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极点与极线 【知识拓展】 1.极点和极线的代数定义 已知圆锥曲线Γ：Ax2＋2Bxy＋Cy2＋2Dx＋2Ey＋F＝0，P(x0，y0)(非中心)和直线 l：Ax0x＋B(x0y＋y0x)＋Cy0y＋D(x0＋x)＋E(y0＋y)＋F＝0，则称点P(x0，y0)是直线 l 关于圆锥曲线Γ 的极点，直线l 称为P 点关于曲线Γ 的极线. 以上代数定义表明，在圆锥曲线方程中，以替换xy，以x0x 替换x2，以替换x(另 一变量y 也是如此)，即可得到点P(x0，y0)关于曲线Γ 的极线方程. 2.极点和极线的几何定义(以椭圆为例说明) 如图(1)所示，点P 在椭圆上，极线l 是以点P 为切点的切线； 如图(2)所示，点P 在椭圆外，极线l 与椭圆相交，且为由点P 向椭圆所引切线的 切点弦所在直线. 如图(3)所示，点P 在椭圆内，极线l 与椭圆相离，极线l 为经过点P 的弦在两端 处切线交点的轨迹，且极线l 与以P 为中点的弦所在直线平行. 3.极点和极线的几何定义对应以下两个定理 已知P(x0，y0)和抛物线y2＝2px(p>0)、椭圆＋＝1(a>b>0)和双曲线－＝1(a>0， b>0)的方程， 定理1：若点P(x0，y0)在曲线上，则曲线在点P 处的切线方程分别是y0y＝p(x＋ x0)，＋＝1，－＝1. 定理2：若点P(x0，y0)是曲线外的一点，过P(x0，y0)作曲线的两条切线，切点分 别为A，B，则直线AB 的方程分别是y0y＝p(x＋x0)，＋＝1，－＝1. 4.极点和极线的作图(几何意义) 如图所示(以椭圆图形为例)，若点P 不是在圆锥曲线上的点，且不为原点O，过 点P 作割线PAB，PCD 依次交圆锥曲线于A，B，C，D 四点，连接直线AD，BC 交于点M，连接直线AC，BD 交于点N，则直线lMN为极点P 对应的极线. 类似的，也可得到极点N 对应的极线为直线lPM，极点M 对应的极线为直线lPN， 因此，我们把△PMN 称为自极三角形.(即△PMN 的任一顶点作为极点，则顶点 对应的边即为对应的极线) 如图所示，如果我们连接直线NM 交圆锥曲线于点E，F，则直线PE，PF 恰好 为圆锥曲线的两条切线. 【类型突破】 类型一 求切线和切点弦方程 例1 (2024·武汉模拟改编)过椭圆C：＋＝1 内一点M(3，2)，作直线AB 与椭圆 交于A，B，作直线CD 与椭圆交于点C，D，过A，B 分别作椭圆的切线交于点 P，过C，D 分别作椭圆的切线交于点Q，求PQ 所在的直线方程. 解 由题意设P(x1，y1)，Q(x2，y2). 则AB 为点P 关于椭圆C 的极线， 其方程为＋＝1. 又M(3，2)在直线AB 上， 所以＋＝1，① 同理＋＝1，② 由①②可得直线PQ 的方程是＋＝1. 规律方法 本例利用点P 关于椭圆C 的极线为AB，点Q 的极线为CD，求直线 PQ 的方程，熟练掌握并应用极点、极线的定理是解题的关键. 训练1 过点P(－2，3)作圆C：x2＋(y－2)2＝4 的两条切线，切点分别为A，B， 则直线AB 的方程为________. 答案 2x－y＋6＝0 解析 切点弦AB 所在的直线就是点(－2，3)关于圆C 的极线，其方程为－2x＋ (3－2)(y－2)＝4，即2x－y＋6＝0. 类型二 判断直线与圆锥曲线的位置关系 例2 (多选)已知直线l：ax＋by－r2＝0 与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列 说法正确的是( ) A.若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切 B.若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C.若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离 D.若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 答案 ABD 解析 法一 圆心C(0，0)到直线l 的距离d＝.若点A(a，b)在圆C 上，则a2＋b2 ＝r2，所以d＝＝|r|，则直线l 与圆C 相切，故A 正确； 若点A(a，b)在圆C 内，则a2＋b2<r2， 所以d＝>|r|， 则直线l 与圆C 相离，故B 正确； 若点A(a，b)在圆C 外，则a2＋b2>r2， 所以d＝<|r|， 则直线l 与圆C 相交，故C 错误； 若点A(a，b)在直线l 上，则a2＋b2－r2＝0 即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，直线l 与 圆C 相切，故D 正确.故选ABD. 法二 显然对于圆C，以A(a，b)作为极点，那么极线就是l：ax＋by－r2＝0， 若极点A 在圆C 上，则极线l 为圆C 的切线，故A 正确； 若极点A 在圆C 内，则极线l 与圆C 相离，故B 正确； 若极点A 在圆C 外，则极线l 是圆C 的切点弦，与圆C 相交，故C 错误； 若极点A 在直线l，这时极线恰好为切线，极点为切点，故D 正确. 易错提醒 解题的关键是发现点A(a，b)与直线l：ax＋by－r2＝0 互为关于圆C 的极点、极线. 训练2 已知椭圆＋＝1(a>b>0)，点P(x0，y0)，x0＝acos α，y0＝bsin α，则直线 l：＋＝1 与椭圆的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.以上皆有可能 答案 B 解析 由＋＝cos2α＋sin2α＝1， 知点P 在椭圆上， 所以点P 与直线l 是关于椭圆的一对极点、极线，所以直线l 与椭圆相切. 类型三 探究最值问题 例3 (2024·烟台质检)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)过点A，其焦距为2. (1)求椭圆Γ 的方程； (2)如图，点B 为Γ 在第一象限中的任意一点，过B 作Γ 的切线l，l 分别与x 轴和 y 轴的正半轴交于C，D 两点，求△OCD 面积的最小值. 解 (1)依题意得：椭圆的焦点为 F1(－1，0)，F2(1，0)， 由椭圆定义知：2a＝|AF1|＋|AF2|， 所以a＝，c＝1，所以b＝1， 所以椭圆Γ 的方程为＋y2＝1. (2)设B(x1，y1)，则椭圆Γ 在点B 处的切线即为点B 关于曲线Γ 的极线， 其方程为 x＋y1y＝1， 令x＝0，yD＝；令y＝0，xC＝， 所以S△OCD＝， 又点B 在椭圆的第一象限上， 所以x1>0，y1>0，且＋y＝1， 所以1＝＋y≥2＝x1y1， 即≥，所以S△OCD＝≥， 当且仅当＝y 且＋y＝1，即x1＝y1＝1 时取等号， 所以当B 时，△OCD 的面积取最小值. 规律方法 设椭圆上的B 点坐标为(x1，y1)，可得出在点B 处的切线方程为＋y1y ＝1，从而确定C，D 两点的坐标，写出△OCD 面积的表达式. 训练3 已知椭圆C 的方程为＋＝1，过直线l：x＝4 上任意一点Q，作椭圆C 的 两条切线，切点分别为A，B，则原点到直线AB 距离的最大值为________. 答案 1 解析 由题设，切点弦AB 是点Q 关于C 的极线，设点Q 的坐标为(4，y0)， 则可知直线AB 的方程为 ＋＝1，即x＋＝1， 显然直线AB 过焦点(1，0)， 所以原点到直线AB 的距离的最大值为1. 类型四 定点或定值问题 例4 (2024·南京调研改编)已知椭圆C：＋y2＝1 的左、右顶点分别为A，B，上顶 点为D，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，如图所示，直线AD 与直线BP 交于 点M，直线DP 与x 轴交于点N，证明：直线MN 过定点，并求出该定点. 解 由椭圆C 的方程可得D(0，1)，B(2，0)， 如图，连接AP，BD 交于点Q，并连接MQ，NQ， 由题意知△MNQ 为自极三角形，则以Q 为极点的极线为MN， 易求BD 的直线方程为x＋2y＝2， 可设点Q(2－2t，t)，那么极线MN 的方程为x＋ty＝1， 整理得x－2－t(x－2y)＝0， 所以直线MN 过定点(2，1). 规律方法 由自极三角形的定义知，MN 就是点Q 关于椭圆C 的极线，从而得出 直线MN 的方程为x－2－t(x－2y)＝0，因此直线MN 过定点(2，1). 训练4 (2024·重庆诊断改编)如图所示，椭圆E：＋＝1 的左、右顶点分别为A， B，左焦点为F，过F 的直线与椭圆E 交于不与A，B 重合的C，D 两点，记直线 AC 和BD 的斜率分别为k1，k2，证明：为定值. 证明 依题意A(－2，0)，B(2，0)，F(－1，0)， 延长CA，BD 相交于点N，延长DA，BC 相交于点M， 连接MN，MF，NF，则△MNF 为自极三角形， 故点F 关于椭圆E 的极线MN 的直线方程为＋＝1，即x＝－4. 则直线AC 与直线BD 的交点N 的坐标为(－4，y0)， 所以＝＝3. 【精准强化练】 一、单选题 1.对于抛物线C：y2＝2x，设点P(x0，y0)满足y<2x0，则直线l：y0y＝x＋x0与抛物 线C( ) A.恰有1 个交点 B.恰有2 个交点 C.没有交点 D.有1 个或2 个交点 答案 C 解析 显然直线l 是点P 对应的极线，因为y<2x0，所以点P 在抛物线内部，从 而直线l 与抛物线C 没有交点. 2.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，过点A 的直线与抛物线 C 在第一象限相切于点B，记抛物线C 的焦点为F，则直线BF 的斜率为( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 因为点A(－2，3)在准线上， 所以p＝4，F(2，0)， 又直线AB 与抛物线相切，故直线BF 即为点A 关于C 的极线， 其方程为3y＝4(x－2)， 因此kBF＝.故选D. 3.过点(3，1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为( ) A.2x＋y－3＝0 B.2x－y－3＝0 C.4x－y－3＝0 D.4x＋y－3＝0 答案 A 解析 切点弦AB 就是点(3，1)关于圆C 的极线，其方程为(3－1)(x－1)＋1×y＝ 1， 即2x＋y－3＝0.故选A. 4.在直线x＝3 上任取一点P，过点P 向圆C：x2＋(y－2)2＝4 作两条切线，切点 分别为A，B，则直线AB 经过一个定点，该定点的坐标为( ) A. B. C.(－1，2) D.(2，－1) 答案 A 解析 设点P 的坐标为(3，t)，点P 关于圆C：的极线为直线AB， 其方程为3x＋(t－2)(y－2)＝4， 整理得(y－2)t＋(3x－2y)＝0， 令y－2＝0，3x－2y＝0， 可得直线AB 过定点. 5.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l：y＝kx＋2 与圆C：(x－1)2＋y2＝9 交于 A，B 两点，过点A，B 分别作圆C 的两条切线l1与l2，直线l1与l2交于点P，则 线段PC 长度的最小值是( ) A. B.3 C.3 D.5 答案 A 解析 设P(x0，y0)，则点P 关于圆C 的极线方程为(x0－1)(x－1)＋y0y＝9，其经 过A，B 两点，而经过A，B 两点的直线l 过定点(0，2)， 所以(x0－1)(0－1)＋2y0＝9，即x0＝2y0－8. 所以|PC|＝＝≥(当且仅当y0＝时取等号)， 所以线段PC 长度的最小值是. 6.(2024·成都二诊)已知P 是抛物线C：x2＝4y＋20 上任意一点，若过点P 作圆 O：x2＋y2＝4 的两条切线，切点分别为A，B，则劣弧AB 长度的最小值为( ) A. B. C.π D. 答案 D 解析 设P(x0，y0)，则直线AB 是点P 关于圆O 的极线， 则直线AB 的方程为xx0＋yy0＝4， 由得x0x＋·y－4＝0， 点O 到AB 的距离为d＝＝≤1，当且仅当x＝12 时等号成立. 此时∠OBA＝∠OAB＝， ∴∠AOB＝，此时劣弧AB 长度的最小，最小值为2×＝，故选D. 二、多选题 7.(2024·广州调研)已知抛物线C：x2＝4y 的焦点为F，准线为l，P 是抛物线C 上 第一象限的点，|PF|＝5，直线PF 与抛物线C 的另一个交点为Q，则下列选项正 确的是( ) A.点P 的坐标为(4，4) B.|QF|＝ C.S△OPQ＝ D.过点M(x0，－1)作抛物线C 的两条切线MA，MB，其中A，B 为切点，则直线 AB 的方程为x0x－2y＋2＝0 答案 ABD 解析 由题意可知，p＝＝2，F(0，1). 对于A，∵|PF|＝5， ∴由抛物线的定义可得，yP＋1＝5，解得yP＝4， x＝4yP＝16，且P 是抛物线C 上第一象限的点， 故点P 的坐标为(4，4)，故A 正确； 对于B，由＋＝，得＝－＝，即|QF|＝，故B 正确； 对于C，设直线PQ 的倾斜角为θ，则kPQ＝＝，即tan θ＝，所以cos θ＝， 故S△OPQ＝＝＝，故C 错误； 对于D，切点弦AB 所在直线就是点M(x0，－1)关于抛物线C 的极线，其方程为 x·x0＝4×，即x0x－2y＋2＝0，D 正确，故选ABD. 8.在平面直角坐标系xOy 中，由直线x＝－4 上任一点P 向椭圆＋＝1 作切线，切 点分别为A，B，点A 在x 轴的上方，则( ) A.∠APB 恒为锐角 B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为 C.|AP|的最小值为4 D.存在点P，使得(PA＋PO)·OA＝0 答案 ABD 解析 对于A，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， P(－4，m)， 则直线AB 是点P 关于椭圆的极线， 则直线AB 的方程为－x＋＝1， 即3x－my＋3＝0， ∴直线AB 恒过定点(－1，0)， 以AB 为直径的圆的直径最大且无限接近2a＝4，则半径最大无限接近2，但该 圆与直线x＝－4 相离， ∴∠APB 始终为锐角，故A 正确； 对于B，当AB 垂直于x 轴时，由对称性可知P(－4，0)， 此时直线AB 的方程为x＝－1， 可得x1＝－1，代入椭圆方程可得y1＝， ∴A， ∴kAP＝＝，故B 正确； 对于C，由B 可得当AB 垂直于x 轴时，|AP|＝＝＝<4，故C 错误； 对于D，取AO 的中点M，(PA＋PO)·OA＝2PM·OA， 若(PA＋PO)·OA＝0， 则PM⊥AO，即△PAO 为等腰三角形， 则PA2＝(x1＋4)2＋(y1－m)2＝PO2＝16＋m2， 化简得x＋y＋8x1－2my1＝0， 由A 知my1＝3x1＋3，y＝3， 整理得x＋8x1－12＝0， 解得x1＝－4＋2 或x1＝－4－2(舍去)， 故存在点P，使得(PA＋PO)·OA＝0，故D 正确. 三、填空题 9.已知椭圆C：＋y2＝1 的两个焦点F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋| PF2|的取值范围为______，直线＋y0y＝1 与椭圆C 的公共点个数是________. 答案 [2，2) 0 解析 由0<＋y<1 知点P 在椭圆内且不是中心， 由椭圆定义得|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|<2a， 即2≤|PF1|＋|PF2|<2. 由题意知，点P(x0，y0)和直线＋y0y＝1 恰好是椭圆的一对极点和极线， 因为点P 在椭圆内，所以极线与椭圆相离， 故极线与椭圆公共点的个数为0. 10.(2024·石家庄调研)过点P(2，1)的直线l 与椭圆＋y2＝1 相交于点A 和B，且AP ＝λPB，点Q 满足AQ＝－λQB，则|OQ|的最小值为________. 答案 解析 由题意，＝＝λ，所以点Q 是对应极点P 的极线与直线l 的交点，如图， 易求得极线l′的方程为＋y＝1，即x＋2y－2＝0，所以点Q 在该极线上，从而| OQ|min＝＝. 四、解答题 11.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)与y 轴的交点为A，B(点A 位于点B 的上方)，F 为 左焦点，原点O 到直线FA 的距离为b. (1)求椭圆C 的离心率； (2)设b＝2，直线y＝kx＋4 与椭圆C 交于不同的两点M，N，求证：直线BM 与 直线AN 的交点G 在定直线上. (1)解 由题意设F 的坐标为(－c，0)，依题意有bc＝ab， ∴椭圆C 的离心率e＝＝. (2)证明 若b＝2，由(1)得a＝2， ∴椭圆方程为＋＝1. 设直线MN(即直线y＝kx＋4)与直线AB(y 轴)的交点为S(0，4)，直线AM 与直线 BN 的交点为R，则G，R，S 构成椭圆C 的自极三角形， 点G 一定在点S(0，4)对应的极线GR 上， 其方程为＋＝1，即y＝1， 就是说直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上.
