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计算题增分练(二)
(时间：40 分钟)
1.(2024·广东汕头高三期末)坦克是一种封闭的军用战备车辆，坦克内部人员需要
通过观察孔侦察外部情况。观察孔如图1 所示，其宽度L＝10 cm，厚度d＝10
cm，将折射率为n＝的某种玻璃砖完全嵌入观察孔内，求：
图1
(1)该玻璃在空气中的全反射临界角C；
(2)嵌入玻璃砖后，坦克内部人员通过这块玻璃砖能看到的视野的最大张角θ。
答案 (1)45° (2)90°
解析 (1)由全反射临界角公式可得sin C＝＝
解得全反射临界角为C＝45°。
(2)如图所示，
由几何关系可得
tan r＝＝
可得r＝30°
根据折射定律可得n＝
可得sin i＝nsin r＝
解得i＝45°
则视野的最大张角为θ＝2i＝90°。
2.(2024·河北保定一模)如图2 所示，光滑杆AB 与竖直方向的夹角为θ。质量为m
的小球套在光滑杆上，球随杆一起绕OO′轴线匀速转动，此时球到B 点的距离为
L，重力加速度为g，求：
图2
(1)杆对小球的作用力大小F；
(2)杆转动的角速度ω0；
(3)若调节杆转动的角速度，小球恰能在距B 点2L 处再次随杆一起匀速转动，该
过程杆对球做的功W。
答案 (1) (2) (3)mgLcos θ
解析 (1)小球在距B 点L 处，有
Fsin θ＝mg，得F＝。
(2)水平方向：
Fcos θ＝mωLsin θ
解得ω0＝。
(3)小球在距B 点2L 处，有Fsin θ＝mg
Fcos θ＝mω2·2Lsin θ
解得ω＝
开始时小球做圆周运动的线速度
v0＝ω0Lsin θ＝
调节杆转动的角速度后，小球做圆周运动的线速度
v1＝ω·2Lsin θ＝
由动能定理得
W－mgLcos θ＝mv－mv
解得W＝mgLcos θ。
3.(2024·山东菏泽二模)如图3，在xOy 平面内虚线OM 与x 轴负方向夹角为45°，
虚线OM 右上侧和第一象限为区域 Ⅰ , Ⅰ 内存在垂直xOy 平面向里、磁感应
强度为B 的匀强磁场，虚线OM 左下侧和第三象限为区域 Ⅱ , Ⅱ 内存在垂直
xOy 平面向外、磁感应强度为B 的匀强磁场。一个比荷为k 的带正电粒子从原点
O 沿x 轴正方向以速度v0射入磁场，不计粒子重力。求：
图3
(1)粒子从O 点进入磁场到第二次穿过OM 直线时所用的时间；
(2)粒子第二次穿过x 轴与x 轴交点的位置坐标；
(3)粒子第2n 次通过OM 直线时与O 点的距离表达式(其中n＝1，2，3，…)。
答案 (1) (2)[－，0]
(3)s＝(其中n＝1，2，3…)
解析 (1)粒子的运动轨迹如图所示。在区域 Ⅰ 中，设轨迹半径为r1，周期为
T1，由洛伦兹力提供向心力，有qv0B＝m
可得r1＝＝
又T1＝
解得T1＝＝
在区域 Ⅱ 中，设轨迹半径为r2，周期为T2，由洛伦兹力提供向心力，有qv0·＝
m
可得r2＝＝
又T2＝
解得T2＝＝
由题意可知t1＝T1＝，t2＝T2＝
故粒子从O 点进入磁场到第二次穿过OM 直线时所用的时间为t1＋t2＝。
(2)由几何关系可知，粒子第二次穿过x 轴与x 轴交点的横坐标为
x＝－(r1＋r2＋r2sin 60°)
代入得x＝－
所以位置坐标为[－，0]。
(3)粒子第2 次通过OM 直线时与O 点距离为
L＝(r1＋r2)
每一次周期性运动沿OM 方向的侧移量均为L，第2n 次通过OM 直线时与O 点
距离为s＝nL
代入得s＝(其中n＝1，2，3，…)。
4.(2023·广东卷，15)如图4 为某药品自动传送系统的示意图，该系统由水平传送
带、竖直螺旋滑槽和与滑槽平滑连接的平台组成，滑槽高为3L，平台高为L。
药品盒A、B 依次被轻放在以速度v0匀速运动的传送带上，在与传送带达到共速
后，从M 点进入滑槽，A 刚好滑到平台最右端N 点停下，随后滑下的B 以2v0的
速度与A 发生正碰，碰撞时间极短，碰撞后A、B 恰好落在桌面上圆盘内直径的
两端。已知A、B 的质量分别为m 和2m，碰撞过程中损失的能量为碰撞前瞬间
总动能的。A 与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，A、B 在滑至N 点
之前不发生碰撞，忽略空气阻力和圆盘的高度，将药品盒视为质点。求：
图4
(1)A 在传送带上由静止加速到与传送带共速所用的时间t；
(2)B 从M 点滑至N 点的过程中克服阻力做的功W；
(3)圆盘的圆心到平台右端N 点的水平距离s。
答案 (1) (2)6mgL－3mv (3)
解析 (1)A 在传送带上运动时的加速度a＝μg
由静止加速到与传送带共速所用的时间t＝＝。
(2)由功能关系得B 从M 点滑至N 点的过程中克服阻力做的功
W＝×2mv＋2mg·3L－×2m(2v0)2＝6mgL－3mv。
(3)A、B 碰撞过程由动量守恒定律和能量守恒定律可知
2m·2v0＝mv1＋2mv2
×2m(2v0)2－＝
解得v1＝2v0，v2＝v0
(另一组v1＝v0，v2＝v0舍掉)
两物体平抛运动的时间t1＝
则s－r＝v2t1
s＋r＝v1t1
解得s＝。
