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数学试卷
试卷满分：120分 考试时间：120分钟.
一､选择题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各数中最小的数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
2. 下列各点中，在函数 的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图
案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）
A. 20 B. 21 C. 23 D. 26
5. 如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点，连接 .若 ，
则 的度数为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 如图，在边长为4的正方形 中，点 是 上一点，点 是 延长线上一点，连接 ，
平分 交 于点 .若 ，则 的长度为（ ）
.
A 2 B. C. D.
二､填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ______.
8. 不等式 的解集是______.
9. 一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个
球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球
__________个.
10. 半径为4，圆心角为 的扇形的面积为__________（结果保留 ）.
11. 二次函数 的图象过点 ，其中 为常
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学科网（北京）股份有限公司数，则 的值为______.
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线 的表达式为 ，点 的坐标为 ，以 为圆心，
为半径画弧，交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；以 为圆心， 为半径画弧，
交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；以 为圆心， 为半径画弧，交直线 于点
，过点 作直线 的垂线交 轴于点 ；……按照这样的规律进行下去，点 的横坐标是______.
三､简答题（本大题5小题，每小题6分，共30分.）
13. （1）计算：
（2）先化简，再求值： ，其中 .
14. 如图，已知矩形 .
（1）尺规作图：作对角线 的垂直平分线，交 于点 ，交 于点 ；（不写作法，保留作图痕
迹）
（2）连接 .求证：四边形 是菱形.
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学科网（北京）股份有限公司15. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 .
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式 的解集；
16. 如图，在 中， .
（1）求证： ；
（2）若 平分 ，请直接写出 的形状.
的
17. 小明 书桌上有一个 型台灯，灯柱 高40cm，他发现当灯带 与水平线 夹角为 时（图
1），灯带的直射宽DE(BD⊥BC,CE⊥BC)为35cm，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与
水平线夹角为 时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点 到桌面的距离.（结果保留1位小
数）
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学科网（北京）股份有限公司四､解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，已知 是 的直径， 是 的弦，点 在 外，延长 相交于点 ，过点
作 于点 ，交 于点 .
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为6，点 为线段 的中点， ，求 的长.
的
19. 某校为了解学生身体健康状况，从全校600名学生 体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学
生的测试数据进行初步整理（如图1）.并绘制出不完整的条形统计图（如图2）.
成绩 频数 百分比
不及格 3
及格
良好 45
优秀 32
图1学生体质健康统计表
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学科网（北京）股份有限公司图2学生体质健康条形统计图
（1）图1中 __________， __________， __________；
的
（2）请补全图2 条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”和“优秀”的总人数；
（3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校
体质健康测试交流会.请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率.
20. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络
的
销售，在水果收获 季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共1500 进行销售，其中A
种水果收购单价10元/ ，B种水果收购单价15元/ .
（1）求A，B两种水果各购进多少千克；
（2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计
其他费用，求A种水果的最低销售单价.
五､解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列
车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程
中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示.
列车运行时刻表
站 站 站
车次
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
途经 站，不停车
请根据表格中的信息，解答下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司（1）D1001次列车从 站到 站行驶了__________分钟，从 站到 站行驶了__________分钟；
（2）记D1001次列车的行驶速度为 ，离 站的路程为 次列车的行驶速度为 ，离 站的路
程为 .
① __________；
②从上午8：00开始计时，时长记为 分钟（如：上午9：15，则 ），已知 千米/小时（可
换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中 ，若 ，求 的值.
22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ，
抛物线的对称轴是直线 .
（1）求拋物线的表达式；
（2）点 是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 作 轴交抛物线于点 ，作
于点 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
（3）将抛物线沿射线 方向平移 个单位，在 取得最大值的条件下，点 为点 平移
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学科网（北京）股份有限公司后的对应点，连接 交 轴于点 ，点 为平移后的抛物线上一点，若 ，请直
接写出所有符合条件的点 的坐标.
六､解答题（本大题共12分）
23. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片
绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片 和 中，
.
（1）【初步感知】
如图1，连接 ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值.
（2）【深入探究】
如图2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上时，延长 交
于点 ，求 的长.
（3）【拓展延伸】
在纸片 绕点A旋转过程中，试探究 三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角
形 的面积；若不能，请说明理由.
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