<b;
a
②若a>b,则 >1;
b
1 1
③若 > ,则a<|b|;
a2 b2
④若a>1>b>0,则log(a-b)>0.
a
A.1 B.2 C.3 D.0
答案 B 对于①,c2>0,根据不等式性质得a<b,正确;
对于②,b=0不成立,错误;
对于③,0<a2<b2,即|a|<|b|,a≤|a|,则a<|b|,正确;
对于④,取a=1.1,b=0.9,则log (1.1-0.9)=log 0.2<0,错误.选B.
1.1 1.1
7.(2021浙江嘉兴高三上期末,3)已知x,y∈R,则“|x|+|y|>0”是“x>0”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 当x=-1时,满足|x|+|y|>0,但不满足x>0,所以由|x|+|y|>0推不出x>0.
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由x>0可以推出|x|+|y|>0.
所以“|x|+|y|>0”是“x>0”的必要而不充分条件,故选B.
1 1
8.(2021浙江嘉兴二模,8)若正实数a,b满足loga- =2logb- ,则 ( )
2 a+1 4 2b+1
A.a>2b B.a<2b
C.b>2a D.以上均不正确
1 1 1 1
答案 B 由题可知:loga- =2logb- =logb- <log(2b)- .因为f(x)=logx-
2 a+1 4 2b+1 2 2b+1 2 2b+1 2
1
在(0,+∞)上单调递增,所以a<2b,故选B.
x+1
1 1 1 1
思维拓展 同理可得loga- =2logb- =logb- >logb- ,所以a>b.
2 a+1 4 2b+1 2 2b+1 2 b+1
二、多项选择题
1 1
9.(2021届江苏如皋中学9月阶段检测,10)给出四个选项,能推出 < 的是( )
a b
A.b>0>a B.0>a>b C.a>0>b D.a>b>0
1 1 1 1 b-a
答案 ABD 由 < 可得, - = <0.
a b a b ab
b-a
对于A选项,由b>0>a可得ab<0,且b-a>0,可以得到 <0,因此A符合题意;
ab
b-a
对于B选项,由0>a>b可得ab>0,且b-a<0,可以得到 <0,因此B符合题意;
ab
b-a
对于C选项,由a>0>b可得ab<0,且b-a<0,可以得到 >0,因此C不符合题意;
ab
b-a
对于D选项,由a>b>0可得ab>0,且b-a<0,可以得到 <0,因此D符合题意.
ab
10.(2021届广东深圳实验学校11月月考,9)设a,b,c为实数,且a>b>0,则下列不等式中正确的是(
)
1 1
A. < B.ac2>bc2
a b
C.(1) a <(1) b D.lg a2>lg(ab)
2 2
答案 ACD 对于A,因为a>b>0,
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1 1
所以 < ,所以A正确;
a b
对于B,当c=0时,ac2>bc2不成立,所以B错误;
对于C,因为a>b>0,函数y=(1) x 是R上的减函数,
2
所以(1) a <(1) b ,所以C正确;
2 2
对于D,因为a>b>0,所以a2>ab>0,
因为y=lg x是(0,+∞)上的增函数,
所以lg a2>lg(ab),所以D正确,故选ACD.
11.(2021届山东青岛期初调研检测,11)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式正确的有 ( )
A.ab≤1 B.√a+√b≤√2
1 1
C.a2+b2≥2 D. + ≥2
a b
答案 ACD 由基本不等式可得ab≤(a+b) 2 =1,所以A正确;
2
当a=b=1时,√a+√b=2>√2,所以B错误;
a2+b2≥2ab,所以2(a2+b2)≥a2+b2+2ab=(a+b)2=4,即a2+b2≥2,所以C正确;
因为0<ab≤(a+b) 2 =1,
2
1 2 a+b
所以 ≥1, ≥2, ≥2,
ab ab ab
1 1
即 + ≥2,所以D正确.故选ACD.
a b
12.(2020山东德州期中,11)对于实数a,b,c,下列命题中正确的是 ( )
A.若a>b,则ac<bc B.若a<b<0,则a2>ab>b2
a b 1 1
C.若c>a>b>0,则 > D.若a>b, > ,则a>0,b<0
c-a c-b a b
答案 BCD 对于A,当c>0时,由a>b,可得ac>bc,故A不正确;
对于B,a2-ab=a(a-b),∵a<b,∴a-b<0,又a<0,∴a(a-b)>0,∴a2>ab.ab-b2=b(a-b),∵a<b,∴a-b<0,又b<0,∴b(a-
b)>0,∴ab-b2>0,∴a2>ab>b2,故B正确;
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1 1 a b
对于C,∵c>a>b>0,∴c-a>0,c-b>0,且c-b>c-a,∴ > ,又∵a>b>0,∴ > ,故C正确;
c-a c-b c-a c-b
1 1
对于D,∵a>b,∴a-b>0,又∵ - >0,
a b
b-a
∴ >0,又b-a<0,∴ab<0,即a,b异号,
ab
又∵a>b,∴a>0,b<0,故D正确,故选BCD.
三、填空题
13.(2021北京房山一模,14)设a>0,b>0,则使得命题“若lg(a+b)>0,则lg(ab)>0”为假命题的一组a,b
的值是 .
1
答案 a=1,b= (答案不唯一)
2
1 3 1 1
解析 本题答案不唯一.当a=1,b= 时,lg(a+b)=lg >0,而lg(ab)=lg <0,故a=1,b= 满足题意.
2 2 2 2
14.(2021河南部分重点高中联考,15)已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x≥0时, f(x)=-√x+e-2x-1,
则不等式f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0的解集为 .
答案 ( 2)∪(6,+∞)
-∞,-
3
解析 易知函数f(x)在[0,+∞)上为减函数,因为函数f(x)为奇函数,所以函数f(x)在R上为减函数,不
等式f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0可化为f(2x2-10x)<f(-x2+6x+12),所以2x2-10x>-x2+6x+12,即3x2-
2
16x-12>0,解得x>6或x<- .
3
15.(2021浙江绍兴4月模拟,12)已知函数f(x)={-(x+1)2+7,x≤1,
则f(0)= ;关于x的
log x+3,x>1,
2
不等式f(x)>7的解集是 .
答案 6;(16,+∞)
解析 f(0)=-1+7=6.
由{ x≤1, 或{ x>1, 解得x>16.
-(x+1)2+7>7 log x+3>7,
2
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16.(2021浙江温州中学期末,17)已知函数f(x)=x3-3x,若对任意的实数x,不等式f(x+t)>f(x)+t(t≠0)恒
成立,则实数t的取值范围是 .
答案 (4,+∞)
解析 因为f(x)=x3-3x, f(x+t)>f(x)+t(t≠0),即(x+t)3-3(x+t)>x3-3x+t,即3tx2+3t2x+t3-4t>0(t≠0)恒成立,
所以t>0,故3x2+3tx+t2-4>0恒成立,所以Δ=9t2-12(t2-4)<0,解得t>4.
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