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第八章 向量的数量积与三角恒等变换
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）下列等式恒成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直接由和差角公式展开即可验证ABD；对于C，令
代入左边，
根据公式展开即可验证.
【详解】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于 C，因为
，故C 正确；
对于D，因为
，故D 错误.
故选：C
2．（24-25 高一上·安徽合肥·期末）已知角
的终边经过点
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知，利用同角间的关系和正切的二倍角公式即可求解.
【详解】因为
且角
的终边经过点
，
故角
为第二象限角，
所以
，
，
所以
.
故选：C.
3．（24-25 高一下·天津静海·阶段练习）已知
，
均为单位向量，
，则
与
的
夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量的数量积公式求出向量夹角.
【详解】因为
，
均为单位向量，所以
，
所以
，
即
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
，
故选：A.
4．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）化简
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】利用差角公式与诱导公式即可求得结果.
【详解】由正弦的两角和公式得：
，
且由诱导公式得：
，
故
故选：A
5．（2025·广东湛江·一模）已知向量
，
，若
，则
（ ）．
A．
B．2
C．
D．5
【答案】C
【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案.
【详解】因为
，所以
，所以
，所以
．
故选：C．
6．（24-25 高一下·上海徐汇·开学考试）在
中，若
，则
一定是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换，判断三角形的形状.
【详解】由
,
所以：
.
因为
为三角形内角，所以
.
所以
为等腰三角形.
故选：A
7．（24-25 高一上·河南开封·期末）已知函数
，
，则下列结论正确
的是（ ）
A．函数
的最大值为2
B．函数
的单调递增区间是
C．函数
的图象关于点
中心对称
D．直线
与函数
的图象所有公共点的横坐标之和为
【答案】D
【分析】应用三角恒等变换化简
，结合正弦型三角函数的性质依次判断各项的正误.
【详解】
，
由
，则
，
当
，即
时，
取最大值为3，A 错；
由正弦函数的单调性，知
和
，
即
和
时，
单调递增，B 错；
，但
不关于
对称，C 错；
令
，则
，又
，
所以
或
或
，即
或
或
，
故所有公共点的横坐标之和为
，D 对.
故选：D
8．（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）如图所示，
是直角三角形，
，
，点D 是斜边
的中点，点E 是线段
靠近点A 的三等分点，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】A
【分析】用
、
作为一组基底表示
、
，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】依题意
，
，
，
所以
，
所以
.
故选：A．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．（24-25 高二上·云南·阶段练习）已知向量
满足
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．若
，则
C．
在
方向上的投影向量为
D．若
，则
与
的夹角为
【答案】ABD
【分析】利用向量的数量积定义式和数量积运算律计算可依次判断A,B,D,利用投影向量概念和公式可判断
C.
【详解】对于A：因为
，所以
，故A 正确；
对于B：因为
，所以
，因为
，
故B 正确；
对于C：
在
方向上的投影向量为
，故C 错误；
对于D：因为
，所以
，
因为
，所以
与
的夹角为
，故D 正确.
故选：ABD.
10．（2025·黑龙江·二模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由三角恒等变换结合同角的三角函数和二倍角公式逐项判断即可.
【详解】对于A，
，
所以
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 错
误；
故选：AC.
11．（24-25 高一下·湖南娄底·阶段练习）抖音上面的一位名为“汤匙不是钥匙”的博主曾经讲过一个已知
三角形三点求三角形面积的公式，即若
，则
，这个公式的本
质是与向量的叉乘运算有关，前面我们学过向量的点乘也就是向量的数量积
，现在我
们来定义向量的叉乘运算，设
是平面内的两个不共线的向量，则它们的向量积是一个新的向量
，规定这个新向量的方向与
的方向都垂直，新向量的大小满足
，现
在设
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则存在实数
使得
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】运用向量相关的一些性质和运算，包括向量共面的判断、向量点积的计算、向量叉积模长的计算
等.对各个选项逐个计算验证即可.
【详解】对于A，因为
不共面，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．（24-25 高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）
的值为 ．
【答案】
/
【分析】先运用诱导公式化简，再应用两角差余弦公式计算即可.
【详解】
．
故答案为：
．
13．（24-25 高一上·新疆吐鲁番·期末）若
，
，则
的值为
，
的值为 .
【答案】 7
/
【分析】利用两角和的正切公式求解
；利用两角和与差的正弦和余弦公式和商数齐次式求解
.
【详解】因为
，
，
所以
；
，
，
故答案为：7，
14．（24-25 高一下·江苏宿迁·阶段练习）已知
是面积为
的等边三角形，且
其中实数
满足
，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】延长
至
，使得
，化简所给条件可知
三点共线，取线段
的中点
，连
接
，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求
的最小值.
【详解】依题意
，解得
，延长
至
，使得
，如图，
因为
，
所以点
在直线
上，取线段
的中点
，连接
，
则
，
显然当
时，
有最小值，
又易知
，
，所以
的最小值为
，所以
，
故
的最小值为，
故答案为：．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25 高一上·江苏无锡·期末）已知
.
(1)化简函数
；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，
且
，
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数关系化简即可；
（2）利用平方关系和商数关系可得
，结合（1）中结论求解即可；
（3）利用
和正切的两角和公式求解即可.
【详解】（1）由题意
.
（2）由（1）得若
，则
，
所以
.
（3）由（1）得若
，
，
则
，
，所以
，
，
所以
，
又因为
，所以
，
，
所以
.
16．（24-25 高一下·上海杨浦·开学考试）如图，点
、
分别是角
、
的终边与单位圆的交点，
.
(1)若
，
，求
的值；
(2)证明角
、
在上述范围下的两角差的余弦公式，即
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到
，再通过构角
，利用正弦的差
角公式，即可求解；
（2）根据条件得
，再利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）因为
，则
，
又
，则
，又
，
所以
.
（2）因为
，
、
在单位圆上，
则
，
，
，所以
，
，
则
，
即
.
17．（24-25 高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期
(2)若
，求函数
的值域；
(3)若
且
，求
的值．
【答案】(1)最小正周期为
(2)
(3)
【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期；
(2)根据题中所给
，求得
的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域；
(3)根据题中所给
范围，求得
的取值范围，转化为解方程
，结合
，
代入求解.
【详解】（1）由题意可得：
，
所以函数
的最小正周期为
.
（2）因为
，则
，
可得
，即
，
所以函数
的值域为
.
（3）因为
，则
，
且
，即
，
可得
，
所以
，
所以
.
18．（24-25 高一下·福建宁德·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)若
，求函数
的值域；
(3)若方程
在
上有两个不相等的实数根
，
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
.
【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用
正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间；
（2）根据题中所给
，求得
的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域；
（3）根据题中所给
范围，求得
的取值范围，转化为解方程
，借助正弦函数的对称
性，求得
，
的关系，代入求解.
【详解】（1）
，
令
，
，解得
，
，
故函数
的单调递增区间为
.
（2）由
，得
，则
，
所以
在区间
上的值域为
.
（3）由
，得
，
又
，
即
的两个解为
，且
，
则
，即
，即
，
则
，
所以
.
19．（24-25 高一下·江苏南通·阶段练习）对于函数
，称向量
为函数
的
相伴特征向量，同时称函数
为向量
的相伴函数.
(1)设函数
，试求函数
的相伴特征向量的坐标；
(2)记向量
的相伴函数为
.
（I）当
且
时，求
的值；
（II）当
时，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)（I）
（II）
【分析】（1）利用两角差的正弦公式及两角和的余弦公式化简函数解析式，再结合函数
的相伴特征
向量的定义即可求解；
（2）（I）根据题意先求得函数
的解析式，结合已知条件求得
的值，进而求得
的
值，通过配角的方法并结合两角差的正弦公式即可求解；
（II）通过诱导公式化简原式，通过分类讨论
的正负，通过参变分离法转化为最值问题即可求解.
【详解】（1）
，
∴由题可知：函数
的相伴特征向量的坐标
.
（2）由题可知：向量
的相伴函数
.
（I）
，
，即
.
，
，
.
；
（II）当
时，不等式
可化为
，即
恒成立.
，
.
当
，即
时，
，
恒成立，
.
，
，
；
当
，即
时，
，
，不等式
恒成立；
当
，即
时，
，
恒成立，
.
，
，
.
综上，实数
的取值范围为
..
【点睛】恒成立问题多参变分离后转化为最值问题，通过分类讨论等方法快速求出参数范围.
