北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题三 函数概念与基本初等函数
3.1 函数及其性质
应用创新题组
1.(2022届河南重点高中调研,12)设a=ln 1.2,b=2ln 1.1,c=√1.5-1,则( )
A.b<a<c B.c<a<b
C.a<c<b D.a<b<c
1-x
答案 D 令f(x)=ln x-x+1(x>0),则f '(x)= ,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以
x
f(x)≤f(1)=0,即ln x≤x-1.因为√1.5-1.21=√1.5-√1.464 1>0,所以√1.5-1.21>0,即√1.5-1>0.21.因
为b=2ln 1.1=ln 1.21<1.21-1=0.21,所以b<c.因为ln 1.2<ln 1.21,所以a<b,故a<b<c.故选D.
g 1
2.(2022届河南十校联考,7)已知a,b,c∈(0,+∞),a=5+lo 1a,b+ =3,c+4c=4,则( )
4
2b
A.b<a<c B.a<c<b
C.c<a<b D.c<b<a
g g
答案 D 因为函数y=x的图象与函数y=lo 1x+5的图象只有一个交点,所以方程x=lo 1x+5只有一个解
4 4
g
x=4,又a=5+lo 1a,所以a=4.
4
1
因为b∈(0,+∞),所以2b>1,可得0< <1,
2b
1
又因为b+ =3,所以0<3-b<1,即2<b<3.
2b
由c>0,c+4c=4,可得4-4c>0,所以0<c<1,所以c<b<a.故选D.
3.(2021安徽芜湖模拟,9)已知定义域为R的函数f(x)=f(-x)-2sin x,当x≥0时,f '(x)≥1,则关于x的不等式f(x)≥f
(π )+ ·sin( 5π)的解集为( )
-x √3 x+
3 6
A.[π ) B.[ π )
,+∞ - ,+∞
6 6
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C.( π) D.( π)
-∞, -∞,-
6 6
答案 A 因为f(x)=f(-x)-2sin x,所以f(x)+sin x=f(-x)-sin x,即f(x)+sin x=f(-x)+sin(-x),令g(x)=f(x)+sin x,易
知g(-x)=g(x),故函数g(x)为偶函数.因为当x≥0时,f '(x)≥1,所以g'(x)=f '(x)+cos x≥0,则函数g(x)在[0,+∞)上单
调递增,由f(x)≥f(π )+ sin( 5π),得f(x)≥f(π )-3sin x+√3cos x,即f(x)+sin x≥f(π )
-x √3 x+ -x -x
3 6 3 2 2 3
+(√3 1 ),也即f(x)+sin x≥f(π )+sin(π ),故g(x)≥g(π ),则|x|≥|π |,解得
cosx- sinx -x -x -x -x
2 2 3 3 3 3
x≥π,所以不等式f(x)≥f(π )+ sin( 5π)的解集为[π ),故选A.
-x √3 x+ ,+∞
6 3 6 6
ex
4.(2022届合肥模拟,12)若∀x∈(0,+∞),ln(ax)≤ 恒成立,则a的最大值为( )
a
A.e-1 B.1
C.e D.e2
ex
答案 C 因为x>0,ax>0,所以a>0,则ln(ax)≤ ⇒aln(ax)≤ex⇒axln(ax)≤xex⇒axln(ax)≤exln ex.
a
ex
①若0<ax≤1,则ln(ax)≤0< ,此时满足ax≤1<ex;
a
②若ax>1,令f(x)=xln x(x>1),则f '(x)=ln x+1>0在(1,+∞)上恒成立,所以y=f(x)在(1,+∞)上单调递
增,axln(ax)≤exln ex⇒f(ax)≤f(ex)⇒ax≤ex.
综上可得,ax≤ex在(0,+∞)上恒成立,即a≤ex 在x∈(0,+∞)上恒成立,令g(x)=ex (x>0),则g'(x)=exx-ex
=
x x x2
ex(x-1),由g'(x)>0,得x>1,由g'(x)<0,得0<x<1,故y=g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以
x2
g(x)≥g(1)=e,所以a≤e.
故a的最大值为e.
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