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培优点10 极点、极线
重点解读 “极点、极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点、极线是圆锥曲线的一种基
本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的是以“极点、
极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向.
题型一 极点与极线
1.极点与极线的定义
过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B 两点，过A，B 的切线交点的轨迹叫做点P 关于圆锥曲线的极线，
点P 叫做相应于此极线的极点，简称极.
一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.
2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系
如图(1)，若极点P 在圆锥曲线外，则相应的极线l 与点P 的切点弦重合，即相应的极线l 是由点P 向圆锥
曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l 与圆锥曲线有两个交点；
如图(2)，若极点P 在圆锥曲线内，则极线l 是圆锥曲线经过点P 的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，
此时，极线l 与圆锥曲线相离，它们无交点；
如图(3)，若极点P 在圆锥曲线上，则相应的极线l 与在点P 处的切线重合，即相应的极线l 就是圆锥曲线
在点P 处的切线，极线l 与圆锥曲线有唯一交点.
例1 (多选)已知点P 是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是( )
A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2＋y2＝r2，则关于点P 的极线方程为x0x＋y0y＝r2
B.已知点P(x0，y0)在椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)外，则关于点P 的极线方程为
x0 x
a
2 ＋y0 y
b
2 ＝1
C.对于双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为
x0 x
a
2 ＋y0 y
b
2 ＝1
D.对于抛物线y2＝2px，若点P(
p
2 ，0)，则对应的极线为抛物线的准线
答案 ABD
解析 对于A，点P 与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x0，y0)在圆C 的外部，
两切点分别为T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，
两条切线的方程分别为xix＋yiy＝r2(i＝1，2)，
∵P(x0，y0)在切线上，∴x0x1＋y0y1＝r2，
x0x2＋y0y2＝r2，
∴T1(x1，y1)，T2(x2，y2)在直线x0x＋y0y＝r2上，由两点确定一条直线知直线T1T2的方程为x0x＋y0y＝r2，A 正
确；
对于B，极线l 与椭圆相交，且为由点P 向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为
A(x3，y3)，B(x4，y4)，两条切线的方程分别为
lPA：x3 x
a
2 ＋y3 y
b
2 ＝1，lPB：x4 x
a
2 ＋y4 y
b
2 ＝1，
∵P(x0，y0)在切线上，∴{
x3 x0
a
2 ＋y3 y0
b
2 ＝1,
x4 x0
a
2 ＋y4 y0
b
2 ＝1,
即点A(x3，y3)，B(x4，y4)均满足x0 x
a
2 ＋y0 y
b
2 ＝1，
故切点弦AB 所在直线方程，即为点P 相应的极线方程，为x0 x
a
2 ＋y0 y
b
2 ＝1，B 正确；
对于C，证明方法同椭圆，
可得极线方程为x0 x
a
2 －y0 y
b
2 ＝1，C 错误；
对于D，由阿基米德三角形的性质可知D 正确.
思维升华 (1)一般地，若圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，P(x0，y0)是圆外一点(极点)，则过点P(x0，y0)的圆M
的切点弦(极线)的方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)从代数角度看，在圆锥曲线方程中，以x0x 替换x2，以x0 y ＋y0 x
2
替换xy，以y0y 替换y2，以x0＋x
2
替换
x，以y0＋y
2
替换y 即可得到点P(x0，y0)的极线方程.
(3)从几何角度看，如图，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，
F，G，H，连接EH，FG 交于N，连接EG，FH 并延长，延长线交于M，则直线MN 为点P 对应的极线.
若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.
由图同理可知，PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 对应的极线.因而将△MNP 称为自极三角形.
跟踪训练1 过椭圆C：x
2
25 ＋y
2
9 ＝1 内一点M(3，2)，作直线AB 与椭圆交于点A，B，作直线CD
与椭圆交于点C，D，过A，B 分别作椭圆的切线交于点P，过C，D 分别作椭圆的切线交于点Q，
则PQ 所在的直线方程为 .
答案 3 x
25 ＋2 y
9 ＝1
解析 方法一 由题意知直线PQ 为点M 关于椭圆C 的极线，所以直线PQ 的方程为3 x
25 ＋2 y
9 ＝1.
方法二 由题意设P(x1，y1)，Q(x2，y2).
则直线AB 为点P 关于椭圆C 的极线，
其方程为x1 x
25 ＋y1 y
9 ＝1.
又M(3，2)在直线AB 上，
所以3 x1
25 ＋2 y1
9 ＝1，①
同理3 x2
25 ＋2 y2
9 ＝1，②
由①②可得直线PQ 的方程是3 x
25 ＋2 y
9 ＝1.
题型二 极点与极线的性质及应用
例2 在平面直角坐标系Oxy 中，如图所示，已知椭圆x
2
9 ＋y
2
5 ＝1 的左、右顶点分别为A，B，右
焦点为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB 与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，
y1>0，y2<0.
(1)设动点P 满足|PF|2－|PB|2＝4，求点P 的轨迹；
(2)设t＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)，并求出该定点的坐标.
解 (1)由题设得，A(－3，0)，B(3，0)，F(2，0)，
设动点P(x，y)，
由|PF|2＝(x－2)2＋y2，
|PB|2＝(x－3)2＋y2，|PF|2－|PB|2＝4，
代入化简得x＝9
2.故点P 的轨迹为直线x＝9
2.
(2)方法一 由题设知，直线TA 的方程为
y＝m
12(x＋3)，
直线TB 的方程为y＝m
6 (x－3)，
点M(x1，y1)满足{
y1＝m
12 ( x1＋3),
x1
2
9 ＋y1
2
5 ＝1,
则x1≠－3，x1＝240-3m
2
80＋m
2 ，y1＝
40m
80＋m
2；
点N(x2，y2)满足{
y2＝m
6 ( x2-3),
x2
2
9 ＋y2
2
5 ＝1,
则x2≠3，x2＝3m
2-60
20＋m
2 ，y2＝-20m
20＋m
2.
若x1＝x2，则240-3m
2
80＋m
2 ＝3m
2-60
20＋m
2 且m>0，
得m＝2√10，
此时直线MN 的方程为x＝1，过点D(1，0)；
若x1≠x2，则m≠2√10，直线MD 的斜率
kMD＝
40m
80＋m
2÷(
240-3m
2
80＋m
2 -1)＝10m
40-m
2，
直线ND 的斜率kND＝-20m
20＋m
2÷(
3m
2-60
20＋m
2 -1)
＝10m
40-m
2，
所以kMD＝kND，所以直线MN 过点D(1，0).
因此直线MN 必过x 轴上一定点D(1，0).
方法二 当t＝9 时，T 点坐标为(9，m)，连接MN，
设直线AB 与MN 的交点为K，根据极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过点K，
又点T 对应的极线方程为9 x
9 ＋my
5 ＝1，
此直线恒过x 轴上一定点K(1，0)，
从而直线MN 也恒过x 轴上的一定点K(1，0).
思维升华 极点、极线的性质：
(1)如图1，设点P 关于圆锥曲线Γ 的极线为l，过点P 任作一割线交Γ 于点A，B，交l 于点Q，则
PA
PB ＝AQ
BQ ；反之，若PA
PB ＝AQ
BQ 成立，则点P，Q 调和分割线段AB，并且2
PQ ＝1
PA ＋1
PB ，
2
PQ ＝1
QA －1
QB .
(2)如图2，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，
则有OR2＝OP·OQ，反之若有此式成立，则点Q 为点P 关于此圆锥曲线的调和共轭点.
(3)如图3，A，B 为圆锥曲线Γ 的一条对称轴l 上的两点(不在Γ 上)，若A，B 关于Γ 调和共轭，过点B 任作
Γ 的一条割线，交Γ 于P，Q 两点，则∠PAB＝∠QAB.
(4)如图4，已知点Q 在圆锥曲线Γ 的对称轴上，直线l 垂直于该对称轴，过点Q 作直线交Γ 于点M，N，P
为l 上任意一点.若点Q 与直线l 是Γ 的一对极点与极线，当对称轴是x 轴时，kPM＋kPN＝2kPQ.
(5)如图5，已知点A 是椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)上任一点，极点P(t，0)(|t|<a，|t|≠c，t≠0)，相应的极线x
＝a
2
t ，椭圆在点A 处的切线与极线x＝a
2
t 交于点N，过点N 作MN⊥AP 于点M，则直线MN 恒过x 轴上的
一个定点Q，且点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆(点Q 除外).
(6)如图6，设圆锥曲线Γ 的一个焦点为F，与F 相应的准线为l.若过点F 的直线与圆锥曲线Γ 相交于M，N
两点，则Γ 在M，N 两点处的切线的交点Q 在准线l 上，且FQ⊥MN；反之，若过准线l 上一点Q 作圆锥
曲线Γ 的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN 过焦点F，且FQ⊥MN.
跟踪训练2 (2024·苏州模拟)已知椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的短轴长为2√2，离心率为√2
2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点P(4，1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A，B，在线段AB 上取点Q，满足|AP||QB|＝|
AQ||PB|，证明：点Q 总在某定直线上.
(1)解 由题意可知{
2b＝2√2,
c
a ＝√2
2 ,
因为a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝√2.
所以所求椭圆C 的方程为x
2
4 ＋y
2
2 ＝1.
(2)证明 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
Q(x，y)，P(4，1)，
直线AB 的斜率显然存在，设为k，则AB 的方程为
y＝k(x－4)＋1.
因为A，P，B，Q 四点共线，不妨设x2<x<x1<4，
则|AP|＝√1＋k
2(4－x1)，
|AQ|＝√1＋k
2(x1－x)，
|QB|＝√1＋k
2(x－x2)，
|PB|＝√1＋k
2(4－x2)，
由|AP||QB|＝|AQ||PB|，
可得(4－x1)(x－x2)＝(x1－x)(4－x2)，
化简得2x1x2－(x1＋x2)(4＋x)＋8x＝0.
(*)
联立直线y＝k(x－4)＋1 和椭圆C 的方程，
得{
x
2
4 ＋y
2
2 ＝1,
y ＝k( x - 4)＋1,
消去y，得(2k2＋1)x2＋4k(1－4k)x＋2(1－4k)2－4＝0，
Δ＝16k2(1－4k)2－4(2k2＋1)(32k2－16k－2)>0，得12k2－8k－1<0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝－4 k(1- 4 k )
2k
2＋1
，
x1x2＝2(1- 4 k )
2- 4
2k
2＋1
.
代入(*)式，
化简得x＝4 k ＋1
k ＋2 ＝4－
7
k ＋2，即
7
k ＋2＝4－x.
又k＝y -1
x - 4 ，
代入上式得
7
y -1
x - 4 ＋2＝4－x，
化简得2x＋y－2＝0.
所以点Q 总在一条定直线2x＋y－2＝0 上.
方法二 由条件可得| AP|
| PB| ＝| AQ|
|BQ| ，
所以点P，Q 关于椭圆C 调和共轭，
根据性质，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，
即4 x
4 ＋y
2 ＝1，化简得2x＋y－2＝0，
所以点Q 总在一条定直线2x＋y－2＝0 上.
课时精练
[分值：70 分]
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.已知椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)，点P(x0，y0)，x0＝acos α，y0＝bsin α，则直线l：x0 x
a
2 ＋y0 y
b
2 ＝1 与椭圆的
位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上皆有可能
答案 B
解析 由a
2co s
2α
a
2
＋b
2sin
2α
b
2
＝cos2α＋sin2α＝1，
知点P 在椭圆上，所以点P 与直线l 是关于椭圆的一对极点、极线，所以直线l 与椭圆相切.
2.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px 的准线上，过点A 的直线与抛物线C 在第一象限相切于点B，记抛
物线C 的焦点为F，则直线BF 的斜率为( )
A.1
2
B.2
3
C.3
4
D.4
3
答案 D
解析 因为点A(－2，3)在准线上，
所以p＝4，F(2，0)，则抛物线方程是y2＝8x，
过点A 作直线与抛物线C 在第四象限相切于另一点D，故直线BD 即为点A 关于C 的极线，
其方程为3y＝4(x－2)，
因为点A 在抛物线的准线上，则焦点F 在点A 关于C 的极线上，因此kBF＝4
3 .
3.已知椭圆C 的方程为x
2
4 ＋y
2
3 ＝1，过直线l：x＝4 上任意一点Q，作椭圆C 的两条切线，切点分别为
A，B，则原点到直线AB 距离的最大值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A
解析 由题设，切点弦AB 是点Q 关于C 的极线，设点Q 的坐标为(4，y0)，
则可知直线AB 的方程为4 x
4 ＋y0 y
3 ＝1，
即x＋y0 y
3 ＝1，显然直线AB 过焦点(1，0)，
所以原点到直线AB 距离的最大值为1.
4.已知圆M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，且直线l：2x＋y＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA，
PB，切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB 的方程为( )
A.2x－y－1＝0
B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0
D.2x＋y＋1＝0
答案 D
解析 如图，☉M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，点P 是极点，直线AB 是极点P 关于☉M 的极线.
设P(m，n)，
则极线AB：(m－1)(x－1)＋(n－1)(y－1)－4＝0，
由圆的对称性可知PM⊥AB，
所以S 四边形PAMB＝1
2|PM||AB|＝2S△PAM
＝|PA||AM|＝2|PA|＝2√| PM |
2- 4.
要使|PM||AB|最小，
只需|PM|最小，此时PM⊥l，
因为kl＝－2，所以kPM＝1
2，又M(1，1)，
所以直线PM：y＝1
2(x－1)＋1＝1
2x＋1
2.
与l：2x＋y＋2＝0 联立，代入P(m，n)，
解得m＝－1，n＝0，
于是直线PM 与l 的交点为P(－1，0)，
故直线AB 的方程为(－1－1)(x－1)＋(0－1)(y－1)－4＝0，即2x＋y＋1＝0.
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.已知直线l：ax＋by－r2＝0 与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离
C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离
D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切
答案 ABD
解析 显然对于圆C，以A(a，b)作为极点，那么极线就是l：ax＋by－r2＝0，
若极点A 在圆C 上，则极线l 为圆C 的切线，故A 正确；
若极点A 在圆C 内，则极线l 与圆C 相离，故B 正确；
若极点A 在圆C 外，则极线l 是圆C 的切点弦，与圆C 相交，故C 错误；
若极点A 在直线l 上，这时极线恰好为切线，极点为切点，故D 正确.
6.在平面直角坐标系Oxy 中，由直线x＝－4 上任一点P 向椭圆x
2
4 ＋y
2
3 ＝1 作切线，切点分别为A，B，点
A 在x 轴的上方，则( )
A.∠APB 恒为锐角
B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为1
2
C.|AP|的最小值为4
D.存在点P，使得(⃗PA ＋⃗PO)·⃗OA＝0
答案 ABD
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(－4，m).
方法一 易知椭圆在A 处的切线方程为x1 x
4 ＋y1 y
3 ＝1，在B 处的切线方程为x2 x
4 ＋y2 y
3 ＝1，
∵点P 在两条切线上，将P(－4，m)代入两切线方程，得－x1＋m y1
3
＝1，－x2＋m y2
3
＝1，
∴直线AB 的方程为－x＋my
3 ＝1，
即3x－my＋3＝0.
方法二 由题设，切点弦AB 所在直线是点P 关于椭圆的极线，则可知直线AB 的方程为- 4 x
4
＋my
3 ＝1，
即3x－my＋3＝0.
∴直线AB 恒过定点(－1，0)，
∵|AB|<4，且以椭圆的长轴为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，
该圆与直线x＝－4 相离，
∴∠APB 恒为锐角，故A 正确；
对于B，当AB 垂直于x 轴时，
由对称性可知P(－4，0)，
将P(－4，0)代入x1 x
4 ＋y1 y
3 ＝1，
可得x1·(- 4)
4
＝1，
可得x1＝－1，代入椭圆方程可得y1＝3
2，
∴A(-1，3
2)，
∴kAP＝
3
2 -0
-1-(- 4) ＝1
2
，故B 正确；
对于C，由B 可得当AB 垂直于x 轴时，
|AP|＝√(-1＋4)
2＋(
3
2 -0)
2
＝3√5
2
<4，
故C 错误；
对于D，(⃗PA ＋⃗PO)·⃗OA
＝(⃗PA ＋⃗PO)·(⃗PA －⃗PO)＝⃗PA
2－⃗PO
2.
∵椭圆在A(x1，y1)处的切线方程为x1 x
4 ＋y1 y
3 ＝1，与直线x＝－4 联立方程可得P(- 4，3＋3 x1
y1 )，
∴|PA|＝√
( x1＋4)
2＋( y1- 3＋3 x1
y1 )
2
，
|PO|＝√
16＋(
3＋3 x1
y1 )
2
，
若|PA|＝|PO|，
则√
( x1＋4)
2＋( y1- 3＋3 x1
y1 )
2
＝√
16＋(
3＋3 x1
y1 )
2
，
化简整理得x1
2＋2x1＋y1
2－6＝0，
又点A 在椭圆上，
∴x1
2＋2x1＋3(1- 1
4 x1
2)－6＝0，
∴x1
2＋8x1－12＝0，
解得x1＝-8＋√64＋4×12
2
＝-8＋4√7
2
＝－4＋2√7∈(0，2)，
故存在点P，使得(⃗PA ＋⃗PO)·⃗OA＝0，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.过点P(－2，3)作圆C：x2＋(y－2)2＝4 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为
.
答案 2x－y＋6＝0
解析 切点弦AB 所在的直线就是点(－2，3)关于圆C 的极线，其方程为－2x＋(3－2)(y－2)＝4，即2x－y
＋6＝0.
8.已知直线l：y＝kx＋2 与圆C：(x－1)2＋y2＝9 交于A，B 两点，过A，B 分别作圆C 的两条切线l1和l2，直
线l1和l2交于点P，则线段PC 长度的最小值是 ，线段PC 最短时，四边形PACB 的面积是
.
答案 9√5
5
18√5
5
解析 如图，设P(m，n)，则切点弦AB 所在直线的方程即点P 关于圆C 的极线方程，
为(m－1)(x－1)＋ny＝9，
这与直线l：y＝kx＋2 是同一条直线，由于l：y＝kx＋2 过点(0，2)，
故点(0，2)在切点弦AB 上，
因此(m－1)(0－1)＋2n＝9，
即m－2n＋8＝0.
由此知，点P 的轨迹方程是x－2y＋8＝0，记为l3.
于是|PC|的最小值就是点C(1，0)到直线l3：x－2y＋8＝0 的距离，
因此|PC|min＝|1＋8|
√1＋4 ＝9√5
5
.
线段PC 最短时，PC⊥l3，故必有l∥l3，kl＝1
2，
所以l：y＝1
2x＋2，即x－2y＋4＝0，
于是弦心距d＝|1＋4|
√5
＝√5，
由勾股定理，得|AB|＝2√9-5＝4.
由圆的对称性可知AB⊥PC，
所以S 四边形PACB＝1
2|PC|×|AB|＝1
2×9√5
5
×4
＝18√5
5
.
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)过抛物线x2＝4y 焦点F 的直线交抛物线于A，B 两点，过A，B 两点分别作抛物线的切线，设其交
点为M.
(1)证明：⃗FM·⃗AB为定值；(6 分)
(2)设△MAB 的面积为S，试求S 的最小值.(7 分)
方法一 (1)证明 抛物线x2＝4y 的焦点F 的坐标为(0，1).
设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2).
联立{
y ＝kx ＋1,
x
2＝4 y ,
消去y 可得x2－4kx－4＝0，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
对抛物线方程y＝1
4 x2，求导得y'＝1
2x，则过抛物线上A，B 两点的切线方程分别是
y＝1
2x1(x－x1)＋y1，y＝1
2x2(x－x2)＋y2.
即y＝1
2x1x－1
4 x1
2，y＝1
2x2x－1
4 x2
2.
联立，解出两条切线的交点M 的坐标为
(
x1＋x2
2
，x1 x2
4 )＝(2k，－1).
所以⃗FM＝(2k，－2)，
因为直线AB 的一个方向向量a＝(1，k)，⃗
FM·a＝2k－2k＝0，所以⃗FM·⃗AB＝0.
(2)解 弦长|AB|＝√1＋k
2|x1－x2|
＝√1＋k
2√( x1＋x2)
2- 4 x1 x2＝4(1＋k2).
由(1)知FM⊥AB，点M 到直线AB 的距离为
|FM|＝2√1＋k
2，
所以S＝1
2|AB||FM|＝4(1＋k2)√1＋k
2.
令t＝√1＋k
2(t≥1)，则S＝4t3(t≥1)，
因为S＝4t3在[1，＋∞)上单调递增，所以当t＝1，即k＝0 时，S 的最小值为4.
方法二 (1)证明 显然，点M 的极线为AB，故可设点M(x0，－1)，再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F，A，B
三点对应的极线方程分别为y＝－1，x1x＝2(y1＋y)，x2x＝2(y2＋y)，
由于A，B，F 三点共线，故相应的三条极线共点于M(x0，－1)，将y＝－1 代入后面两个极线方程得
{
x1 x0＝2( y1-1),
x2 x0＝2( y2-1),
两式相减得(x1－x2)x0＝2(y1－y2).
又⃗FM＝(x0，－2)，⃗AB＝(x2－x1，y2－y1)，
故⃗FM·⃗AB＝x0(x2－x1)－2(y2－y1)＝0.
(2)解 设AB 的方程为y＝kx＋1，与点M 关于抛物线的极线方程x0x＝2(y－1)对比可知点M(2k，－1)，|
FM|＝2√1＋k
2，
把y＝kx＋1 代入x2＝4y 并由弦长公式得
|AB|＝4(1＋k2)，
由(1)知FM⊥AB，
所以S＝1
2|AB||FM|＝4(1＋k2)√1＋k
2，
显然，当k＝0 时，S 取最小值为4.
10.(15 分)设抛物线C：y＝x2的焦点为F，动点P 在直线l：x－y－2＝0 上运动，过P 作抛物线C 的两条切
线PA，PB，且与抛物线C 分别相切于A，B 两点.
(1)求△APB 的重心G 的轨迹方程；(6 分)
(2)证明：∠PFA＝∠PFB.(9 分)
(1)解 设切点A，B 的坐标分别为(x0，x0
2)和(x1，x1
2)(x1≠x0)，
所以切线AP 的方程为2x0x－y－x0
2＝0，切线BP 的方程为2x1x－y－x1
2＝0，
由于P 既在AP 上，又在BP 上，
所以{
2 x0 xP- yP- x0
2＝0,
2 x1 xP- yP- x1
2＝0,
解得{
xP＝x0＋x1
2
,
y P＝x0 x1,
即P(
x0＋x1
2
，x0 x1)，
所以△APB 的重心G 的横坐标
xG＝x0＋x1＋xP
3
＝xP，
yG＝x0
2＋x1
2＋yP
3
＝x0
2＋x1
2＋x0 x1
3
＝( x0＋x1)
2- x0 x1
3
＝4 xP
2 - y P
3
，
所以yP＝－3yG＋4xG
2 ，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为
x－(－3y＋4x2)－2＝0，即y＝1
3(4x2－x＋2).
(2)证明 方法一 因为F(0，1
4)，⃗
FA ＝(x0，x0
2- 1
4)，⃗
FP＝(
x0＋x1
2
，x0 x1- 1
4)，⃗
FB＝(x1，x1
2- 1
4).
由于P 点在抛物线外，则|⃗FP|≠0.
所以cos∠PFA＝⃗
FP·⃗FA
|⃗FP||⃗FA |
＝
x0＋x1
2
· x0＋(x0 x1- 1
4)(x0
2- 1
4)
|⃗FP|√x0
2＋(x0
2- 1
4)
2
＝x0 x1＋1
4
|⃗FP|
，
同理有cos∠PFB＝⃗
FP·⃗FB
|⃗FP||⃗FB|
＝
x0＋x1
2
· x1＋(x0 x1- 1
4)(x1
2- 1
4)
|⃗FP|√x1
2＋(x1
2- 1
4)
2
＝
x0 x1＋1
4
|⃗FP|
，故∠PFA＝∠PFB.
方法二 ①当x1x0＝0 时，由于x1≠x0，
不妨设x0＝0，则A(0，0)，
所以P 点坐标为(
x1
2 ，0)，
则P 点到直线AF 的距离为d1＝| x1|
2
，
而直线BF 的方程为y－1
4 ＝
x1
2- 1
4
x1
x，
即(x1
2- 1
4)x－x1y＋1
4 x1＝0.
所以P 点到直线BF 的距离为
d2＝|(x1
2- 1
4)
x1
2 ＋x1
4|
√(x1
2- 1
4)
2
＋x1
2
＝(x1
2＋1
4)
| x1|
2
x1
2＋1
4
＝| x1|
2
，
所以d1＝d2，即得∠PFA＝∠PFB.
②当x1x0≠0 时，直线AF 的方程为
y－1
4 ＝
x0
2- 1
4
x0
x，
即(x0
2- 1
4)x－x0y＋1
4 x0＝0，
直线BF 的方程为y－1
4 ＝
x1
2- 1
4
x1
x，
即(x1
2- 1
4)x－x1y＋1
4 x1＝0，
所以P 点到直线AF 的距离为
d3＝|(x0
2- 1
4)
x0＋x1
2
- x0
2 x1＋1
4 x0|
√(x0
2- 1
4)
2
＋x0
2
＝|
x0- x1
2 |(x0
2＋1
4)
x0
2＋1
4
＝| x0- x1|
2
，
同理可得P 点到直线BF 的距离d4＝| x1- x0|
2
，
因此由d3＝d4，可得到∠PFA＝∠PFB.
综上，∠PFA＝∠PFB.
