高中物理108题型精讲 牛顿定律⁴

高中物理108题型精讲

牛顿定律与临界

临界状态就是“某个力恰好为零”

第3篇 · 牛顿定律与临界

临界之前是一个样子，临界之后是另一个样子

分界那一刻，有一个力取到了极端值

找到这个力，列一个式子，题就解了一半

壹

列了四五个式子，还是算不出来

孩子做一道牛顿定律的题，草稿纸上已经写了四五行。

受力分析写了，加速度写了，还用了向心力。方向都没错，式子也没错，但就是算不出来。他反复看那几行字，怀疑是不是自己算术出了问题，最后交卷时留了个空白。

家长问起来，他说“这题不会”。其实他会，式子都会列，方向也没搞反。他缺的是更前面的一步：没认出这道题是哪一类。

物理题和数学题最大的不同在这里。数学题你从条件出发往前推，总能推点什么；物理题你如果认不出题型，会往一个看起来对、其实是死路的方向走，还越走越远。上面那种情况，孩子就是把一道“列表就能解”的题，硬列成了牛顿定律加快心力，式子全对，却解不出来，因为方向错了。

临界题尤其如此。临界题的题干里通常藏着一个词：恰好。恰好不滑、恰好分离、恰好不脱离、恰好能通过。这个词不是修饰语，它就是这道题的钥匙。全部的解法都从“恰好”这两个字长出来。

所谓临界，就是某个力刚好等于零，或者刚好等于最大值。

临界之前是一个样子，临界之后是另一个样子，分界那一刻，有一个力取到了它的极端值。找到这个力，列一个式子，题就解了一半；找不到，就只能凭感觉列一堆方程然后卡住。

这一篇讲六组题，每一组都在问一件事：它的“恰好”落在哪里。

贰

六组题，六个不同的“恰好”

先把骨架摆出来，后面每一讲才不会散。

板块运动和μ与tanθ，恰好落在“摩擦力”上。前者是两个物体之间刚好不再相对滑动，后者是斜面刚好能匀速下滑。这两种情况的临界，都是摩擦力到了某个特定值。

内力公式和系统牛二律，这两讲本身不考临界，考的是整体法的分配关系。之所以放在中间，因为它们后面三讲都要用。分离临界、摩擦临界，全部要先会整体隔离，才能把式子在两个物体之间倒来倒去。

分离临界、摩擦临界、弹簧分离，三讲都是“恰好”的正脸。分离的恰好是弹力为零，摩擦的恰好是静摩擦达到最大，弹簧分离除了弹力为零还多一个条件：速度和加速度都要相等。

所以这一篇真正的结构是：前三讲备好工具，后三讲正面处理“恰好”。工具不熟，后面的“恰好”根本没法落笔。

板块运动：恰好不再相对滑动

识别标志。一块木板放在地上（或光滑面上），木块放在木板上，两者之间有摩擦。题干问“判断木块和木板以后怎么运动”“判断速度图像的形状”，或者出现“刚好不再相对滑动”“恰好共速”。

通解。这类题的标准做法是一个动作：先假设一起动，再验证摩擦够不够。

第一步，假设两者一起运动，用整体法求共同加速度。

a = F / (M+m)

第二步，隔离其中一个（通常隔离质量小的那个），看它需要多大的摩擦力才能有这个加速度。

f = m·a

第三步，把这个需要的摩擦力和最大静摩擦力比较。

如果 f ≤ μ·N，假设成立，两者确实一起动。

如果 f > μ·N，假设不成立，两者相对滑动，得分开算加速度。

第三步的比较，就是“恰好”出现的地方。当 f 恰好等于 μ·N 时，那个外力或者说那个加速度，就是临界值。

例题。质量为m的木块放在质量为M的木板上，木板放在光滑水平面上，木块与木板之间的动摩擦因数为μ。用水平力F拉木板，求木块和木板保持相对静止时F的最大值。

先假设一起动：a = F/(M+m)。

隔离木块。木块只受一个水平力，就是木板给它的摩擦力。要使木块有加速度a：

f = m·F/(M+m)

木块能得到的最大静摩擦力是 μmg（竖直方向平衡，支持力等于重力）。临界条件：

这就是拉木板时，木块和木板还能保持相对静止的最大力。超过这个力，木块就开始在木板上滑。

坑在哪里。这一讲讲完，最容易出的错不在推导，在参数取错。

第一，注意这道题里木块的最大静摩擦力是 μmg，用的是木块自己的重力，不是木板和木块的总重力。孩子在这一步手一滑写成 μ(M+m)g，答案就整个偏了。

第二，如果题目改成“用水平力拉木块”而不是“拉木板”，最大静摩擦力还是 μmg，但整体的加速度变成 F/(M+m)，隔离的对象要换成木板，得出来的临界值是 μg(M+m)·m/M。同一个装置，拉的对象一换，答案就换，具体式子也跟着变。所以这类题的第一步，一定要看清楚力是作用在谁身上。

第三，题干说“恰好共速”或者“最终共速”，意思是两个物体原来有相对速度，靠摩擦慢慢让速度趋于一致。这种情况用的是动量守恒加能量，不是牛顿定律的临界方程。看清有没有初速度差，是判断走哪条路的第一步。

μ与tanθ：斜面题的一条基准线

识别标志。斜面上一物体，题干出现“恰好能匀速下滑”“恰好能静止在斜面上”“给一个初速度，恰好能滑到顶端”。也可能不出现“恰好”，只问“动摩擦因数是多少”“倾角多大时会开始下滑”。

通解。这一类只有一个核心结论：

μ = tanθ

推导只有两步。物体在斜面上匀速下滑时，沿斜面方向：重力分量 mg·sinθ 等于摩擦力 μmg·cosθ。两边的 mg 约掉：

sinθ = μ·cosθ，也就是 μ = tanθ

这个式子说的是：斜面的倾角 θ 和摩擦因数 μ 之间存在一条基准线。μ 大于 tanθ，物体放上去不动；μ 小于 tanθ，物体放上去就滑；μ 正好等于 tanθ，物体恰好能匀速下滑。

这条基准线的价值，在于它能秒判很多题。

例题。一个物体恰好能沿倾角为θ的斜面匀速下滑。现在：(1) 在物体上再叠放一个重物；(2) 给物体施加一个竖直向下的力；(3) 给物体施加一个沿斜面向下的力。分别判断物体是否还能匀速下滑。

(1) 叠放重物。质量从m变成M。沿斜面：Mg·sinθ。摩擦力：μMg·cosθ。因为 μ=tanθ，两边仍然相等，所以照样匀速下滑。质量加了，状态不变。

(2) 施加竖直向下的力F。沿斜面的力：(mg+F)sinθ。摩擦力：μ(mg+F)cosθ。同样两边相等，照样匀速。竖直方向加力，状态也不变。

(3) 施加沿斜面向下的力。沿斜面方向多了一个力，而摩擦力不再等于重力分量。合力不为零，做加速运动。只有改变沿斜面方向的力，状态才会变。

这三问放在一起，就是这条基准线最有用的一种用法：μ=tanθ 时，任何只改变“竖直方向”因素的操作（加质量、加竖直力），都不会改变物体的运动状态。

坑在哪里。孩子最容易犯的错，是把 μ=tanθ 当成“斜面的通用公式”，看到斜面题就往上套。

它的适用条件很窄：只适用于物体在斜面上“匀速下滑”或“恰好静止”这一种状态。如果物体在加速下滑，那沿斜面方向的合力不为零，μ 就不等于 tanθ，得老老实实列牛顿第二定律。

还有一个更细的坑：如果物体被一个斜向的外力推着或拉着，那个外力可能有一个垂直于斜面的分量，会改变支持力，摩擦力也跟着变。这时候 μ=tanθ 立刻失效，因为支持力被改了。

所以这一招的正确用法是：看到“恰好匀速”或“恰好静止”，条件反射地写 μ=tanθ；看到“加速”“加外力”，立刻放弃这一招。

整体法：先整体，再隔离

这一讲是后面三讲的工具，先把两件事说清楚。

内力公式：求两个物体之间的作用力

识别标志。多个物体一起运动，加速度相同，问“它们之间的相互作用力是多少”“两物块的弹力之比”。

通解。设总外力F作用在总质量M+m的物体组上，它们之间有相互作用力N。那么

N = m·F / (M+m)，这里的m，是没有直接受外力那一侧的质量。这个公式有个更实用的说法：

内力等于外力乘以“另一侧质量”占总质量的比例。

推导两步。整体加速度 a=F/(M+m)；隔离未受外力一侧的物体（质量m），它只受内力N，所以 N=ma = mF/(M+m)。

例题。三个物块A、B、C紧靠在一起放在光滑水平面上，质量分别为1kg、2kg、3kg，用水平力F推A。求A对B的作用力和B对C的作用力之比。

先看A对B。B和C这一侧的总质量是2+3=5kg，总质量是6kg，所以

F_AB = F × 5/6

再看B对C。C这一侧质量是3kg，所以

F_BC = F × 3/6

两者之比是 5:3。

坑在哪里。这个公式最容易被记反的地方，是乘哪一侧的质量。正确做法是乘“另一侧”，也就是没有直接受外力那一侧的总质量。孩子在紧张时会乘受外力那一侧的质量，算出来的比值正好是倒数。

一个不会错的操作是：先把受外力的那个物体划掉，剩下的全部当成m，用m乘以外力再除以总质量。划掉的动作做出来，就不容易搞反。

系统牛二律：加速度不同时的省事解法

识别标志。系统里几个物体加速度不一样（比如一个在斜面上、一个悬挂着），问系统所受的外力，或者问整体的运动趋势。

通解。对系统整体列牛顿第二定律：

F合 = m₁a₁ + m₂a₂ + m₃a₃

这里要注意，加速度是矢量，方向相反的要用负号。也就是说，不能简单地把大小相加，得看方向。

例题。一个定滑轮两侧分别挂着质量为m₁和m₂的物体，m₁>m₂，系统从静止释放，不计滑轮和绳的质量、不计摩擦。求滑轮轴受到的压力。

常规做法要分别隔离两个物体，列两个方程，再求绳的拉力，最后算滑轮受力。四个式子。

用系统牛二律，可以少走两步。取物体和绳作为系统（不包含滑轮），这个系统受到的合外力，竖直方向就是两个重力的合力；绳的拉力是系统内部的力，互相抵消：

(m₁-m₂)g = m₁a + m₂(-a)

解出 a = (m₁-m₂)g/(m₁+m₂)

有了加速度，再隔离其中一个物体求绳的拉力。以m₂为例，它受向上的拉力T和向下的重力：

最后一步，滑轮轴受到的压力。两段绳都竖直向下，拉力都是T，所以轴受到的压力就是

这就是完整答案。注意滑轮在场，但计算中一直没让滑轮进系统，它只在最后一步出现，作为一个受力物体单独分析。这个分工，是系统牛二律最好用也最容易搞乱的地方。

坑在哪里。系统牛二律最大的坑是分不清内力和外力。它要求你把研究对象取对：哪些是系统内的，哪些是系统外的。绳的拉力在“物体加绳”这个系统里是内力，抵消了；如果研究对象只包含一个物体，拉力就变成外力，必须算进去。

另一个坑是加速度方向。这个定律是矢量式，两个物体加速度方向相反，必须一个取正一个取负。孩子常常直接写(m₁-m₂)g=(m₁+m₂)a，把方向问题糊过去，结果对得上纯属巧合，稍一改题就错。

所以用这一招之前，先在图上把每个物体的加速度方向画出来。这一步花五秒，能省掉后面所有的符号错误。

分离临界：两个物体恰好分开的那一刻

识别标志。两个物体靠在一起（叠放、紧挨、被托着），但它们之间没有粘连，题干问“什么时候分开”“恰好分离时”。

通解。分离的临界条件只有两条：

第一，它们之间的弹力等于零。

第二，它们分离那一瞬间，加速度还相等（因为还没分开，速度也相等）。

为什么是这两条？分开之前，两者一起动，加速度相同，彼此有挤压，弹力大于零。分开之后，两者各走各的，加速度不同。中间那一刻，挤压刚好消失，弹力等于零，而加速度还没开始不同，所以仍然相等。

关键在于分清一件事：分离和相对滑动不是一回事。分离是两者之间的距离从零变成大于零，中间再也不接触；相对滑动是两者还贴着，只是速度不一样。板块运动那讲处理的是相对滑动，这一讲处理的是真正的分开。

例题。一个轻弹簧竖直放置，下端固定在地面上，上端放一个小物块，物块与弹簧上端不粘连。把弹簧从原长压缩x后释放，物块被弹起。问物块在什么位置离开弹簧。

先整体看，物块在上升过程中受两个力：重力mg向下，弹簧弹力F弹向上。取向上为正：

F弹 - mg = ma

再看分离条件。物块和弹簧上端之间只有压力，没有粘连，所以弹力（接触力）N = 0 就是分离。

接触力为零，意味着物块只受重力，加速度变成 -g（向下）。这就是临界点的加速度。

那么在这个位置，弹簧对物块的弹力是多少？弹力就是那个接触力，所以也是零。

弹力为零，就是弹簧恢复原长。弹簧原长时形变量为零，弹力F=kx=0。

所以结论是：物块在弹簧恢复原长的位置离开弹簧。之后弹簧不再推它，物块只受重力，做竖直上抛。

这个结论还可以往前推一步，它有一个很实用的推论：离开弹簧的位置跟压缩量、质量、弹簧劲度系数都没关系，永远是原长那一处。题目给再多参数，分离点只有一个。

坑在哪里。第一个坑是把“分离”和“相对滑动”混为一谈，也就是拿板块那讲的摩擦条件去解分离题。分离的条件里没有摩擦，只有弹力为零。

第二个坑更隐蔽：加速度相等这一条，在分离的瞬间成立，但过了一瞬间就不成立了。所以列方程时必须写“在分离那一时刻，两者加速度相等”，不能写成“两者加速度始终相等”。这个时态差别，决定了式子对不对。

第三个坑是把分离点认错。很多孩子以为物块是在“弹力等于重力”那个位置分离的，因为那里合力为零、速度最大。实际上弹力等于重力时，弹力还远大于零，物块跟弹簧还紧紧压着，一点没分开。速度最大的位置在中间，分离的位置在弹簧原长。这两个位置差得挺远，混了必错。

摩擦临界：静摩擦恰好达到最大

识别标志。题干里出现“恰好不滑”“恰好能保持静止”“刚要滑动”，通常涉及两个物体之间有静摩擦，或者物体在斜面上。

通解。条件非常明确：

静摩擦力恰好等于最大静摩擦力，f = μN。

做法是：先隔离那个“没有其他外力”的物体，列牛顿第二定律；再整体分析，或者用前面的板块验证法。两边的式子联立，求出临界值。

例题。两个物体A和B叠放在水平面上，A在上，B在下，A与B之间的摩擦因数为μ₁，B与地面之间的摩擦因数为μ₂。用水平力F拉B，问F多大时A开始相对B滑动。

先假设三者一起动（A、B都在动）：整体加速度 a=F/(m_A+m_B)，前提是F大于B与地面之间的最大静摩擦。

隔离A：A水平方向只受A与B之间的摩擦力，需要 f=m_A·a。

A能得到的最大静摩擦是μ₁m_Ag。临界：

m_A·F/(m_A+m_B) = μ₁m_Ag，得 F = μ₁g(m_A+m_B)

这个结果里没有μ₂。这是一个值得停一下的地方：判断A什么时候开始滑，跟B和地面之间的摩擦没关系。

但这个结论有一个前提，得说清楚：它成立的条件是整体已经在动。如果F还没超过B与地面之间的最大静摩擦，整个装置根本不启动，A也就无从谈起滑动。所以完整的说法是：一旦B开始动，A相对B滑动的临界值就由μ₁决定，μ₂不再进入公式。

坑在哪里。这一讲的坑几乎全部集中在用错了摩擦因数。一道题里如果有两处接触面，就有两个摩擦因数，孩子很容易把μ₁代入μ₂的位置。

判断的办法是问一句：这个摩擦力作用在哪个接触面上？上面那道题的临界说的是“A相对B开始滑动”，那就该用A与B之间的μ₁。

另一个坑是最大静摩擦和滑动摩擦混用。多数高中题里两者数值相同，直接用μN没问题。但如果题目明确说“最大静摩擦力是滑动摩擦力的1.2倍”之类，就必须分开。

弹簧分离：分离之后还要算两段

识别标志。物体与弹簧（或者弹簧托板）一起运动，题干出现“何时离开弹簧”“离开时的速度”“能上升的最大高度”。

通解。分离的位置判据，上一讲已经给了：弹力为零，也就是弹簧恢复原长。这一讲接着往下走，讲分离之后怎么算。

弹簧题的完整解法是切两段，界标就是弹簧原长。

第一段，从释放到恢复原长。这一段里弹力在做功，而且是变力。所以不能用匀变速公式，要用能量守恒（弹力是保守力，可以写势能）。

第二段，从原长到最高点。这一段只受重力，是标准的竖直上抛，用运动学公式或者能量都行。

两段分开算，最后把结果接起来。分离那一刻的速度，是第一段的末速度，也是第二段的初速度。这个速度就是两段的接头。

例题。一个质量m的物体放在竖直弹簧上端，弹簧的劲度系数为k，把弹簧从原长压缩x后释放，物体向上运动。求它离开弹簧时的速度，以及离开弹簧后还能上升的最大高度。

第一段，从释放到恢复原长。初速度为零，末速度设为v。弹力做正功，重力做负功：

注意这里重力做的功是mgx，因为弹簧从压缩x恢复到原长，物体上升的高度恰好是x。同一个量，别写成两个符号。

解出：

第二段，从原长开始以速度v竖直上抛，到最高点速度为零：

v² = 2gH，得 H = v²/(2g) = (kx²/m - 2gx)/(2g) = kx²/(2mg) - x

所以离开弹簧后还能上升的高度是 kx²/(2mg) - x。

这个结果有一个值得看一眼的地方：如果 kx²/(2mg) 小于 x，算出来的H是负的。负值说明什么？说明物体根本到不了原长，弹起来一点就回去了。也就是说，压缩量太小，物体压根离不开弹簧。

分离是有门槛的。这个门槛就是 kx²/(2mg) > x，化简得 kx > 2mg，也就是初始的弹力要大于两倍重力，物体才能离开弹簧。

坑在哪里。第一讲过的那个错，在这一讲还会再犯一次：把“速度最大”的位置当成“离开弹簧”的位置。速度最大在弹力等于重力那一点，离开在弹簧原长。这两个位置不同，算出来的速度也不同。

第二个坑是能量式里把h和x写成两个符号。从压缩x到原长，物体上升的高度就是x，是同一个量。写成两个字母，孩子会以为要分别求，然后卡住。

第三个坑是第二段忘了换模型。第一段是变力，第二段是恒力，用的公式完全不同。混着用，一定错。

第四个坑是漏掉分离的门槛。上面那个负值H，很多孩子算出来不敢写，以为算错了，其实是题目在告诉你“它离不开弹簧”。物理题里出现负值，先别急着改符号，先想想这个负值在说什么。

第二个坑是分离后忘了改用新的运动模型。分离前是变加速（弹力在变），分离后是匀变速（只有重力）。有些孩子把两段混在一起算，用变加速的公式算后半段，必错。

分清两段，是这一讲的第一个动作。界标就是弹簧原长。

叁

最后留给您一句话

临界题看着五花八门，骨头只有一根。

所有的临界，都是某个力刚好等于零，或者刚好取到最大值。

板块运动里，是摩擦力刚好取到最大。μ和tanθ里，是沿斜面的合力刚好归零。分离里，是两物体之间的弹力刚好归零。摩擦临界里，是静摩擦刚好取到最大。弹簧分离里，是弹力刚好归零，同时还多一条速度和加速度相同。

孩子列了四五个式子算不出来，问题往往不在式子，在他没先问自己一句：这道题的“恰好”，落在哪个力上？

这一句问出来，式子的方向就定了。问不出来，就只能凭感觉列一堆方程，方向全对，还是解不出来。

所以临界题真正考的，不是列式能力。是读完题之后，那半分钟里的判断。判断对了，后面是初中水平的代数；判断没做，后面是无穷无尽的试错。

临界这两个字，说白了就是“刚好还能”和“刚好不能”之间那条线。题里所有的已知条件，都是在告诉你这条线画在哪里。看见了这条线，题就只剩算数了。

资料来源

2020年北京高考物理试题评析（逐题分值表）

北京教育考试院2021—2026年历年高考物理试卷评析（试卷结构历年一致的官方表述）

《高中物理学习策略与高考备考指导》《高考物理108个必考题型点拨》以及《题解》

已刊篇目

① 运动学就这六招：从0到v，再从v到0

② 三力平衡：画不出受力图，先看哪个力不变

③ 牛顿定律与临界：临界状态就是“某个力恰好为零”

下辑预告：第4篇讲曲线运动与天体。斜面平抛、列表法解传动、圆锥摆、高轨低速大周期、天体可求量、冲日、双星、卫星变轨八类题，核心就一句：天上和地面用同一套公式，区别只在“谁在转、绕谁转”。这一篇还会讲清列表法，一种能一次算出整道传动题所有比值的办法。