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培优点10 极点、极线
重点解读 “极点、极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点、极线是圆锥曲线的
一种基本特征，蕴含了很多圆锥曲线的重要性质，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的是
以“极点、极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向.
题型一 极点与极线
1.极点与极线的定义
过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B 两点，过A，B 的切线交点的轨迹叫做点P 关于圆锥曲线的极线，
点P 叫做相应于此极线的极点，简称极.
一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系.
2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系
如图(1)，若极点P 在圆锥曲线外，则相应的极线l 与点P 的切点弦重合，即相应的极线l 是由点P 向圆锥
曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l 与圆锥曲线有两个交点；
如图(2)，若极点P 在圆锥曲线内，则极线l 是圆锥曲线经过点P 的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，
此时，极线l 与圆锥曲线相离，它们无交点；
如图(3)，若极点P 在圆锥曲线上，则相应的极线l 与在点P 处的切线重合，即相应的极线l 就是圆锥曲线
在点P 处的切线，极线l 与圆锥曲线有唯一交点.
例1 (多选)已知点P 是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是( )
A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2＋y2＝r2，则关于点P 的极线方程为x0x＋y0y＝r2
B.已知点P(x0，y0)在椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)外，则关于点P 的极线方程为x0 x
a
2 ＋y0 y
b
2 ＝1
C.对于双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为x0 x
a
2 ＋y0 y
b
2 ＝1
D.对于抛物线y2＝2px，若点P(
p
2 ，0)，则对应的极线为抛物线的准线
思维升华 (1)一般地，若圆M：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，P(x0，y0)是圆外一点(极点)，则过点P(x0，y0)的圆M
的切点弦(极线)的方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)从代数角度看，在圆锥曲线方程中，以x0x 替换x2，以x0 y ＋y0 x
2
替换xy，以y0y 替换y2，以x0＋x
2
替换
x，以y0＋y
2
替换y 即可得到点P(x0，y0)的极线方程.
(3)从几何角度看，如图，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E，
F，G，H，连接EH，FG 交于N，连接EG，FH 并延长，延长线交于M，则直线MN 为点P 对应的极线.
若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.
由图同理可知，PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 对应的极线.因而将△MNP 称为自极三角形.
跟踪训练1 过椭圆C：x
2
25 ＋y
2
9 ＝1 内一点M(3，2)，作直线AB 与椭圆交于点A，B，作直线CD 与椭
圆交于点C，D，过A，B 分别作椭圆的切线交于点P，过C，D 分别作椭圆的切线交于点Q，则PQ 所
在的直线方程为 .
题型二 极点与极线的性质及应用
例2 在平面直角坐标系Oxy 中，如图所示，已知椭圆x
2
9 ＋y
2
5 ＝1 的左、右顶点分别为A，B，右焦点
为F.设过点T(t，m)的直线TA，TB 与此椭圆分别交于点M(x1，y1)，N(x2，y2)，其中m>0，y1>0，y2<0.
(1)设动点P 满足|PF|2－|PB|2＝4，求点P 的轨迹；
(2)设t＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)，并求出该定点的坐标.
思维升华 极点、极线的性质：
(1)如图1，设点P 关于圆锥曲线Γ 的极线为l，过点P 任作一割线交Γ 于点A，B，交l 于点Q，则
PA
PB ＝AQ
BQ ；反之，若PA
PB ＝AQ
BQ 成立，则点P，Q 调和分割线段AB，并且2
PQ ＝1
PA ＋1
PB ，
2
PQ ＝1
QA －1
QB .
(2)如图2，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O)的调和共轭点为点Q，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，
则有OR2＝OP·OQ，反之若有此式成立，则点Q 为点P 关于此圆锥曲线的调和共轭点.
(3)如图3，A，B 为圆锥曲线Γ 的一条对称轴l 上的两点(不在Γ 上)，若A，B 关于Γ 调和共轭，过点B 任作
Γ 的一条割线，交Γ 于P，Q 两点，则∠PAB＝∠QAB.
(4)如图4，已知点Q 在圆锥曲线Γ 的对称轴上，直线l 垂直于该对称轴，过点Q 作直线交Γ 于点M，N，P
为l 上任意一点.若点Q 与直线l 是Γ 的一对极点与极线，当对称轴是x 轴时，kPM＋kPN＝2kPQ.
(5)如图5，已知点A 是椭圆x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)上任一点，极点P(t，0)(|t|<a，|t|≠c，t≠0)，相应的极线x
＝a
2
t ，椭圆在点A 处的切线与极线x＝a
2
t 交于点N，过点N 作MN⊥AP 于点M，则直线MN 恒过x 轴上的
一个定点Q，且点M 的轨迹是以PQ 为直径的圆(点Q 除外).
(6)如图6，设圆锥曲线Γ 的一个焦点为F，与F 相应的准线为l.若过点F 的直线与圆锥曲线Γ 相交于M，N
两点，则Γ 在M，N 两点处的切线的交点Q 在准线l 上，且FQ⊥MN；反之，若过准线l 上一点Q 作圆锥
曲线Γ 的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN 过焦点F，且FQ⊥MN.
跟踪训练2 (2024·苏州模拟)已知椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的短轴长为2√2，离心率为√2
2 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点P(4，1)的动直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A，B，在线段AB 上取点Q，满足|AP||QB|＝|AQ||
PB|，证明：点Q 总在某定直线上.
答案精析
例1 ABD [对于A，点P 与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x0，y0)在圆C 的外部，两切点分别为
T1(x1，y1)，T2(x2，y2)，
两条切线的方程分别为xix+yiy=r2(i=1，2)，
∵P(x0，y0)在切线上，
∴x0x1+y0y1=r2，
x0x2+y0y2=r2，
∴T1(x1，y1)，T2(x2，y2)在直线x0x+y0y=r2上，由两点确定一条直线知直线T1T2的方程为x0x+y0y=r2，A 正确；
对于B，极线l 与椭圆相交，且为由点P 向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为
A(x3，y3)，B(x4，y4)，两条切线的方程分别为
lPA：
x3 x
a
2 +
y3 y
b
2 =1，lPB：
x4 x
a
2 +
y4 y
b
2 =1，
∵P(x0，y0)在切线上，
∴{
x3 x0
a
2 + y3 y0
b
2
=1,
x4 x0
a
2 + y4 y0
b
2
=1,
即点A(x3，y3)，B(x4，y4)均满足
x0 x
a
2 +
y0 y
b
2 =1，
故切点弦AB 所在直线方程，即为点P 相应的极线方程，为x0 x
a
2 +
y0 y
b
2 =1，B 正确；
对于C，证明方法同椭圆，可得极线方程为
x0 x
a
2 -
y0 y
b
2 =1，C 错误；
对于D，由阿基米德三角形的性质可知D 正确.]
跟踪训练1 3 x
25 +2 y
9 =1
解析 方法一 由题意知直线PQ 为点M 关于椭圆C 的极线，所以直线PQ 的方程为3 x
25 +2 y
9 =1.
方法二 由题意设P(x1，y1)，Q(x2，y2).
则直线AB 为点P 关于椭圆C 的极线，
其方程为x1 x
25 + y1 y
9 =1.
又M(3，2)在直线AB 上，
所以3 x1
25 +2 y1
9 =1，
①
同理3 x2
25 +2 y2
9 =1，
②
由①②可得直线PQ 的方程是
3 x
25 +2 y
9 =1.
例2 解 (1)由题设得，A(-3，0)，B(3，0)，F(2，0)，
设动点P(x，y)，
由|PF|2=(x-2)2+y2，
|PB|2=(x-3)2+y2，
|PF|2-|PB|2=4，
代入化简得x=9
2.故点P 的轨迹为直线x=9
2.
(2)方法一 由题设知，直线TA 的方程为y= m
12(x+3)，
直线TB 的方程为y=m
6 (x-3)，
点M(x1，y1)满足{
y1= m
12 ( x1+3),
x1
2
9 + y1
2
5 =1,
则x1≠-3，x1=240-3m
2
80+m
2 ，
y1= 40m
80+m
2；
点N(x2，y2)满足{
y2= m
6 ( x2-3),
x2
2
9 + y2
2
5 =1,
则x2≠3，x2=3m
2-60
20+m
2 ，
y2=-20m
20+m
2.
若x1=x2，则240-3m
2
80+m
2 =3m
2-60
20+m
2 且m>0，
得m=2√10，
此时直线MN 的方程为x=1，过点D(1，0)；
若x1≠x2，则m≠2√10，直线MD 的斜率
kMD= 40m
80+m
2÷(
240-3m
2
80+m
2 -1)
= 10m
40-m
2，
直线ND 的斜率
kND=-20m
20+m
2÷(
3m
2-60
20+m
2 -1)
= 10m
40-m
2，
所以kMD=kND，
所以直线MN 过点D(1，0).
因此直线MN 必过x 轴上一定点D(1，0).
方法二 当t=9 时，T 点坐标为(9，m)，连接MN，
设直线AB 与MN 的交点为K，根据极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过点K，
又点T 对应的极线方程为9 x
9 +my
5 =1，
此直线恒过x 轴上一定点K(1，0)，
从而直线MN 也恒过x 轴上的一定点K(1，0).
跟踪训练2 (1)解 由题意可知
{
2b=2√2,
c
a = √2
2 ,
因为a2=b2+c2，
解得a=2，b=√2.
所以所求椭圆C 的方程为x
2
4 + y
2
2 =1.
(2)证明 方法一 设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
Q(x，y)，P(4，1)，
直线AB 的斜率显然存在，设为k，则AB 的方程为
y=k(x-4)+1.
因为A，P，B，Q 四点共线，不妨设x2<x<x1<4，
则|AP|=√1+ k
2(4-x1)，
|AQ|=√1+ k
2(x1-x)，
|QB|=√1+ k
2(x-x2)，
|PB|=√1+ k
2(4-x2)，
由|AP||QB|=|AQ||PB|，
可得(4-x1)(x-x2)=(x1-x)(4-x2)，
化简得2x1x2-(x1+x2)(4+x)+8x=0.
(*)
联立直线y=k(x-4)+1 和椭圆C 的方程，
得{
x
2
4 + y
2
2 =1,
y =k( x - 4)+1,
消去y，得(2k2+1)x2+4k(1-4k)x+2(1-4k)2-4=0，
Δ=16k2(1-4k)2-4(2k2+1)(32k2-16k-2)>0，得12k2-8k-1<0，
由根与系数的关系，
得x1+x2=-4 k(1- 4 k )
2k
2+1
，
x1x2=2(1- 4 k )
2- 4
2k
2+1
.
代入(*)式，
化简得x=4 k +1
k +2 =4- 7
k +2，
即7
k +2=4-x.
又k= y -1
x - 4 ，
代入上式得
7
y -1
x - 4 +2=4-x，
化简得2x+y-2=0.
所以点Q 总在一条定直线2x+y-2=0 上.
方法二 由条件可得| AP|
| PB| =| AQ|
|BQ| ，
所以点P，Q 关于椭圆C 调和共轭，
根据性质，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，
即4 x
4 + y
2 =1，化简得2x+y-2=0，
所以点Q 总在一条定直线2x+y-2=0 上.
