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培优点10 极点、极线
分值：70 分
一、单项选择题(每小题5 分，共20 分)
1.已知椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)，点P(x0，y0)，x0＝acos α，y0＝bsin α，则直线l：x0 x
a
2 ＋y0 y
b
2 ＝1 与椭圆的
位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.以上皆有可能
2.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px 的准线上，过点A 的直线与抛物线C 在第一象限相切于点B，记抛
物线C 的焦点为F，则直线BF 的斜率为( )
A.1
2
B.2
3
C.3
4
D.4
3
3.已知椭圆C 的方程为x
2
4 ＋y
2
3 ＝1，过直线l：x＝4 上任意一点Q，作椭圆C 的两条切线，切点分别为
A，B，则原点到直线AB 距离的最大值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.已知圆M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，且直线l：2x＋y＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作圆M 的切线PA，
PB，切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB 的方程为( )
A.2x－y－1＝0
B.2x＋y－1＝0
C.2x－y＋1＝0
D.2x＋y＋1＝0
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
5.已知直线l：ax＋by－r2＝0 与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切
B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离
C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离
D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切
6.在平面直角坐标系Oxy 中，由直线x＝－4 上任一点P 向椭圆x
2
4 ＋y
2
3 ＝1 作切线，切点分别为A，B，点
A 在x 轴的上方，则( )
A.∠APB 恒为锐角
B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为1
2
C.|AP|的最小值为4
D.存在点P，使得(⃗PA ＋⃗PO)·⃗OA＝0
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
7.过点P(－2，3)作圆C：x2＋(y－2)2＝4 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为
.
8.已知直线l：y＝kx＋2 与圆C：(x－1)2＋y2＝9 交于A，B 两点，过A，B 分别作圆C 的两条切线l1和l2，直
线l1和l2交于点P，则线段PC 长度的最小值是 ，线段PC 最短时，四边形PACB 的面积是
.
四、解答题(共28 分)
9.(13 分)过抛物线x2＝4y 焦点F 的直线交抛物线于A，B 两点，过A，B 两点分别作抛物线的切线，设其交
点为M.
(1)证明：⃗FM·⃗AB为定值；(6 分)
(2)设△MAB 的面积为S，试求S 的最小值.(7 分)
10.(15 分)设抛物线C：y＝x2的焦点为F，动点P 在直线l：x－y－2＝0 上运动，过P 作抛物线C 的两条切
线PA，PB，且与抛物线C 分别相切于A，B 两点.
(1)求△APB 的重心G 的轨迹方程；(6 分)
(2)证明：∠PFA＝∠PFB.(9 分)
答案精析
1.B [由a
2co s
2α
a
2
+b
2sin
2α
b
2
=cos2α+sin2α=1，
知点P 在椭圆上，所以点P 与直线l 是关于椭圆的一对极点、极线，所以直线l 与椭圆相切.]
2.D [因为点A(-2，3)在准线上，
所以p=4，F(2，0)，则抛物线方程是y2=8x，
过点A 作直线与抛物线C 在第四象限相切于另一点D，故直线BD 即为点A 关于C 的极线，
其方程为3y=4(x-2)，
因为点A 在抛物线的准线上，则焦点F 在点A 关于C 的极线上，因此kBF=4
3 .]
3.A [由题设，切点弦AB 是点Q 关于C 的极线，设点Q 的坐标为(4，y0)，
则可知直线AB 的方程为4 x
4 + y0 y
3 =1，
即x+ y0 y
3 =1，显然直线AB 过焦点(1，0)，所以原点到直线AB 距离的最大值为1.]
4.D [如图，☉M：(x-1)2+(y-1)2=4，点P 是极点，直线AB 是极点P 关于☉M 的极线.
设P(m，n)，则极线AB：
(m-1)(x-1)+(n-1)(y-1)-4=0，
由圆的对称性可知PM⊥AB，
所以S 四边形PAMB=1
2|PM||AB|
=2S△PAM=|PA||AM|=2|PA|
=2√| PM |
2- 4.
要使|PM||AB|最小，
只需|PM|最小，此时PM⊥l，
因为kl=-2，所以kPM=1
2，
又M(1，1)，
所以直线PM：y=1
2(x-1)+1
=1
2x+1
2.
与l：2x+y+2=0 联立，代入P(m，n)，
解得m=-1，n=0，
于是直线PM 与l 的交点为P(-1，0)，
故直线AB 的方程为(-1-1)(x-1)+(0-1)(y-1)-4=0，
即2x+y+1=0.]
5.ABD [显然对于圆C，以A(a，b)作为极点，那么极线就是l：ax+by-r2=0，
若极点A 在圆C 上，则极线l 为圆C 的切线，故A 正确；
若极点A 在圆C 内，则极线l 与圆C 相离，故B 正确；
若极点A 在圆C 外，则极线l 是圆C 的切点弦，与圆C 相交，故C 错误；
若极点A 在直线l 上，这时极线恰好为切线，极点为切点，故D 正确.]
6.ABD [设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(-4，m).
方法一 易知椭圆在A 处的切线方程为x1 x
4 + y1 y
3 =1，在B 处的切线方程为x2 x
4 + y2 y
3 =1，
∵点P 在两条切线上，将P(-4，m)代入两切线方程，得-x1+m y1
3
=1，-x2+m y2
3
=1，
∴直线AB 的方程为-x+my
3 =1，
即3x-my+3=0.
方法二 由题设，切点弦AB 所在直线是点P 关于椭圆的极线，则可知直线AB 的方程为- 4 x
4
+my
3 =1，
即3x-my+3=0.
∴直线AB 恒过定点(-1，0)，
∵|AB|<4，且以椭圆的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4，
该圆与直线x=-4 相离，
∴∠APB 恒为锐角，故A 正确；
对于B，当AB 垂直于x 轴时，
由对称性可知P(-4，0)，
将P(-4，0)代入x1 x
4 + y1 y
3 =1，
可得x1·(- 4)
4
=1，
可得x1=-1，
代入椭圆方程可得y1=3
2，
∴A(-1，3
2)，
∴kAP=
3
2 -0
-1-(- 4)
=1
2，故B 正确；
对于C，由B 可得当AB 垂直于x 轴时，
|AP|=√(-1+ 4)
2+(
3
2 -0)
2
=3√5
2 <4，
故C 错误；
对于D，(⃗PA+⃗PO)·⃗OA=(⃗PA+⃗PO)·(⃗PA-⃗PO)=⃗PA
2-⃗PO
2.
∵椭圆在A(x1，y1)处的切线方程为x1 x
4 + y1 y
3 =1，与直线x=-4 联立方程可得P(- 4，3+3 x1
y1 )，
∴|PA|=√
( x1+ 4)
2+( y1- 3+3 x1
y1 )
2
，
|PO|=√
16+(
3+3 x1
y1 )
2
，
若|PA|=|PO|，
则√
( x1+ 4)
2+( y1- 3+3 x1
y1 )
2
=√
16+(
3+3 x1
y1 )
2
，
化简整理得x1
2+2x1+y1
2-6=0，
又点A 在椭圆上，
∴x1
2+2x1+3(1- 1
4 x1
2)-6=0，
∴x1
2+8x1-12=0，
解得x1=-8+√64 + 4×12
2
=-8+ 4√7
2
=-4+2√7∈(0，2)，
故存在点P，使得(⃗PA+⃗PO)·⃗OA=0，故D 正确.]
7.2x-y+6=0
解析 切点弦AB 所在的直线就是点(-2，3)关于圆C 的极线，其方程为-2x+(3-2)(y-2)=4，
即2x-y+6=0.
8.9√5
5
18√5
5
解析 如图，设P(m，n)，则切点弦AB 所在直线的方程即点P 关于圆C 的极线方程，
为(m-1)(x-1)+ny=9，
这与直线l：y=kx+2 是同一条直线，由于l：y=kx+2 过点(0，2)，
故点(0，2)在切点弦AB 上，
因此(m-1)(0-1)+2n=9，
即m-2n+8=0.
由此知，点P 的轨迹方程是x-2y+8=0，记为l3.
于是|PC|的最小值就是点C(1，0)到直线l3：x-2y+8=0 的距离，
因此|PC|min=|1+8|
√1+ 4 =9√5
5
.
线段PC 最短时，PC⊥l3，
故必有l∥l3，kl=1
2，
所以l：y=1
2x+2，即x-2y+4=0，
于是弦心距d=|1+ 4|
√5
=√5，
由勾股定理，得|AB|=2√9-5=4.
由圆的对称性可知AB⊥PC，
所以S 四边形PACB=1
2|PC|×|AB|
=1
2×9√5
5
×4=18√5
5
.
9.方法一 (1)证明 抛物线x2=4y 的焦点F 的坐标为(0，1).
设直线AB：y=kx+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2).
联立{
y =kx +1,
x
2= 4 y ,
消去y 可得x2-4kx-4=0，
则x1+x2=4k，x1x2=-4.
对抛物线方程y=1
4 x2，求导得y'=1
2x，则过抛物线上A，B 两点的切线方程分别是
y=1
2x1(x-x1)+y1，
y=1
2x2(x-x2)+y2.
即y=1
2x1x-1
4 x1
2，
y=1
2x2x-1
4 x2
2.
联立，解出两条切线的交点M 的坐标为(
x1+ x2
2
，x1 x2
4 )=(2k，-1).
所以⃗FM=(2k，-2)，
因为直线AB 的一个方向向量a=(1，k)，⃗
FM·a=2k-2k=0，
所以⃗FM·⃗AB=0.
(2)解 弦长|AB|=√1+ k
2|x1-x2|
=√1+k
2√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2
=4(1+k2).
由(1)知FM⊥AB，点M 到直线AB 的距离为|FM|=2√1+ k
2，
所以S=1
2|AB||FM|
=4(1+k2)√1+k
2.
令t=√1+ k
2(t≥1)，则S=4t3(t≥1)，
因为S=4t3在[1，+∞)上单调递增，所以当t=1，即k=0 时，S 的最小值为4.
方法二 (1)证明 显然，点M 的极线为AB，故可设点M(x0，-1)，再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F，A，B 三
点对应的极线方程分别为y=-1，x1x=2(y1+y)，x2x=2(y2+y)，
由于A，B，F 三点共线，故相应的三条极线共点于M(x0，-1)，将y=-1 代入后面两个极线方程得
{
x1 x0=2( y1-1),
x2 x0=2( y2-1),
两式相减得(x1-x2)x0=2(y1-y2).
又⃗FM=(x0，-2)，⃗
AB=(x2-x1，y2-y1)，
故⃗FM·⃗AB
=x0(x2-x1)-2(y2-y1)=0.
(2)解 设AB 的方程为y=kx+1，与点M 关于抛物线的极线方程x0x=2(y-1)对比可知点M(2k，-1)，|FM|=2
√1+k
2，
把y=kx+1 代入x2=4y 并由弦长公式得|AB|=4(1+k2)，
由(1)知FM⊥AB，
所以S=1
2|AB||FM|
=4(1+k2)√1+k
2，
显然，当k=0 时，S 取最小值为4.
10.(1)解 设切点A，B 的坐标分别为(x0，x0
2)和(x1，x1
2) (x1≠x0)，
所以切线AP 的方程为2x0x-y-x0
2=0，切线BP 的方程为2x1x-y-x1
2=0，
由于P 既在AP 上，又在BP 上，
所以{
2 x0 xP- yP- x0
2=0,
2 x1 xP- yP- x1
2=0,
解得{
xP= x0+ x1
2
,
y P= x0 x1,
即P(
x0+ x1
2
，x0 x1)，
所以△APB 的重心G 的横坐标
xG= x0+ x1+ xP
3
=xP，
yG= x0
2+ x1
2+ yP
3
= x0
2+ x1
2+ x0 x1
3
=( x0+ x1)
2- x0 x1
3
=4 xP
2 - y P
3
，
所以yP=-3yG+4xG
2 ，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为x-(-3y+4x2)-2=0，
即y=1
3(4x2-x+2).
(2)证明 方法一 因为F(0，1
4)，⃗
FA=(x0，x0
2- 1
4)，⃗
FP=(
x0+ x1
2
，x0 x1- 1
4)，⃗
FB=(x1，x1
2- 1
4).
由于P 点在抛物线外，则|⃗FP|≠0.
所以cos∠PFA=⃗
FP·⃗FA
|⃗FP||⃗FA |
=
x0+ x1
2
· x0+(x0 x1- 1
4)(x0
2- 1
4)
|⃗FP|√x0
2+(x0
2- 1
4)
2
= x0 x1+ 1
4
|⃗FP|
，
同理有cos∠PFB=⃗
FP·⃗FB
|⃗FP||⃗FB|
=
x0+ x1
2
· x1+(x0 x1- 1
4)(x1
2- 1
4)
|⃗FP|√
x1
2+(x1
2- 1
4)
2
= x0 x1+ 1
4
|⃗FP|
，故∠PFA=∠PFB.
方法二 ①当x1x0=0 时，由于x1≠x0，
不妨设x0=0，则A(0，0)，
所以P 点坐标为(
x1
2 ，0)，
则P 点到直线AF 的距离为d1=| x1|
2
，
而直线BF 的方程为
y-1
4 = x1
2- 1
4
x1
x，
即(x1
2- 1
4)x-x1y+1
4 x1=0.
所以P 点到直线BF 的距离为
d2=|(x1
2- 1
4)
x1
2 + x1
4|
√(x1
2- 1
4)
2
+ x1
2
=(x1
2+ 1
4)
| x1|
2
x1
2+ 1
4
=| x1|
2
，
所以d1=d2，即得∠PFA=∠PFB.
②当x1x0≠0 时，直线AF 的方程为
y-1
4 = x0
2- 1
4
x0
x，
即(x0
2- 1
4)x-x0y+1
4 x0=0，
直线BF 的方程为y-1
4 = x1
2- 1
4
x1
x，
即(x1
2- 1
4)x-x1y+1
4 x1=0，
所以P 点到直线AF 的距离为d3
=|(x0
2- 1
4)
x0+ x1
2
- x0
2 x1+ 1
4 x0|
√(x0
2- 1
4)
2
+ x0
2
=|
x0- x1
2 |(x0
2+ 1
4)
x0
2+ 1
4
=| x0- x1|
2
，
同理可得P 点到直线BF 的距离d4=| x1- x0|
2
，
因此由d3=d4，
可得到∠PFA=∠PFB.
综上，∠PFA=∠PFB.
