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计算题增分练(四)
(时间：40 分钟)
1.如图1 所示，一个三棱镜DEF－D′E′F′的横截面为直角三角形，A、B、C 分别
为三条棱的中点，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，AB 的长度为L，该三棱镜材料的
折射率n＝。现有一细光束，其入射方向始终保持与A、B 连线平行，入射点从
A 点沿A、C 连线向C 点移动，若不考虑光线在三棱镜内的多次反射。求：
图1
(1)光线从EFF′E′面射出时的折射角；
(2)光线从A 点向C 点移动的过程中，在AB 边有光线射出的长度范围。
答案 (1)0 (2)
解析 (1)设光线从M 点入射时，经折射后恰好射向B 点。光线在AC 边上的入
射角为θ1，折射角为θ2，由折射定律n＝
因θ1＝60°，n＝，所以θ2＝30°
在AM 范围内入射时，经折射后在AB 边上的入射角为θ3，则θ3＝60°
因临界角sin C＝＝<sin 60°
所以在AB 边上发生全反射，由几何关系知，全反射后的光线垂直于BC 边，则
从BC 边射出的光线的折射角为0。
(2)在MC 范围内入射时，经折射后在BC 边上的入射角为θ5，则θ5＝90°－θ2＝
60°，在BC 边上发生全反射，由几何关系知，全反射后的光线垂直于AB 边，AB
边上有光线射出的部分长度为
BN＝BC·sin 30°＝L(sin 30°)2＝。
2.(2024·山东临沂一模)据史载，战国时期秦楚之战中就有使用投石机的战例。最
初的投石车结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，
短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石
块抛出。某学习小组用如图2 所示的模型演示抛石过程，质量m＝1 kg 的石块装
在长臂末端的口袋中，开始时口袋位于水平面并处于静止状态。现对短臂施力，
当长臂转到与竖直方向夹角为θ＝53°时立即停止转动，石块以v0＝20 m/s 的速度
被抛出后打在地面上，石块抛出点P 离地面高度h＝1.65 m，不计空气阻力，重
力加速度g 取10 m/s2，sin 53°＝0.8，求：
图2
(1)抛出后石块距离地面的最大高度；
(2)在石块运动轨迹最高点左侧竖立一块长度L＝3.2 m 的木板充当城墙挡住石块，
木板离石块抛出点的最近距离。
答案 (1)14.45 m (2)37.2 m
解析 (1)石块抛出时沿竖直方向分速度为v0y＝v0sin θ＝16 m/s
则石块从抛出到最高点的高度为h1＝＝12.8 m
抛出后石块距离地面的最大高度为H＝h1＋h＝14.45 m。
(2)当石块刚好被木板上端挡住时，木板离石块抛出点距离最近；石块从最高点
到木板上端过程做平抛运动，竖直方向有H－L＝gt
解得t2＝＝1.5 s
石块从抛出到最高点所用时间为t1＝＝1.6 s
石块抛出时的水平分速度为v0x＝v0cos θ＝12 m/s
则木板离石块抛出点的最近距离为x＝v0x(t1＋t2)＝37.2 m。
3.(2024·广东江门一模)如图3 所示，在x<0 的区域存在方向竖直向上、大小为E
的匀强电场，在x＞0 区域存在垂直纸面向外的匀强磁场B(B 未知)。一个质量为
m 的带正电粒子甲从A 点(－d，0)以速度v0沿x 轴正方向进入电场，粒子从B 点
(0，d)进入磁场后，恰好与静止在C 点质量为的中性粒子乙沿x 轴正方向发生弹
性正碰，且有一半电荷量转移给粒子乙。已知C 点横坐标为xC＝d，不计粒子重
力及碰撞后粒子间的相互作用。求：
图3
(1)粒子甲的比荷；
(2)粒子甲刚进入磁场时的速率和磁感应强度B 的大小；
(3)若两粒子碰撞后，立即撤去电场，同时在x<0 的区域加上与x＞0 区域内相同
的磁场，试通过计算判断两粒子碰撞后能否再次相遇，如果能，求再次相遇的时
间Δt。
答案 (1) (2)2v0 (3)能
解析 (1)如图所示，
粒子甲在电场中沿x 轴方向做匀速直线运动，有
d＝v0t
沿y 轴方向做匀加速直线运动有d＝at2，a＝
联立求得＝。
(2)粒子甲在B 点沿y 轴方向的速度
vy＝at＝v0
进入磁场中粒子甲速度方向与x 轴的夹角
tan θ＝＝
即θ＝60°
则进入磁场时的速率v＝＝2v0
由几何关系可得sin 60°＝
又由qvB＝
求得B＝。
(3)甲、乙粒子在C 点发生弹性碰撞，设碰后速度为v1、v2，碰撞过程中由动量
守恒定律和能量守恒定律可得
mv＝mv1＋mv2
mv2＝mv＋×mv
求得v1＝v0，v2＝3v0
两粒子碰后在磁场中运动，有
qv1B＝，qv2B＝
求得r1＝r2＝2d
两粒子在磁场中一直做轨迹相同的匀速圆周运动，周期分别为T1＝＝，T2＝＝
则两粒子碰后再次相遇需满足Δt－Δt＝2π
解得再次相遇时间Δt＝。
4.(2024·浙江台州二模)如图4 所示装置放置在水平地面上，质量m1＝0.5 kg 的滑
块P 从四分之一光滑圆弧A 端点滑到B 端点，随后通过顺时针转动的传送带。已
知圆弧半径R＝0.5 m，传送带长d＝1 m，与地面高度h＝1.8 m。滑块可视为质
点，滑块P 与传送带间的动摩擦因数μ＝0.3，不计空气阻力与传送带转轮的大小。
图4
(1)求滑块P 滑到圆弧B 端点时受到轨道的作用力大小；
(2)求滑块P 由C 点抛出的水平距离x 与传送带速度v 的关系；
(3)若传送带速度v＝6 m/s，将木块M 与N 并排静置在光滑地面上，木块M 上固
定一竖直轻杆，轻杆上端小横杆上系一长为l＝2 m 的轻细线，细线下端系一质
量为m2＝0.5 kg 的小球Q。滑块P 从传送带飞出后恰好与小球Q 碰撞并连结为一
整体S(可视为质点)，随后绕悬点小角度摆动(不与竖直杆碰撞)。已知木块M 与
N 的质量分别为m3＝1 kg 与m4＝2 kg。求木块M 与N 分离时S 的速度大小。
答案 (1)15 N (2)见解析 (3)1 m/s
解析 (1)滑块P 从圆弧A 端点滑到B 端点，根据动能定理有m1gR＝m1v
解得vB＝ m/s
在B 点，根据牛顿第二定律有FN－m1g＝m1
解得FN＝15 N。
(2)滑块P 由C 点抛出后，做平抛运动，则h＝gt2
解得t＝0.6 s
若滑块P 滑上传送带后一直做减速运动，根据动能定理，有
－μm1gd＝m1v－m1v
解得v1＝2 m/s
若滑块P 滑上传送带后一直做加速运动，根据动能定理，有
μm1gd＝m1v－m1v
解得v2＝4 m/s
则若传送带速度0<v≤2 m/s，滑块P 由C 点抛出的水平距离为x＝v1t＝1.2 m
若传送带速度2 m/s<v<4 m/s，滑块P 由C 点抛出的水平距离为x＝vt＝0.6v m
若v≥4m/s，滑块P 由C 点抛出的水平距离为
x＝v2t＝2.4 m。
(3)由(2)知滑块由C 点飞出时速度为v2＝4 m/s
滑块P 与小球Q 碰撞过程动量守恒，则
m1v2＝(m1＋m2)v3
解得v3＝2 m/s
根据S 与木块M、N 组成的系统动量守恒和机械能守恒，有
(m1＋m2)v3＝(m1＋m2)v4＋(m3＋m4)v5
(m1＋m2)v＝(m1＋m2)v＋(m3＋m4)v
解得v4＝－1 m/s，v5＝1 m/s 或v4＝2 m/s，v5＝0(不符，舍去)
故木块M 与N 分离时S 的速度大小为1 m/s。
