北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题四 导数及其应用
4.1 导数和概念及运算
一、选择题
1.(2022届安徽八校联考,4)设函数f(x)的导函数为f '(x).若f(x)=exsin x,则f '(0)=( )
A.1 B.0 C.-1 D.2
答案 A f '(x)=exsin x+excos x,所以f '(0)=e0sin 0+e0cos 0=1,故选A.
2.(2022届山西忻州月考,8)已知函数f(x)=x3-f '(1)x2+2的导数为f '(x),则f '(1)等于( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 C 由已知得f '(x)=3x2-2f '(1)x,所以f '(1)=3-2f '(1),解得f '(1)=1.故选C.
3.(2022届山西朔州月考,5)已知函数f(x)=x(2 020+ln x),若f '(x)=2 021,则x 等于( )
0 0
A.ln 2 B.1 C.e D.e2
答案 B f '(x)=2 020+ln x+1=2 021+ln x,则f '(1)=2 021,∴x=1.故选B.
0
4.(2022届吉林辽源期中,6)已知函数f(x)=ax3+3x2+2,若f '(-1)=4,则a的值是( )
19 13 10 16
A. B. C. D.
3 3 3 3
10
答案 C f '(x)=3ax2+6x.由f '(-1)=3a-6=4,解得a= .故选C.
3
5.(2022届四川遂宁月考,6)曲线y=1x3-2x+3在点( 4)处的切线的倾斜角为( )
1,
3 3
π π 2 3
A. B. C. π D. π
4 3 3 4
答案 D 设曲线y=1x3-2x+3在点( 4)处切线的倾斜角为θ,由y=1x3-2x+3得y'=x2-2,
1,
3 3 3
则有y'| =1-2=-1,即切线的斜率k=-1,
x=1
3π
即tan θ=-1,故θ= .故选D.
4
6.(2022届河北衡水第一中学调研一,3)下列函数求导运算正确的个数为( )
①(3x)'=3xlog
3
e;②(log
2
x)'= 1 ;③(ex)'=ex;④( 1 )'=x;⑤(xex)'=ex+1.
xln2 lnx北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B ①(3x)'=3xln 3,故错误;②(log
2
x)'= 1 ,故正确;③(ex)'=ex,故正确;④( 1 )'=
x·ln2 lnx
1
[(ln x)-1] '=- ,故错误;⑤(xex)'=ex+xex,故错误.故选B.
x·(lnx)2
7.(2022届山西长治第二中学月考,8)已知函数f(x)=(x-a)·ex(a>0,a∈R)的图象在点(2, f(2))处的切线l
1
的斜率与
在点(-2, f(-2))处的切线l 的斜率之积为-3,则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为( )
2 1
2
A.4e2 B.2e2 C.e2 D.
e2
答案 B f '(x)=(x-a+1)·ex,根据题意得f '(2)·f '(-2)=(3-a)·e2·(-1-a)·e-2=-3,解得a=2或a=0(舍),所以
f(x)=(x-2)·ex, f '(x)=(x-1)·ex,所以f(2)=0, f '(2)=e2,故切线l 的方程为y=e2(x-2),易知切线l 过点(2,0)和(0,-
1 1
1
2e2),所以S= ×2×|-2e2|=2e2.故选B.
2
a
8.(2022届郑州外国语中学调研二,5)已知函数f(x)=x+ (a>0),则曲线y=f(x)过点P(2,0)的切线有( )
2x
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
a y
答案 C 设切点为A(x 0 ,y 0 )(x 0 ≠0),直线AP的斜率为k,则f '(x 0 )=k,由题意得f '(x 0 )=1- ,k= 0 =
2x2 x -2
0 0
a
x 0 + 2x = 2x2 0 +a ,∴1- a = 2x2 0 +a (x 0 ≠0),化简得2 x2 +ax 0 -a=0(*),Δ=a2+8a,∵a>0,∴方程(*)有两个
0 2x2-4x 2x2 2x2-4x 0
x -2 0 0 0 0 0
0
不同的解,∴曲线y=f(x)过点P(2,0)的切线有2条,故选C.
9.(2022届太原期中,8)曲线y=ln x+1在(1,1)处的切线也为曲线y=ex+a的切线,则a=( )
A.0 B.1 C.-1 D.2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1
答案 C 由y=ln x+1求导得y'= ,则曲线y=ln x+1在(1,1)处的切线斜率为1,所以切线方程为y=x,设直线
x
y=x与曲线y=ex+a相切的切点为(t,et+a),由y=ex+a求导得y'=ex,所以 { et=1, 解得{ t=0, 所以a=-1,
et+a=t, a=-1,
故选C.
10.(2022届赣州十七校期中联考,10)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线
x2
-ln x
1
-y
1
=0和x
2
-y
2
-2=0,则
1
√(x -x )2+(y - y )2的最小值为 ( )
1 2 1 2
A.1 B.2 C.√2 D.4
答案 C (x -x )2 + (y - y )2表示的是曲线 x2 -ln x 1 -y 1 =0,x 2 -y 2 -2=0上两点的距离的平方.由y=x2-ln
1 2 1 2 1
1 1
x求导得y'=2x- (x>0),令2x- =1,得x=1,此时y=1.∴曲线y=x2-ln x在(1,1)处的切线方程为y-1=x-1,即x-
x x
2
y=0.又直线x-y=0与直线x-y-2=0的距离为 =√2,∴√(x -x )2+(y - y )2 的最小值为√2.故选C.
√2 1 2 1 2
11.(2021湘豫名校联盟4月联考,9)设曲线y=ln x与y=(x+a)2有一条斜率为1的公切线,则a=( )
3 1 3
A.-1 B.- C. D.
4 4 4
1 1
答案 B 设公切线与曲线y=ln x的切点为(m,n),y=ln x的导函数为y'= ,由切线的斜率为1,可得 =1,即
x m
m=1,则切点为(1,0),切线方程为y=x-1,与y=(x+a)2联立,可得x2+(2a-1)x+a2+1=0,由Δ=(2a-1)2-4(a2+1)=0,解得
3
a=- ,故选B.
4
12.(2021陕西宝鸡三模,8)若函数f(x)=ex-ax+b在x=0处的切线方程为y=x,则满足0≤f(x)≤1的x的取值范围
为( )
A.[0,ln 2] B.[1 ]
,2
e
C.[1 ] D.[1,1+ln 2]
,e
e北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 A 因为f(x)=ex-ax+b,所以f '(x)=ex-a,
{ f (0)=1+b=0,
由题意可得 解得a=0,b=-1,所以f(x)=ex-1,由0≤f(x)≤1可得0≤ex-1≤1,即1≤ex≤2,解得
f '(0)=1-a=1,
0≤x≤ln 2.故选A.
1
13.(2020呼和浩特一模,10)已知定义在R上的偶函数f(x),当x>0时,其解析式为f(x)=xex+ x2,则曲线f(x)在
2
点(-1, f(-1))处的切线方程为( )
1 1
A.y=-(2e+1)x-e- B.y=(2e+1)x-e-
2 2
3 3
C.y=-(2e+1)x+3e+ D.y=(2e+1)x+3e+
2 2
1
答案 A 设x<0,则-x>0,由已知得f(x)=f(-x)=-xe-x+ x2,则f '(x)=-e-x+xe-x+x,则f '(-1)=-e-e-1=-2e-1.又
2
1 1 1
f(-1)=e+ ,∴曲线f(x)在点(-1, f(-1))处的切线方程为y-e- =-(2e+1)·(x+1),即y=-(2e+1)x-e- .故选A.
2 2 2
二、填空题
14.(2022届河南名校阶段测试,13)已知函数f(x)=x3-2x2+x,则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 .
答案 5x-y-8=0
解析 由f(x)=x3-2x2+x得f '(x)=3x2-4x+1,
∴f '(2)=3×22-4×2+1=5,又f(2)=23-2×22+2=2,
∴曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-2=5(x-2),即5x-y-8=0.
15.(2022届江西名校调研,16)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=
.
答案 8
1
解析 由y=x+ln x得y'=1+ ,得曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=y'| =2,所以切线方程为y-1=2(x-1),即
x=1
x
y=2x-1.
将y=2x-1代入y=ax2+(a+2)x+1,消去y,得ax2+ax+2=0,由题意得a≠0且Δ=a2-8a=0,解得a=8.
16.(2022届北京科大附中10月月考,12)曲线f(x)=ln x-2x在x=1处的切线方程为 .
答案 x+y+1=0
1
解析 求导得f '(x)= -2,所以f '(1)=-1,易知切点为(1,-2),所以所求切线方程为y+2=-1×(x-1),即x+y+1=0.
x北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
17.(2022届北京九中10月月考,14)若直线y=2x+b是曲线y=ex-2的切线,则实数b= .
答案 -2ln 2
解析 设切点为(x
0
,y
0
),由y=ex-2得y'=ex,由y=2x+b是曲线y=ex-2的切线得ex 0=2,解得x
0
=ln 2,代入曲线方程
得y=0,将切点坐标代入切线方程得b=-2ln 2.
0
18.(2022届北京市玉渊潭中学10月月考,12)曲线y=ex在点A(0,1)处的切线方程为 .
答案 x-y+1=0
解析 由题意得y'=ex,∴曲线y=ex在点A(0,1)处的切线的斜率k=e0=1,∴所求的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0.
三、解答题
2
19.(2022届北京十五中10月月考,19)已知函数f(x)= +aln x,a∈R.
x
(1)若曲线y=f(x)在点P(1, f(1))处的切线垂直于直线y=x+2,求a的值;
(2)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值.
解析 (1)∵曲线y=f(x)在点P(1, f(1))处的切线垂直于直线y=x+2,
∴曲线y=f(x)在点P(1, f(1))处的切线斜率为-1.
2 a
函数f(x)的导数为f '(x)=- + ,
x2 x
2 a
∴f '(1)=- + =-1,∴a=1.
12 1
2 a ax-2
(2)f '(x)=- + = ,x∈(0,e],
x2 x x2
-2 2
①当a=0时,f '(x)= <0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,则函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)= .
x2 e
2
②当a<0时,f '(x)<0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,则函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(e)= +a.
e
③当0<2<e,即a>2时,在区间( 2)上f '(x)<0,在区间(2 ]上f '(x)>0,所以函数f(x)在区间( 2)
0, ,e 0,
a e a a a
上单调递减,在区间(2 ]上单调递增,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为f(2)=a+aln2.
,e
a a a北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
2 2
④当 ≥e,即0<a≤ 时,在区间(0,e]上f '(x)≤0,此时函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,函数f(x)在区间(0,e]上的
a e
2
最小值为f(e)=a+ .
e
2 2 2
综上所述,当a≤ 时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为a+ ,当a> 时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为
e e e
2
a+aln .
a
20.(2022届北京顺义一中期中,20)已知函数f(x)=2x3+3ax2+1(a∈R).
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)求f(x)在区间[0,2]上的最小值.
解析 (1)当a=0时, f(x)=2x3+1(x∈R), f '(x)=6x2,所以f '(1)=6, f(1)=3,
所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是y-3=6(x-1),即6x-y-3=0.
(2)f '(x)=6x2+6ax=6x(x+a),
①当a=0时, f '(x)=6x2≥0,则f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
②当a>0时,由f '(x)=6x(x+a)>0得x<-a或x>0,
所以f(x)的单调增区间是(-∞,-a)和(0,+∞);
由f '(x)=6x(x+a)<0得-a<x<0,
所以f(x)的单调减区间是(-a,0).
③当a<0时,由f '(x)=6x(x+a)>0得x>-a或x<0,
所以f(x)的单调增区间是(-∞,0)和(-a,+∞);
由f '(x)=6x(x+a)<0,得0<x<-a,
所以f(x)的单调减区间是(0,-a).
综上所述,当a=0时, f(x)的单调增区间是(-∞,+∞);当a>0时, f(x)的单调增区间是(-∞,-a)和(0,+∞),单调减区间
是(-a,0);当a<0时, f(x)的单调增区间是(-∞,0)和(-a,+∞), 单调减区间是(0,-a).
(3)由(2)可知,当a≥0时, f(x)在[0,2]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(0)=1;
当0<-a<2,即-2<a<0时, f(x)在[0,-a)上单调递减,在(-a,2]上单调递增,所以f(x)的最小值为f(-a)=a3+1;
当-a≥2,即a≤-2时, f(x)在[0,2]上单调递减,所以f(x)的最小值为f(2)=17+12a.
综上所述,当a≥0时, f(x)的最小值为1;当-2<a<0时, f(x)的最小值为a3+1;当a≤-2时, f(x)的最小值为17+12a.
